Sposób I

Równanie $x^{2}+2 m x+2 m-1=0$ ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste tylko wówczas, gdy wyróżnik $\Delta$ trójmianu kwadratowego $x^{2}+2 m x+(2 m-1)$ jest dodatni. Rozwiązujemy warunek $\Delta>0$:

Przekształcamy warunek $m\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=3 m \cdot x_{1} \cdot x_{2}+2$ do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète'a i rozwiązujemy uzyskane równanie z niewiadomą $m$:

Ponieważ $4 m^{2}-2 m+1=3 m^{2}+(m-1)^{2}>0$, więc równanie $4 m^{2}-2 m+1=0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zatem warunek $m\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=3 m \cdot x_{1} \cdot x_{2}+2$ jest spełniony tylko dla $m=2$.

Ponieważ $2 \in(-\infty, 1) \cup(1,+\infty)$, więc warunki zadania są spełnione tylko dla $m=2$.

Sposób II

Zauważamy, że liczba $( -1 )$ jest rozwiązaniem równania $x^{2}+2 m x+2 m-1=0$. Korzystając ze wzorów Viète'a, mamy $x_{1}+x_{2}=-2 m$, czyli $-1+x_{2}=-2 m$, więc $x_{2}=1-2 m$. Zatem $x_{1} \neq x_{2}$ gdy $m \neq 1$. Wyznaczamy wszystkie wartości parametru $m$, dla których spełniony jest warunek $m\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=3 m \cdot x_{1} \cdot x_{2}+2$:

Wyróżnik trójmianu $4 m^{2}-2 m+1$ jest ujemny, więc równanie $4 m^{2}-2 m+1=0$ nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zatem warunek $m\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=3 m \cdot x_{1} \cdot x_{2}+2$ jest spełniony tylko dla $m=2$.

Warunki zadania są spełnione tylko dla $m=2$.

Wyznaczamy przedziały, które wyczerpują zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i w których nierówność ma różne postaci: $(-\infty,-3)$ i $[-3,2)$ i $[2,+\infty)$.

Rozważamy trzy przypadki.

Przypadek 1. (gdy $x \in(-\infty,-3)$ )
W tym przypadku nierówność ma postać $-x+2+2(x+3)<-2$, czyli $x<-10$. Stąd otrzymujemy $x \in(-\infty,-10)$.

Przypadek 2. (gdy $x \in[-3,2)$ )
W tym przypadku nierówność ma postać $-x+2-2(x+3)<-2$, czyli $x>-\frac{2}{3}$. Stąd otrzymujemy $x \in\left(-\frac{2}{3}, 2\right)$.

Przypadek 3. (gdy $x \in[2,+\infty)$ )
W tym przypadku nierówność ma postać $x-2-2(x+3)<-2$, czyli $x>-6$. Stąd otrzymujemy $x \in[2,+\infty)$.

Ostatecznie rozwiązaniami nierówności $|x-2|-2 \cdot|x+3|<-2$ są wszystkie liczby ze zbioru $(-\infty,-10) \cup\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)$.

Zauważamy, że $\sqrt{x^{2}+4 x+4}=\sqrt{(x+2)^{2}}=|x+2|$ oraz $\sqrt{x^{2}-6 x+9}=\sqrt{(x-3)^{2}}=|x-3|$.

Zapisujemy nierówność

w równoważnej postaci

Rozważamy trzy przypadki.

Przypadek 1. (gdy $x \in(-\infty,-2)$ )

W tym przypadku nierówność ma postać $-x-2<\frac{25}{3}+x-3$, czyli $x>-\frac{11}{3}$.

Stąd otrzymujemy $x \in\left(-\frac{11}{3},-2\right)$.

Przypadek 2. (gdy $x \in[-2,3)$ )

W tym przypadku nierówność ma postać $x+2<\frac{25}{3}+x-3$. Otrzymujemy prawdziwą nierówność $5<\frac{25}{3}$, więc $x \in[-2,3)$.

Przypadek 3. (gdy $x \in[3,+\infty)$ )

W tym przypadku nierówność ma postać $x+2<\frac{25}{3}-x+3$, czyli $x<\frac{14}{3}$. Stąd otrzymujemy $x \in\left[3, \frac{14}{3}\right)$.

Ostatecznie rozwiązaniami danej nierówności są wszystkie liczby ze zbioru $\left(-\frac{11}{3}, \frac{14}{3}\right)$.

I etap

Trójmian kwadratowy $x^{2}+4 x-\frac{m-3}{m-2}$, gdzie $m \neq 2$, ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy wyróżnik tego trójmianu jest dodatni. Rozwiązujemy warunek $\Delta>0$:

II etap

Wyznaczamy wszystkie wartości parametru $m \neq 2$, dla których jest spełniony warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$, korzystając ze wzorów Viète'a:

III etap

Wyznaczamy wszystkie wartości parametru $m \neq 2$, które jednocześnie spełniają warunki $m \in(-\infty, 2) \cup\left(\frac{11}{5},+\infty\right)$ oraz $m \in\left(2, \frac{9}{4}\right)$: $m \in\left(\frac{11}{5}, \frac{9}{4}\right)$.

Sposób I