1. Przekroje sześcianu

R14BeAbYoizkZ

Jadłeś kiedyś sześcienny kawałek ciastka?

RT5pl6swlkYcI

Zdjęcie przedstawia dwa małe sześcienne kawałki ciasta, podane na białym talerzyku, na białym obrusie. — Źródło: Pixabay.com, dostępny w internecie: www.pixabay.com, domena publiczna.

Gdybyśmy jednym cięciem chcieli podzielić go na dwie (niekoniecznie takie same) części, to jakie figury moglibyśmy otrzymać w przekrojonym miejscu? Niby niewinne pytanie, a jednak tkwi w nim ukryta matematyka. Taką figurę, która powstaje w wyniku przecięcia bryły jedną płaszczyzną nazywamy przekrojem bryły. Dziś zajmiemy się przekrojami sześcianu.

Twoje cele

Rozpoznasz przekrój sześcianu.
Ocenisz, czy dana figura może być przekrojem sześcianu.
Obliczysz pole przekroju sześcianu.
Obliczysz długości odcinków, pole powierzchni i objętość sześcianu wykorzystując pole powierzchni jego przekroju.

Przekrojem bryły nazywamy figurę płaską, która powstaje przez przecięcie bryły płaszczyzną – jest to część wspólna bryły i płaszczyzny.

Będziemy zajmować się przekrojami sześcianu. Dokonamy klasyfikacji przekrojów sześcianu ze względu na kształt przekroju.

Przekrójprzekrój bryłyPrzekrój sześcianu może być trójkątem, czworokątem, pięciokątem lub sześciokątem.

Przekrój trójkątny

Wśród wierzchołków trójkąta, który jest przekrojem sześcianu, znajduje się jeden, dwa lub trzy wierzchołki sześcianu lub też nie znajduje się żaden wierzchołek sześcianu – przy czym, jeśli są to dwa wierzchołki, to nie są one końcami tej samej krawędzi sześcianu.

RCyvmT6es4hDm

Ilustracja przedstawia cztery takie same sześciany A, B, C, D, E, F, G, H. W każdym zaznaczony trójkątny przekrój na cztery różne sposoby. W pierwszy poprowadzony jest on w punktach B, D, G. W drugim łączy bok DA, CD i DH. W trzecim łączy boki EF, HE i punkt A. Czwarty łączy bok DA z punktem E i B.

Przykład 1

Sześcian $A B C D E F G H$ przecinamy płaszczyzną $J L M$ jak na rysunku:

RAYhYro6yrZi7

Ilustracja przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Wyznaczono punkty L, M, J. L tak, że jest umieszczony w jednej trzeciej długości boku DH. J w jednej trzeciej długości odcinka DA. M w jednej trzeciej długości boku DC. Punkty te połączono trójkątną płaszczyzną.

Pokażemy, że jeśli $|D L| = |D J|$ , to przekrój $J L M$ jest trójkątem równoramiennym.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie $|D L| = |D J| = x$ oraz $|D M| = y$ . Z twierdzenia Pitagorasa mamy ${|J M|}^{2} = x^{2} + y^{2}$ oraz ${|L M|}^{2} = x^{2} + y^{2}$ . A zatem $|J M| = |L M|$ . Czyli trójkąt $J L M$ jest równoramienny.

Ważne!

Aby przekrój sześcianu był trójkątem, wszystkie jego wierzchołki muszą leżeć na trzech różnych krawędziach sześcianu wychodzących z jednego wierzchołka.

Przykład 2

Pokażemy, korzystając z uwagi powyżej, że przekrójprzekrój bryłyprzekrój sześcianu nie może być trójkątem prostokątnym.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ , $y$ , $z$ odległości wierzchołków trójkąta od wspólnego wierzchołka krawędzi, na których leżą wierzchołki trójkąta (przy czym $x, y, z > 0$ , bo w przeciwnym przypadku trójkąt nie byłby przekrojem) oraz przez $a$ , $b$ , $c$ długości boków tego trójkąta.

R8g5itt3Xk3z8

Ilustracja przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Wyznaczono punkty L, M, J. L tak, że jest umieszczony w y długości boku DH. J w x długości odcinka DA. M w z długości boku DC. Punkty te połączono trójkątną płaszczyzną o bokach a łączącym L z J. Boku b łączącym J z M. Boku c łączącym L z M.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$c^{2} = y^{2} + z^{2}$

$b^{2} = x^{2} + z^{2}$

$a^{2} = x^{2} + y^{2}$

Zauważmy, że:

$a^{2} + b^{2} = x^{2} + y^{2} + x^{2} + z^{2} = 2 x^{2} + y^{2} + z^{2} > c^{2}$

$b^{2} + c^{2} = x^{2} + z^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 z^{2} + x^{2} + y^{2} > a^{2}$

$a^{2} + c^{2} = x^{2} + y^{2} + y^{2} + z^{2} = 2 y^{2} + x^{2} + z^{2} > b^{2}$

A zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa żaden z kątów w tym trójkącie nie jest prosty.

Ważne!

Ponieważ przy oznaczeniach w powyższym przykładzie:

a^{2} + b^{2} > c^{2}

b^{2} + c^{2} > a^{2}

a^{2} + c^{2} > b^{2}

to wszystkie kąty w przekroju trójkątnym sześcianu są ostre.

Wnioski

Przekrój trójkątny w sześcianie jest trójkątem ostrokątnym o dowolnych miarach kątów ostrych.
Przekrój trójkątny w sześcianie może być trójkątem równobocznym. Największym trójkątem równobocznym, który może być przekrojem sześcianu jest trójkąt, którego wierzchołki są wierzchołkami sześcianu, a boki są przekątnymi ścian bocznych.

Przekrój czworokątny

Mamy wiele przekrojówprzekrój bryłyprzekrojów sześcianu w kształcie czworokąta.

Kwadrat

Przekrój, którego wszystkie boki są prostopadłe do odpowiednich krawędzi sześcianu, jest kwadratem.

Ry5G4sBndL6bn

Zdjęcie przedstawia sześcian w którym umieszczono kwadratową płaszczyznę prostopadłą do podstawy owej figury.

Prostokąt niebędący kwadratem

R1WNts7EfFbmp

Zdjęcie przedstawia trzy sześciany A, B, C, D, E, F, G, H. W każdym umieszczono prostokątne płaszczyzny na różne sposoby tak aby nie były one kwadratami. Na przykład płaszczyzna wychodząca z boku AB do środków boku HE i GH.

Przekrój w kształcie prostokąta otrzymamy przecinając sześcian płaszczyzną prostopadłą do ściany sześcianu. Przy czym, jeśli płaszczyzna ta będzie równoległa do płaszczyzny zawierającej krawędź tej ściany, to prostokąt ten będzie kwadratem.

Ważne!

Największym przekrojem w kształcie prostokąta, jaki otrzymamy, jest prostokąt, którego bokami są przeciwległe krawędzie sześcianu oraz przekątne jego ścian.

RVnidYumUGAPb

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. W figurze wyznaczono płaszczyznę będącą prostokątem o największym możliwym polu powierzchni. Poprowadzono ją między punktami B, D, F, H.

Równoległobok

Przekrój czworokątny sześcianu, którego po dwa wierzchołki znajdują się na równoległych ścianach, jest równoległobokiem.

R1IUwvik3JtxZ

Zdjęcie przedstawia dwa sześciany A, B, C, D, E, F, G, H. W każdym umieszczono płaszczyzny w kształcie równoległoboków. Na przykład płaszczyzna wychodząca z punkt D łącząca punkt F i boki GH i AB.

Przykład 3

Pokażemy, że jeśli punkty $J$ i $M$ są środkami odcinków $A D$ i $F G$ w sześcianie na rysunku, to równoległobok $H J B M$ jest rombem.

RkfmUDtiHZwaI

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono w nim płaszczyznę w kształcie równoległoboku. Płaszczyzna łączy punkt H z B. Dodatkowo tworzy dwa nowe punkty J i M znajdujące się kolejno na boku DA i GF.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia na rysunku.

Rq9UlNtKW8jY7

Zdjęcie przedstawia sześcian o boku 2x A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono w nim płaszczyznę w kształcie równoległoboku. Płaszczyzna łączy punkt H z B. Dodatkowo tworzy dwa nowe punkty J i M znajdujące się kolejno w połowie boku DA i połowie boku GF.

Zauważmy, że trójkąty $G H M$ , $M F B$ , $B A J$ , $J D H$ są trójkątami prostokątnymi o tych samych długościach przyprostokątnych, a zatem są przystające. Czyli $|H M| = |M B| = |B J| = |J H|$ . A zatem równoległobok $B J H M$ jest rombem.

Trapez

Przekrój czworokątny sześcianu, którego dokładnie jedna para boków leży na równoległych ścianach, jest trapezem, który nie jest równoległobokiem.

R5zG82tWmXXmn

Zdjęcie przedstawia dwa sześciany A, B, C, D, E, F, G, H. W każdym umieszczono płaszczyzny w kształcie trapezów. Na przykład płaszczyzna wychodząca ze środków boków EH i HG poprowadzona do punktu A i C.

Wniosek:

Aby przekrój był czworokątem, co najmniej jedna para boków tego przekroju musi leżeć na płaszczyznach równoległych. Przecięcie dwóch ścian równoległych trzecią płaszczyzną daje dwa równoległe boki przekroju. Zatem każdy przekrój sześcianu w kształcie czworokąta jest trapezem.

Przekrój pięciokątny

Jeżeli płaszczyzna przetnie pięć ścian sześcianu, to jest on pięciokątem.

R17nwoA4NC8yf

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono płaszczyznę o kształcie pięciokąta. Wierzchołki płaszczyzny znajdują się na bokach HG, EF, AE, AB, BC.

Ważne!

Nie istnieje przekrój sześcianu, który ma kształt pięciokąta foremnego.

Przykład 4

Uzasadnij, że przekrój sześcianu nie może być pięciokątem foremnym.

Rozwiązanie

Zauważmy, że przecinając dwie równoległe płaszczyzny trzecią płaszczyzną otrzymujemy na przecięciu proste równoległe.

Ponieważ, aby otrzymać przekrój w kształcie pięciokąta musimy przeciąć pięć ścian sześcianu, to wśród nich są dwie pary ścian równoległych. A zatem pięciokąt ten ma dwie pary boków równoległych. Łatwo zauważyć, że pięciokąt foremny nie ma ani jednej pary boków równoległych.

Przekrój sześciokątny

RQF7px0p35pqb

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono płaszczyznę o kształcie sześciokąta. Wierzchołki płaszczyzny znajdują się na bokach HG, GF, DH, DA, AB, BF.

Przykład 5

Sprawdź, czy istnieje przekrój sześcianu w kształcie sześciokąta foremnego.

Rozwiązanie

Przekrój sześciokątny przechodzący przez środki krawędzi $A D$ , $A B$ , $B F$ , $F G$ , $G H$ , $H D$ na rysunku poniżej jest sześciokątem foremnym. Wszystkie boki tego sześciokąta mają długość $\frac{|A B| \sqrt{2}}{2}$ .

R1KskrbrhFIhY

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono w nim płaszczyznę w kształcie sześciokąta foremnego. Wierzchołki płaszczyzny znajdują się w połowach boków HG, GF, BF, BA, AD, DH.

Polecenie 1

Poruszając suwakami, zmieniaj położenie płaszczyzny i zaobserwuj zmianę kształtu przekroju sześcianu. Jaki kształt może mieć przekrój sześcianu?

Zapoznaj się z poniższym opisem apletu, w którym przedstawiono różne przekroje sześcianu.

RZpfUXSQ9hY0b

Polecenie 2

Polecenie 3

Przypomnij czym jest przekrój bryły.

Polecenie 4

Sprawdź definicję rzutu bryły. Jaka jest różnica między rzutem, a przekrojem bryły?

Spróbuj ustawić płaszczyznę tak, aby przekrój był kwadratem, prostokątem, sześciokątem foremnym.

R1Zva1NBJOJAI

Pole przekroju sześcianu

Przekrój w kształcie trójkąta

Wiesz już, że przekrój sześcianuprzekrój sześcianuprzekrój sześcianu ma co najmniej trzy boki. Trójkątny przekrój sześcianu może być dowolnym (z dokładnością do podobieństwa) trójkątem ostrokątnym, w szczególności może być trójkątem równoramiennym lub równobocznym.

Przypomnijmy wzory na pola trójkątów:

$P = \frac{a h}{2}$ ,

$P = \frac{a b \sin α}{2}$ ,

$P = \sqrt{p (p - a) (p - b) (p - c)}$ ,

gdzie:
$a$ , $b$ , $c$ są bokami tego trójkąta,
$α$ jest kątem pomiędzy bokami $a$ i $b$ ,
$h$ jest wysokością poprowadzoną na bok $a$ ,
$p$ jest połową obwodu trójkąta.

Dla trójkąta równobocznego o boku $a$ mamy $P = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Przykład 6

Dany jest sześcian $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ o krawędzi długości $8$ . Płaszczyzna przekroju przechodzi przez punkty $E$ i $F$ , które są środkami krawędzi $A B$ i $B C$ odpowiednio oraz przez wierzchołek $B^{'}$ . Obliczymy pole tego przekroju.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

Rr1S0iWjmX44Q

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A A prim B prim C prim D prim. Płaszczyzna przekroju przechodzi przez punkty E i F, które są środkami krawędzi AB i BC odpowiednio oraz przez wierzchołek B'.

Przekrój ten jest trójkątem. Co więcej, ponieważ $B^{'} E$ i $B^{'} F$ są przeciwprostokątnymi trójkątów $E B B^{'}$ i $B F B^{'}$ o przyprostokątnych $4$ i $8$ , to $|B^{'} E| = |B^{'} F|$ . A zatem trójkąt $E B^{'} F$ jest równoramienny.

Obliczmy długość ramion tego trójkąta z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt $E B B^{'}$ ): $4^{2} + 8^{2} = {|B^{'} E|}^{2}$ .

Czyli $|B^{'} E| = \sqrt{80} = 4 \sqrt{5}$ .

Podstawa trójkąta $E B^{'} F$ jest przeciwprostokątną równoramiennego trójkąta prostokątnego $E B F$ , którego przyprostokątne mają długość $4$ . A zatem $|E F| = 4 \sqrt{2}$ .

Narysujmy przekrój z zaznaczonymi odcinkami.

R1aTM5owNAh5h

Ilustracja przedstawia trójkąt równoramienny o ramieniu równym 45 wysokość upuszczona na podstawę dzieli ją na dwa równe odcinki o długości 22

Obliczymy $h$ z twierdzenia Pitagorasa: $h^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2} = {(4 \sqrt{5})}^{2}$ . A stąd $h^{2} = 80 - 8 = 72$ .

Czyli $h = 6 \sqrt{2}$ .

Teraz możemy już policzyć szukane pole przekroju: $P = \frac{4 \sqrt{2} \cdot 6 \sqrt{2}}{2} = 24 j^{2}$ .

Przykład 7

Pole przekroju sześcianu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ przechodzącego przez wierzchołki $B^{'} C D^{'}$ wynosi $9 \sqrt{3} {cm}^{2}$ . Obliczymy objętość tego sześcianu.

Rozwiązanie

Narysujmy ten przekrój:

RTZG8f5D2R0YV

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Przez wierzchołki C B prim D prim przebiega płaszczyzna o kształcie trójkąta

Przekrój ten jest trójkątem równobocznym. Obliczymy długość boku tego przekroju korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: $\frac{p^{2} \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$ . Stąd $p = 6$ . Ze wzoru na długość przekątnej ściany bocznej mamy $a \sqrt{2} = 6$ . Czyli $a = 3 \sqrt{2}$ .

Objętość tego sześcianu wynosi więc $V = {(3 \sqrt{2})}^{3} = 54 \sqrt{2}$ .

Przekrój w kształcie czworokąta

Przypomnijmy, że każdy przekrój czworokątny sześcianu jest trapezem. W szczególnych przypadkach jest to równoległobok, romb, prostokąt lub kwadrat.

Przy obliczaniu pól czworokątów korzystamy ze wzorów:

Trapez: $P = \frac{(a + b) h}{2}$ są podstawami, a $h$ wysokością tego trapezu.

Równoległobok: $P = a h$ lub $P = a b \sin α$ , gdzie $a$ , $b$ są różnymi bokami tego równoległoboku, $h$ wysokością opuszczoną na bok $a$ , a $α$ kątem pomiędzy bokami równoległoboku.

Romb: $P = a h$ lub $P = \frac{e f}{2}$ , gdzie $a$ jest długością boku, $h$ wysokością rombu, $e$ , $f$ przekątnymi tego rombu.

Prostokąt: $P = a b$ , gdzie $a$ , $b$ są bokami prostokąta.

Kwadrat: $P = a^{2}$ , gdzie $a$ jest długością boku.

Przykład 8

Pole przekroju przechodzącego przez dwie krawędzie i dwie przekątne równoległych ścian sześcianuprzekątna sześcianuprzekątne równoległych ścian sześcianu wynosi $8 \sqrt{2}$ . Obliczymy długość krawędzi tego sześcianu.

Rozwiązanie

Narysujmy ten przekrój.

R13v5HNUSV2aZ

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A A prim B prim C prim D prim. Płaszczyzna przekroju w kształcie prostokąta przechodzi przez dwie krawędzie równoległych ścian bocznych A A prim oraz C C prim.

Jest to prostokąt, którego bokami są krawędzie i przekątne ścian. Pole tego prostokąta wyraża się więc wzorem $P = a \cdot a \sqrt{2} = a^{2} \sqrt{2}$ . Czyli $a^{2} \sqrt{2} = 8 \sqrt{2}$ . Wtedy $a^{2} = 8$ , a stąd $a = 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 9

Dany jest sześcian $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ o krawędzi długości $6$ . Punkty $E$ i $F$ są środkami odcinków $C D$ i $A^{'} B^{'}$ odpowiednio. Określimy, jaką figurą jest przekrój $B E D^{'} F$ i ile wynosi jego pole.

Rozwiązanie

Zróbmy rysunek pomocniczy.

R1SJGIg1pdkfC

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A A prim B prim C prim D prim. Punkty E i F są środkami odcinków CD i A prim B prim odpowiednio. Płaszczyznę przeprowadzono przez punkty B E F D prim.

Zauważmy, że przekrój ten jest rombem. Narysujmy jego przekątne.

RnOBSw3PYFJHP

Zauważmy, że przekątna $B D^{'}$ jest przekątną sześcianu, a $F E$ jest przekątną kwadratu $E H F G$ , który jest przystający do ścian sześcianu. Czyli $|B D^{'}| = 6 \sqrt{3}$ oraz $|E F| = 6 \sqrt{2}$ . Obliczmy zatem pole tego przekroju: $P = \frac{6 \sqrt{3} \cdot 6 \sqrt{2}}{2} = 18 \sqrt{6} j^{2}$ .

Przekrój w kształcie pięciokąta

Przypomnijmy, że przekrój sześcianu może być pięciokątem, jednak nigdy nie będzie to pięciokąt foremny.

Przykład 10

Dany jest sześcian $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ o krawędzi $12$ . Punkty $E$ i $F$ są środkami krawędzi $A B$ i $B C$ . Obliczymy pole przekroju przechodzącego przez punkty $E$ , $F$ i $D^{'}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że przekrój ten będzie pięciokątem.

R1eXPciVGLQ8Z

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A A prim B prim C prim D prim. Punkty E i F są środkami krawędzi podstawy AB i BC. Na krawędziach ścian bocznych A A prim oraz C C prim zaznaczono punkty kolejno G i P. Przez punkty E F G P i D prim przeprowadzono przekrój.

Podzielimy ten pięciokąt na trapez $E F P G$ oraz trójkąt $G P D^{'}$ .

RTHSIVPUl2DQh

Zauważmy, że $|E F| = 6 \sqrt{2}$ .

Obliczymy najpierw długość odcinka $T D^{'}$ , którego długość jest równa sumie długości wysokości trójkąta $G P D^{'}$ i trapezu $E F P G$ .

Skorzystamy z trójkąta prostokątnego $T D D^{'}$ .

R1YIVoKMnJBfb

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A A prim B prim C prim D prim. Punkty E i F są środkami krawędzi podstawy odpowiednio punkt E krawędzi AB i punkt F krawędzi BC. Na krawędzi ściany bocznej A A prim oznaczono punkt G oraz na krawędzi ściany bocznej C C prim zaznaczono punkt P. Połączono punkty E oraz F i oznaczono ich środek T. Następnie zaznaczono trójkąt prostokątny T D D prim, gdzie przy wierzchołku D znajduje się kąt prosty. Na przeciwprostokątnej T D prim tego trójkąta zaznaczono punkt S, następnie odcinek T S podpisano jako h oraz odcinek H D prim oznaczono jako H, gdzie h jest mniejsze od H.

Najpierw zauważmy, że $|T D| = \frac{3}{4} |B D| = \frac{3}{4} \cdot 12 \sqrt{2} = 9 \sqrt{2}$ . (wynika to z podobieństwa trójkątów $B E F$ i $B A C$ – ponieważ boki trójkąta $B E F$ są o połowę krótsze od boków trójkąta $B A C$ , to odcinek $B T$ , który jest wysokością trójkąta $B E F$ stanowi połowę połowy przekątnej kwadratu, czyli $|B T| = \frac{1}{4} |B D|$ .

Obliczmy teraz długość odcinka $T D^{'}$ z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $T D D^{'}$ :

${(9 \sqrt{2})}^{2} + 12^{2} = {|T D^{'}|}^{2}$

Czyli $|T D^{'}| = 3 \sqrt{34}$ .

W trójkącie $T D D^{'}$ poprowadźmy prostą równoległą do $T D$ przez punkt $S$

R1TigHj9gbrmx

Ilustracja przedstawia trójkąt T D D prim. Podstawa T D ma miarę 92. Odcinek S U o mierze 62 dzieli ten trójkąt na dwa mniejsze. Odcinek S T ma miarę h równą 334-H

Z podobieństwa trójkątów $T D D^{'}$ i $S U D^{'}$ (cecha $k k k$ ) mamy więc $\frac{H}{3 \sqrt{34}} = \frac{6 \sqrt{2}}{9 \sqrt{2}}$ .

Czyli $\frac{H}{3 \sqrt{34}} = \frac{2}{3}$ . A stąd $H = 2 \sqrt{34}$ i $h = \sqrt{34}$ .

Obliczymy pole trapezu $E F P G$ :

$P_{1} = \frac{(6 \sqrt{2} + 12 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{34}}{2} = 9 \sqrt{68} = 18 \sqrt{17}$

Oraz pole trójkąta $G P D^{'}$ :

$P_{2} = \frac{12 \sqrt{2} \cdot 2 \sqrt{34}}{2} = 12 \sqrt{68} = 24 \sqrt{17}$

Ostatecznie pole przekroju wynosi $P = 18 \sqrt{17} + 24 \sqrt{17} = 42 \sqrt{17} j^{2}$ .

Przekrój w kształcie sześciokąta

Przykład 11

Obliczymy pole całkowite sześcianu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ którego przekrój przechodzący przez środki krawędzi $A A^{'}$ , $A B$ , $B C$ ma pole równe $96 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że przekrój ten będzie sześciokątem foremnym.

R1YfWqTBxC7OE

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Na środkach krawędzi podstawy powstały punkty E F H P. Na środkach dwóch ścian bocznych powstały punkty G i Q. Przez punkty E F Q P H G przeprowadzono przekrój w kształcie sześciokąta

Korzystając ze wzoru na pole sześciokąta foremnego mamy $6 \cdot \frac{{|F Q|}^{2} \sqrt{3}}{4} = 96 \sqrt{3}$ . Czyli ${|F Q|}^{2} = 64$ , a stąd $|F Q| = 8$ .

Odcinek $F Q$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości $\frac{a}{2}$ , gdzie $a$ jest długością krawędzi sześcianu. Czyli $\frac{a}{2} \sqrt{2} = 8$ , a stąd $a \sqrt{2} = 16$ i ostatecznie $a = 8 \sqrt{2}$ . Czyli pole powierzchni tego sześcianupole powierzchni sześcianupole powierzchni tego sześcianu wynosi $P_{c} = 6 a^{2} = 768 j^{2}$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją 3D, a następnie wykonaj Polecenie 2.

R1JWY8n8HuHa7

Polecenie 4

Wyprowadź wzór na pole i obwód przekroju, powstałego jak w animacji, sześcianu o krawędzi $a$ .

RJP5XVxiv52sa

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A A prim B prim C prim D prim o krawędzi a. Przez przekątną sześcianu A C prim oraz środki krawędzi B B prim oraz D D prim przeprowadzono przekrój w kształcie równoległoboku. Bok równoległonoku ma miarę e=a3. Połowa krótszej przekątnej ma miarę f. środek przekątnych oznaczony został punktem G

Dłuższa przekątna przekroju będzie mieć długość $a \sqrt{3}$ . Długość boku przekroju można obliczyć z twierdzenia Pitagorasa: $x^{2} = a^{2} + \frac{a^{2}}{4}$ . Stąd $x = \frac{a \sqrt{5}}{2}$ .

Krótsza przekątna rombu ma długość taką, jak przekątna ściany sześcianu, czyli $f = a \sqrt{2}$ .

Czyli $P = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{2}$ i $L = 2 a \sqrt{5}$ .

Polecenie 5

R21KFodrkXVDk

R18MbOrIpq9iZ

R1Jqym3wMPOSC1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

RhqO87aSGVOQ7

R1Q9IxYSBj8mY

R5nWJawPYm14u2

Ćwiczenie 3

RmODMTWrzXUtl2

Ćwiczenie 4

R13R85a0AW1pW2

Ćwiczenie 5

RL2dw6GUjvOVv2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

Sześcian $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną $B^{'} D^{'}$ górnej podstawy i wierzchołek $C$ dolnej podstawy. Jaki kształt będzie mieć otrzymany przekrój? Oblicz obwód tego przekroju, wiedząc, że krawędź ma długość $6$ .

Narysujmy ten przekrój. Ponieważ $B^{'} C$ również jest przekątną ściany sześcianu, to przekrój ten będzie trójkątem równobocznym.

R4coHBk16OLTu

Ilustracja przedstawia sześcian A, B, C, D, A', B', C', D'. Wyznaczono przekrój w kształcie trójkąta łączący punkty C, D', B'.

A zatem każdy z boków tego trójkąta będzie mieć długość $6 \sqrt{2}$ . Czyli obwód tego trójkąta wynosi $18 \sqrt{2}$ .

Ćwiczenie 8

Oblicz obwód przekroju, którego wierzchołki $D$ i $B$ są wierzchołkami sześcianu o krawędzi $6$ a wierzchołki $N$ i $O$ dzielą krawędzie na dwie równe części, jak na rysunku.

RexFlJfSNrCuL

Ilustracja przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Wyznaczono przekrój w kształcie trapezu łączącego punkty D, B, N i O. Punkt N znajduje się w połowie boku BG, punkt O znajduje się w połowie punktu GF.

Zauważmy, że przekrój ten jest trapezem. Odcinek $B D$ jest przekątną ściany, czyli $|B D| = 6 \sqrt{2}$ . Odcinek $N O$ jest przeciwprostokątną równoramiennego trójkąta prostokątnego $N G O$ , którego ramię ma długość $3$ . A zatem $|N O| = 3 \sqrt{2}$ . Ponadto $N D$ i $O B$ są przeciwprostokątnymi przystających trójkątów prostokątnych $D H N$ i $O F B$ o przyprostokątnych długości $3$ i $6$ , czyli ${|D N|}^{2} = {|B O|}^{2} = 3^{2} + 6^{2}$ .

Czyli $|D N| = |B O| = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$ .

Stąd obwód trapezu wynosi $O b = 6 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 \sqrt{5} = 9 \sqrt{2} + 6 \sqrt{5}$ .

Ćwiczenie 9

Każdy z poniższych sześcianów ma tę samą długość krawędzi. Uszereguj przekroje - zacznij od tego, który ma największe pole.

RY6ETw8aSnLax

Ilustracja A przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Przekrojem jest trójkąt przechodzący przez wierzchołki B A prim C prim. Ilustracja B przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Przekrojem jest figura przechodząca przez krawędzie C D oraz A prim. Ilustracja A przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim. Zaznaczono na nim punkty będące środkiem krawędzi podstawy. Punkty T E H i Q są środkami środków krawędzi. Przez nie przeprowadzono przekrój w kształcie kwadratu.

RTZdCcfyHzgh1

RsDKKlXY40MmV1

Ćwiczenie 10

R1PmDtr1HL9Z82

Ćwiczenie 11

RP6uWrNmMVGiD2

Ćwiczenie 12

R1YRyb51C4cmQ2

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Sześcian o krawędzi $4$ przecięto jak na rysunku. Oblicz pole powstałego przekroju.

R142SEqeORufO

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D E F G H o krawędzi cztery. Zaznaczono na nim punkty P i O. odcinek F P i O H ma 3 jednostki długości. Przez punkty B D P O przeprowadzono przekrój w kształcie trapezu.

Zauważmy, że przekrój będzie trapezem równoramiennym. Podstawa $B D$ tego trapezu jest przekątną ściany sześcianu, więc $|B D| = 4 \sqrt{2}$ . Podstawa $P O$ jest przeciwprostokątną równoramiennego trójkąta prostokątnego $P E O$ o przyprostokątnej równej $1$ , tak więc $|P O| = \sqrt{2}$ . Aby policzyć pole tego przekroju potrzebujemy jeszcze wysokości tego trapezu.

Obliczymy najpierw długość ramienia $P B$ trapezu. Jest to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego $B F P$ . Z twierdzenia Pitagorasa mamy więc

$4^{2} + 3^{2} = {|P B|}^{2}$ .

Czyli $|P B| = 5$ .

Poprowadźmy w trapezie równoramiennym $B D O P$ wysokość z wierzchołka $P$ .

R10di4JwjBySF

Ilustracja przedstawia trapez B D P O. Ramię trapezu równoramiennego ma miarę 5 jednostek. Wysokość h została upuszczona z punktu P do dolnej podstawy tworząc punkt R. Odcinek B R ma miarę 323

Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $R B P$ otrzymujemy

$h^{2} + {(\frac{3 \sqrt{2}}{2})}^{2} = 5^{2}$ .

Czyli $h^{2} = 25 - \frac{18}{4} = \frac{82}{4}$ . A stąd $h = \frac{\sqrt{82}}{2}$ .

Mamy więc $P = \frac{(\sqrt{2} + 4 \sqrt{2}) \cdot \frac{\sqrt{82}}{2}}{2} = \frac{5 \sqrt{164}}{4} = \frac{10 \sqrt{41}}{4} = \frac{5 \sqrt{41}}{2}$ .

Ćwiczenie 15

Punkty $P$ , $T$ , $S$ są punktami, które leżą na krawędziach $A B$ , $B C$ i $B B^{'}$ sześcianu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Wiemy, że $P$ jest środkiem krawędzi $A B$ oraz że $|A P| = 8$ , $|B T| = 15$ , $|B' S| = 10$ . Oblicz pole przekroju przechodzącego przez punkty $P$ , $T$ , $S$ .

Zauważmy, że skoro $|A P| = 8$ , to krawędź sześcianu ma długość $16$ .

Przekrój przechodzący przez punkty $P$ , $T$ , $S$ będzie trójkątem $P T S$ .

Ponadto wiemy, że $|P B| = |A P| = 8$ , $|B T| = 15$ , $|B S| = 16 - 10 = 6$ .

Zróbmy rysunek pomocniczy.

RNMcAzvO1TSyn

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim o krawędzi 16. Odcinek PB stanowiący połowę podstawy ma długość 8. Odcinek BT będący na krawędzi podstawy B C ma długość 15, Trójkąt P S T jest umieszczony na płaszczyźnie podstawy. Punkt S jest umiejscowiony w takim miejscu, że jest oddalony od punktu B o 16 jednostek.

Obliczymy długości odcinków $P S$ , $S T$ , $P T$ z twierdzenia Pitagorasa odpowiednio dla trójkątów $P B S$ , $S B T$ , $P B T$ .

Mamy więc $8^{2} + 6^{2} = {|P S|}^{2}$ , $8^{2} + 15^{2} = {|P T|}^{2}$ oraz $6^{2} + 15^{2} = {|S T|}^{2}$ .

Czyli $|P S| = 10$ , $|P T| = 17$ , $|S T| = 3 \sqrt{29}$ .

Obliczymy pole tego trójkąta korzystając ze wzoru Herona.

Mamy $p = 13, 5 + 1, 5 \sqrt{29}$ .

Czyli $P = \sqrt{(13, 5 + 1, 5 \sqrt{29}) (13, 5 - 1, 5 \sqrt{29}) (3, 5 + 1, 5 \sqrt{29}) (- 3, 5 + 1, 5 \sqrt{29})}$ .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, mamy

$P = \sqrt{(13, 5^{2} - {(1, 5 \sqrt{29})}^{2}) ({(1, 5 \sqrt{29})}^{2} - 3, 5^{2})} = \sqrt{117 \cdot 53} = 3 \sqrt{689}$ .

Ćwiczenie 16

Przekrój sześcianu $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ o krawędzi równej $4$ przechodzi przez przekątną $A C$ podstawy i punkt $F$ znajdujący się na krawędzi $D D^{'}$ . Uzasadnij, że jeśli pole tego przekroju wynosi $4 \sqrt{6}$ , to punkt $F$ jest środkiem odcinka $D D^{'}$ .

Zauważmy, że przekrój ten jest trójkątem równoramiennym.

RYq3IaIqi2LZQ

Ilustracja przedstawia sześcian A B C D A prim B prim C prim D prim o krawędzi 4. Zaznaczono przekątną podstawy k. Punkt F znajduję się na krawędzi ściany bocznej D D prim. Stworzono trójkąt A C F.

Podstawa tego trójkąta ma długość $|A C| = 4 \sqrt{2}$ . Obliczmy ile wynosi wysokość tego trójkąta opuszczona na bok $A C$ , korzystając z pola trójkąta $A C F$ :

$P = \frac{4 \sqrt{2} \cdot h}{2}$

Czyli $4 \sqrt{6} = 2 \sqrt{2} h$ . A stąd $h = 2 \sqrt{3}$ .

Wysokość $h$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego $E D F$ , gdzie $E$ jest środkiem przekątnej podstawy. Ponadto mamy $|E D| = 2 \sqrt{2}$ .

RDH7DTG6BOexT

A zatem z twierdzenia Pitagorasa mamy:

${|D F|}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2} = {(2 \sqrt{3})}^{2}$ .

A stąd ${|D F|}^{2} = 4$ i ostatecznie $|D F| = 2$ .

Ponieważ krawędź $D D^{'}$ ma długość $4$ , to $F$ jest środkiem krawędzi $D D^{'}$ .

Słownik

przekrój bryły

figura płaska, która powstaje przez przecięcie bryły płaszczyzną – jest to część wspólna bryły i płaszczyzny

przekrój sześcianu

figura, która jest częścią wspólną sześcianu i pewnej płaszczyzny, która go przecina

przekątna sześcianu

odcinek, który łączy wierzchołki dolnej i górnej podstawy sześcianu nie leżące na jednej ścianie tego sześcianu

pole powierzchni sześcianu

suma pól wszystkich ścian tego sześcianu

2*. Przekroje graniastosłupów (DODATEK)

M_R_W23_M4 Przekroje wielościanów