Przekształcamy równoważnie nierówność, korzystając ze wzoru na sześcian sumy:

Z założenia $a>0$ i $b>0$, więc $a+2 b>0$.

Ponieważ $b \neq \frac{1}{2} a$, więc $a-2 b \neq 0$ i wtedy $(a-2 b)^{2}>0$ jako kwadrat liczby rzeczywistej różnej od zera.

Zatem $(a-2 b)^{2}(a+2 b)$ jest dodatnie jako iloczyn liczb dodatnich, więc nierówność $(a-2 b)^{2}(a+2 b)>0$ jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej $a$ i każdej liczby dodatniej $b$ takich, że $b \neq \frac{1}{2} a$. To oznacza, że również nierówność $(a+2 b)^{3}>8 a^{2} b+16 a b^{2}$ jest prawdziwa dla każdej dla każdej liczby dodatniej $a$ i każdej liczby dodatniej $b$ takich, że $b \neq \frac{1}{2} a$. To należało wykazać.

Ponieważ $a>0$ i $b>0$, więc $(2 a+b)(a+2 b)>0$.

Przekształcamy równoważnie nierówność $\frac{1}{2 a+b}+\frac{1}{a+2 b} \geq \frac{4}{3}$ i otrzymujemy

Korzystamy z założenia i otrzymujemy dalej

Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc nierówność $(2 a-1)^{2} \geq 0$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej $a$. To oznacza, że nierówność $\frac{1}{2 a+b}+\frac{1}{a+2 b} \geq \frac{4}{3}$ jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej $b$ takich, że $a+b=1$.

Sposób I

Przekształcamy nierówność $a^{2}+\frac{16}{a} \geq 12$:

Zauważamy, że pierwiastkiem wielomianu $W(a)=a^{3}-12 a+16$ jest liczba $2$. Stąd $W(a)=(a-2)\left(a^{2}+2 a-8\right)$. Ponieważ pierwiastkami trójmianu kwadratowego $a^{2}+2 a-8$ są liczby $2$ i $(-4)$, więc $W(a)=(a-2)^{2}(a+4)$. Zatem nierówność $a\left(a^{3}-12 a+16\right) \geq 0$ można równoważnie zapisać w postaci

Dla każdej liczby dodatniej a wyrażenie $(a-2)^{2}$ jest liczbą nieujemną, natomiast wyrażenie $(a+4)$ jest liczbą dodatnią. Zatem dla każdej liczby dodatniej $a$ wyrażenie $a(a-2)^{2}(a+4)$ jest nieujemne jako iloczyn liczb nieujemnych. Oznacza to, że nierówność $a^{2}+\frac{16}{a} \geq 12$ jest prawdziwa dla każdej liczby dodatniej $a$. To należało wykazać.

Inna realizacja rozkładu wielomianu $a^{3}-12 a+16$ na czynniki:

Sposób II

Dla każdego $a>0$ liczby $a^{2}, \frac{8}{a}, \frac{8}{a}$ są dodatnie. Korzystamy z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną liczb $a^{2}, \frac{8}{a}, \frac{8}{a}$ i otrzymujemy:

To należało wykazać.

Sposób I

Ponieważ $x+y=4$, więc $y=4-x$. Ponieważ ponadto $x$ i $y$ spełniają nierówność $x^{3}-x^{2} y \leq x y^{2}-y^{3}$, więc otrzymujemy

Stosujemy wzór na sześcian różnicy oraz kwadrat różnicy i otrzymujemy

Przekształcamy nierówność i otrzymujemy kolejno

Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc jedynym rozwiązaniem tej nierówności jest $x=2$.

Ponieważ $y=4-x$, więc $y=2$.

To należało wykazać.

Sposób II

Przekształcamy nierówność $x^{3}-x^{2} y \leq x y^{2}-y^{3}$ kolejno do postaci

Ponieważ $x+y=4$, więc otrzymujemy

Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc musi zachodzić

Stąd $x-y=0$, czyli $x=y$. Zatem $2 x=4$, czyli $x=2$. Ponieważ $y=4-x$, więc $y=2$.

To należało wykazać.

Sposób I