Sposób I

Przekształcamy wyrażenie $\log _{7} 54$, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu, a następnie wzory na logarytm iloczynu oraz logarytm ilorazu:

$\log _{7} 54=\frac{\log _{2} 54}{\log _{2} 7}=\frac{\log _{2} 27+\log _{2} 2}{\log _{2} 14-\log _{2} 2}=\frac{\frac{\log _{\sqrt{2}} 27}{\log _{\sqrt{2}} 2}+1}{a-1}=\frac{\frac{b}{2}+1}{a-1}=\frac{b+2}{2 a-2}$

To należało wykazać.

Sposób II

Przekształcamy wyrażenie $\frac{b+2}{2 a-2}$, korzystając z założenia oraz ze wzoru zamianę podstawy logarytmu:

$\frac{b+2}{2 a-2}=\frac{\log _{\sqrt{2}} 27+2}{2 \log _{2} 14-2}=\frac{\frac{\log _{2} 27}{\log _{2} \sqrt{2}}+2}{2 \cdot\left(\log _{2} 14-1\right)}=\frac{2 \cdot\left(\log _{2} 27+1\right)}{2 \cdot\left(\log _{2} 14-1\right)}=\frac{\log _{2} 27+1}{\log _{2} 14-1}$

Stąd i ze wzorów na sumę logarytmów, różnicę logarytmów oraz wzoru na zamianę podstawy logarytmu otrzymujemy dalej

$\frac{\log _{2} 27+1}{\log _{2} 14-1}=\frac{\log _{2} 27+\log _{2} 2}{\log _{2} 14-\log _{2} 2}=\frac{\log _{2} 54}{\log _{2} 7}=\log _{7} 54$

Zatem $\log _{7} 54=\frac{b+2}{2 a-2}$. To należało wykazać.

Sposób III

Korzystamy z definicji logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy $2^{a}=14$ oraz $(\sqrt{2})^{b}=27$. Stąd $7=2^{a-1}$ oraz $27=2^{\frac{b}{2}}$. Oznaczmy przez $x$ liczbę rzeczywistą taką, że $7^{x}=54$. Wtedy

$2^{(a-1) x}=2 \cdot 27$

$2^{(a-1) x}=2 \cdot 2^{\frac{b}{2}}$

$2^{(a-1) x}=2^{\frac{b}{2}+1}$

Stąd

$(a-1) x=\frac{b}{2}+1$

$x=\frac{b+2}{2(a-1)}$

Zatem $\log _{7} 54=x=\frac{b+2}{2 a-2}$. To należało wykazać.

Sposób IV

Korzystamy $z$ definicji logarytmu oraz $z$ założenia i otrzymujemy $2^{a}=14$ oraz $(\sqrt{2})^{b}=27$. Stąd $7=2^{a-1}$, czyli $2=7^{\frac{1}{a-1}}$, oraz $27=2^{\frac{b}{2}}$. Zatem

$54=27 \cdot 2=2^{\frac{b}{2}} \cdot 7^{\frac{1}{a-1}}=7^{\frac{b}{2(a-1)}} \cdot 7^{\frac{1}{a-1}}=7^{\frac{b}{2(a-1)}+\frac{1}{a-1}}=7^{\frac{b+2}{2 a-2}}$

czyli $\log _{7} 54=\frac{b+2}{2 a-2}$. To należało wykazać.rozwiązać. 

Sposób I

Przekształcamy wyrażenie $\log _{12} 80$, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu, a następnie wzór na logarytm iloczynu:

Korzystamy ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu oraz z założenia i otrzymujemy

Zatem

To należało wykazać.

Sposób II

Przekształcamy wyrażenie $\frac{2 a+1}{a \cdot(1+b)}$, korzystając z założenia oraz ze wzoru na logarytm sumy:

Korzystamy dwukrotnie ze wzoru na zamianę podstawy logarytmu i otrzymujemy dalej

Zatem $\log _{12} 80=\frac{2 a+1}{a \cdot(1+b)}$.

To należało wykazać.

Obliczamy $a$:

Stosujemy wzór na zamianę postawy logarytmu i obliczamy $b$:

Zatem $a-b=2023$.

Sposób I