2. Poziom rozszerzony - M_R_W24_M04 Funkcje

REgblYOenDYto

4. Funkcje

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego CKE. Sprawdź, czy potrafisz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

(VI 2025, 4 punkty)

Wielomian $f$ zmiennej rzeczywistej $x$ jest określony wzorem $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ , gdzie $a, b, c \in \mathbb{R}$ . Liczba $(-2)$ jest miejscem zerowym tego wielomianu. W kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$ styczna do wykresu wielomianu $f$ w punkcie $A$ o pierwszej współrzędnej równej $(-2)$ przecina ten wykres w punkcie $P=(1,9)$ .

Wyznacz wzór wielomianu $f$ . Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Sposób I

Wzór wielomianu $f$ ma postać $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ przy pewnych $a, b, c \in \mathbb{R}$ .

Styczna jest prostą, na której leżą punkty $A=(-2,0)$ i $P=(1,9)$ .

Obliczamy współczynnik kierunkowy $\mu$ tej prostej: $\mu=\frac{9-0}{1-(-2)}=3$ .

Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy $f^{\prime}(-2)=3$ .

Obliczając pochodną wielomianu $f$ , otrzymujemy $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x+b$ .

Zatem $3=3 \cdot(-2)^{2}+2 a \cdot(-2)+b$ . Stąd $b=4 a-9$ .

Ponieważ $f(-2)=0$ , więc $(-2)^{3}+a \cdot(-2)^{2}+b \cdot(-2)+c=0$ , czyli

$-8+4 a+(4 a-9) \cdot(-2)+c=0$

$c=4 a-10$

Ponieważ $f(1)=9$ , więc $9=1^{3}+a \cdot 1^{2}+b \cdot 1+c$ , czyli

$9=1+a+(4 a-9)+(4 a-10)$

$a=3$

Zatem $b=4 \cdot 3-9=3$ oraz $c=4 \cdot 3-10=2$ .

Wielomian $f$ jest określony wzorem $f(x)=x^{3}+3 x^{2}+3 x+2$ .

Sposób II

Zapisujemy wzór wielomianu $f$ w postaci $f(x)=(x+2)\left(x^{2}+d x+e\right)$ , gdzie $d, e \in \mathbb{R}$ .

Styczna jest prostą, na której leżą punkty $A=(-2,0)$ i $P=(1,9)$ .

Obliczamy współczynnik kierunkowy $\mu$ tej prostej: $\mu=\frac{9-0}{1-(-2)}=3$ .

Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej, mamy $f^{\prime}(-2)=3$ .

Obliczając pochodną wielomianu $f$ , otrzymujemy

$f^{\prime}(x)=1 \cdot\left(x^{2}+d x+e\right)+(x+2) \cdot(2 x+d)$

Zatem $3=(-2)^{2}+d \cdot(-2)+e+0$ . Stąd $e=2 d-1$ .

Ponieważ $f(1)=9$ , więc $9=(1+2)\left(1^{2}+d+e\right)$ , czyli

$9=3 \cdot(1+d+2 d-1)$

$d=1$

Zatem $e=2 \cdot 1-1=1$ .

Wielomian $f$ jest określony wzorem $f(x)=(x+2)\left(x^{2}+x+1\right)$ .

Ćwiczenie 2

(V 2025, 2 punkty)

W warunkach laboratoryjnych obserwowano dynamikę wzrostu liczebności populacji pewnego gatunku bakterii. Liczebność $N$ populacji bakterii zmienia się w czasie zgodnie z zależnością wykładniczą

$N(t)=N_{0} \cdot k^{t} \quad \text { dla } \quad t \geq 0$

gdzie:

$N_{0}$ - liczebność populacji w chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji,

$k$ - stała dodatnia, charakterystyczna dla danego gatunku bakterii i dla warunków przeprowadzenia obserwacji,

$t$ - czas wyrażony w godzinach, liczony od chwili $t=0$ rozpoczęcia obserwacji.

W chwili rozpoczęcia obserwacji liczebność populacji była równa 10000 , a po dwóch godzinach była równa 15625.

Oblicz, o ile procent wzrastała liczebność populacji tej bakterii w ciągu każdej godziny. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Z warunków zadania $N(0)=10000$ , więc $10000=N_{0} \cdot k^{0}$ i stąd $N_{0}=10000$ .

Ponieważ $N(2)=15625$ , więc $15625=10000 \cdot k^{2}$ i stąd $k=1,25$ . Zatem

$\frac{N(t+1)}{N(t)}=\frac{N_{0} \cdot k^{t+1}}{N_{0} \cdot k^{t}}=k=1,25$

dla każdego $t \geq 0$ . To oznacza, że w ciągu każdej godziny liczebność populacji zwiększała się o $25 \%$ .

Ćwiczenie 3

(VI 2024, 2 punkty)

W chwili początkowej $(t=0)$ zainicjowano pewną reakcję chemiczną, w której brał udział związek A. W wyniku tej reakcji masa $m$ związku A zmieniała się w czasie zgodnie z zależnością

$m(t)=a \cdot 2^{-0,05 \cdot t}+b \quad \text { dla } \quad t \geq 0$

gdzie:
$m$ - masa związku A wyrażona w gramach,
$t \quad$ - czas wyrażony w sekundach (liczony od chwili $t=0$ ),
$a, b$ - współczynniki liczbowe.

Masa początkowa związku A (tj. masa w chwili $t=0$ ) była równa $m_{0}$ gramów.

Po osiągnięciu stanu równowagi (tj. gdy $t \rightarrow \infty$ ) masa tego związku była równa $\frac{1}{9}$ jego masy początkowej (zobacz rysunek).

RREXQAFQT7BRX

Oblicz, po ilu sekundach (licząc od chwili zainicjowania tej reakcji) przereagowało 87,5 % masy początkowej tego związku. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Ponieważ po osiągnięciu stanu równowagi masa związku A była równa $\frac{1}{9} m_{0}$ , więc

$\frac{1}{9} m_{0}=\lim _{t \rightarrow+\infty} m(t)=\lim _{t \rightarrow+\infty} a \cdot 2^{-0,05 \cdot t}+b=0+b=b$

Stąd i z warunku $m(0)=m_{0}$ otrzymujemy

$m_{0}=a \cdot 2^{-0,05 \cdot 0}+\frac{1}{9} m_{0}$

czyli $a=\frac{8}{9} m_{0}$ .

Obliczamy czas, po którym pozostało 12,5% początkowej masy związku A:

$\frac{1}{8} m_{0}=\frac{8}{9} m_{0} \cdot 2^{-0,05 \cdot t}+\frac{1}{9} m_{0} \quad /: m_{0}$

$\frac{1}{72}=\frac{8}{9} \cdot 2^{-0,05 \cdot t}$

$2^{-6}=2^{-0,05 \cdot t}$

$6=0,05 t$

$t=120$

Zatem po 120 sekundach przereaguje $87,5 \%$ masy początkowej związku A.

Ćwiczenie 4

(V 2024, 2 punkty)

W chwili początkowej $(t=0)$ filiżanka z gorącą kawą znajduje się w pokoju, a temperatura tej kawy jest równa $80^{\circ} \mathrm{C}$ . Temperatura w pokoju (temperatura otoczenia) jest stała i równa $20^{\circ} \mathrm{C}$ . Temperatura $T$ tej kawy zmienia się w czasie zgodnie z zależnością

$T(t)=\left(T_{p}-T_{z}\right) \cdot k^{-t}+T_{z} \quad \text { dla } \quad t \geq 0$

gdzie:
$T$ - temperatura kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$t$ - czas wyrażony w minutach, liczony od chwili początkowej,
$T_{p}$ - temperatura początkowa kawy wyrażona w stopniach Celsjusza,
$T_{Z}$ - temperatura otoczenia wyrażona w stopniach Celsjusza,
$k$ - stała charakterystyczna dla danej cieczy.

Po 10 minutach, licząc od chwili początkowej, kawa ostygła do temperatury $65^{\circ} \mathrm{C}$ .

Oblicz temperaturę tej kawy po następnych pięciu minutach. Wynik podaj w stopniach Celsjusza, w zaokrągleniu do jedności. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Sposób I

Z warunków zadania $T(10)=65$ , więc $65=(80-20) \cdot k^{-10}+20$ i stąd $k^{-10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}$ . Zatem

$T(15)=(80-20) \cdot k^{-15}+20=60 \cdot\left(k^{-10}\right)^{1,5}+20=$

$=60 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{1,5}+20=60 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+20=\frac{45 \sqrt{3}}{2}+20 \approx 59$

Temperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa $59^{\circ} \mathrm{C}$ .

Sposób II

Z warunków zadania $T(10)=65$ , więc $65=(80-20) \cdot k^{-10}+20$ i stąd $k^{-10}=\frac{3}{4}$ .

Przyjmujemy teraz $T_{p}=65, T_{z}=20$ i obliczamy $T(5)$ :

$T(5)=(65-20) \cdot k^{-5}+20=45 \cdot\left(k^{-10}\right)^{0,5}+20=$

$=45 \cdot \sqrt{\frac{3}{4}}+20=\frac{45 \sqrt{3}}{2}+20 \approx 59$

Temperatura kawy po następnych pięciu minutach była równa $59^{\circ} \mathrm{C}$ .

Ćwiczenie 5

(V 2023, 2 punkty)

W chwili początkowej $(t=0)$ masa substancji jest równa $4$ gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa $19 \%$ masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t \geq 0$ funkcja $m(t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej).

Wyznacz wzór funkcji $m(t)$ . Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1,5$ grama.

Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Oznaczmy:
$t$ - czas (w dobach), licząc od chwili początkowej,
$m(t)$ - masa substancji po $t$ dobach, licząc od chwili początkowej.

Liczby $m(0), m(1), m(2)$ itd. są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie 0,81 . Zatem

$m(t)=4 \cdot 0,81^{t}$

gdzie $t$ jest liczbą całkowitą nieujemną. Ten ciąg geometryczny jest malejący. Ponadto

$m(4)=4 \cdot 0,81^{4} \approx 1,72>1,5$

$m(5)=4 \cdot 0,81^{5} \approx 1,39<1,5$

więc masa substancji będzie mniejsza od $1,5 \mathrm{~g}$ po pięciu dobach.

Ćwiczenie 6

(V ???, ?? punkty)

Przykładowe rozwiązanie

1. Poziom podstawowy

M_R_W24_M04 Funkcje

4. Funkcje