Sposób I

Oznaczmy przez $r$ różnicę ciągu arytmetycznego ( $a_{n}$ ), natomiast przez $q$ - iloraz ciągu geometrycznego ( $b_{n}$ ).

Ponieważ $a_{6}=15$ oraz $a_{15}=a_{3} \cdot\left(a_{8}-6\right)$, więc stąd i z własności ciągu arytmetycznego otrzymujemy

Ciąg ( $a_{n}$ ) jest rosnący, więc $r=4$.

Zatem $b_{1}=a_{6}+5 r=15+5 \cdot 4=35, b_{2}=15$ oraz $q=\frac{b_{2}}{b_{1}}=\frac{3}{7}$.

Ponieważ $\left|\frac{3}{7}\right|<1$, więc suma $S$ wszystkich wyrazów ciągu $\left(b_{n}\right)$ istnieje i jest równa

Sposób I

Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $\left(a_{n}\right)$. Z warunków $a_{1}+a_{3}=20$ i $a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=328$ otrzymujemy:

Gdy $a_{1}=2$, to $a_{3}=20-a_{1}=18$ i wtedy $q^{2}=9$, więc $q=-3$ lub $q=3$. Dla każdej z tych wartości ilorazu ciąg $\left(a_{n}\right)$ jest rozbieżny i tym samym nie są spełnione warunki zadania.

Gdy $a_{1}=18$, to $a_{3}=20-a_{1}=2$ i wtedy $q^{2}=\frac{1}{9}$, więc $q=-\frac{1}{3}$ lub $q=\frac{1}{3}$. Dla każdej z tych wartości $q$ ciąg ( $a_{n}$ ) jest zbieżny, a ponieważ $\left|-\frac{1}{3}\right|<1$ oraz $\left|\frac{1}{3}\right|<1$, więc dla obu tych wartości ilorazu istnieje suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego ( $a_{n}$ ). Dla $a_{1}=18$ i $q=-\frac{1}{3}$ suma $S$ wszystkich wyrazów ciągu ( $a_{n}$ ) jest równa

Dla $a_{1}=18$ i $q=\frac{1}{3}$ suma $S$ wszystkich wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest równa

Sposób II

Niech $q$ oznacza iloraz ciągu $(a_{n})$. Z warunku $a_{1}+a_{3}=20$ otrzymujemy $a_{1}+a_{1} q^{2}=20$, więc $a_{1}=\frac{20}{q^{2}+1}$ i $a_{1} \neq 0$.

Stąd i z warunku $a_{1}^{2}+a_{3}^{2}=328$ otrzymujemy:

Ponieważ $a_{1} \neq 0$, więc dla $q=-3$ oraz $q=3$ ciąg ( $a_{n}$ ) nie jest zbieżny.

Gdy $q=-\frac{1}{3}$, to $a_{1}=\frac{20}{q^{2}+1}=18$ i ciąg $(a_{n})$ jest zbieżny. Ponadto $\left|-\frac{1}{3}\right|<1$, więc istnieje suma $S$ wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa

Gdy $q=\frac{1}{3}$, to $a_{1}=\frac{20}{q^{2}+1}=18$ i ciąg ( $a_{n}$ ) jest zbieżny. Ponadto $\left|\frac{1}{3}\right|<1$, więc istnieje suma $S$ wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego i jest ona równa

Niech $q$ oznacza iloraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$. Z warunku $a_{1}+a_{3}=\frac{5}{2} a_{2}$ oraz z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy

Rozważmy nieskończony ciąg wyrazów o numerach nieparzystych, tj. $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots$. Jest to ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym $a_{1}$ oraz ilorazie $q^{2}$. Ponieważ suma wszystkich wyrazów ciągu ( $a_{n}$ ) o numerach nieparzystych istnieje i jest równa 16 , więc $a_{1} \neq 0$ oraz $\left|q^{2}\right|<1$ i $\frac{a_{1}}{1-q^{2}}=16$. Pozostaje zatem rozpatrzeć przypadki $q=2$ oraz $q=\frac{1}{2}$.

Gdy $q=2$, to warunek $\left|q^{2}\right|<1$ nie jest spełniony.

Gdy $q=\frac{1}{2}$, to warunek $\left|q^{2}\right|<1$ jest spełniony. Wtedy $\frac{a_{1}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=16$ i stąd $a_{1}=12$.

Nieskończony ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 12 i ilorazie $\frac{1}{2}$ spełnia warunki zadania. Wzór ogólny na $n$-ty wyraz ciągu $\left(a_{n}\right)$ ma postać $a_{n}=12 \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

Niech $r$ będzie różnicą ciągu arytmetycznego ( $a_{n}$ ). Wtedy $y=x+r$ oraz $z=x+5 r$. Ponieważ $x+y+z=105$, więc

Zatem $y=35-2 r+r=35-r$ oraz $z=35-2 r+5 r=35+3 r$. Z własności ciągu geometrycznego otrzymujemy

Dla $r=0$ otrzymujemy $x=y=z$, więc warunki zadania nie są spełnione.

Dla $r=15$ otrzymujemy $x=5, y=20, z=80$. Ciąg $(5,20,80)$ jest geometryczny i rosnący. Suma wyrazów tego ciągu jest równa 105. Ponadto wyrazy tego ciągu są odpowiednio - pierwszym, drugim i szóstym wyrazem ciągu arytmetycznego określonego wzorem $a_{n}=5+15 n$, gdzie $n \in \mathbb{N}_{+}$.

Zatem ostatecznie $x=5, y=20, z=80$.

Pierwszy wyraz i iloraz tego szeregu są równe, odpowiednio, $a_{1}=2 x$ oraz $q=-\frac{3}{x-1}$. Ponieważ $x \neq 1$ i $x \neq 0$, to szereg ten jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy $\left|-\frac{3}{x-1}\right|<1$, czyli $|x-1|>3$. Stąd $x \in(-\infty,-2) \cup(4,+\infty)$.

Wtedy suma $S$ tego szeregu jest skończona i równa

Rozwiązujemy równanie $\frac{2 x(x-1)}{x+2}=\frac{15}{2}$ w zbiorze $(-\infty,-2) \cup(4,+\infty)$:

Zatem $x=6$.

Z warunku $c-b=6$ wyznaczamy $c$: $c=b+6$.

Zatem ciąg $(2 a, 2 b, b+7)$ jest arytmetyczny. Korzystamy z własności ciągu arytmetycznego i otrzymujemy $2 b=\frac{2 a+b+7}{2}$. Stąd $4 b=2 a+b+7$, czyli $b=\frac{2}{3} a+\frac{7}{3}$.

Z zależności $c=b+6$ oraz $b=\frac{2}{3} a+\frac{7}{3}$ otrzymujemy $c=\frac{2}{3} a+\frac{25}{3}$. Zatem ciąg $(a, \frac{2}{3} a+\frac{7}{3}, \frac{2}{3} a+\frac{25}{3})$ jest geometryczny.

Korzystamy z własności ciągu geometrycznego i otrzymujemy

Ponieważ wszystkie wyrazy ciągu ( $a, b, c$ ) są dodatnie, więc $a=1$.

Wtedy $b=\frac{2}{3} \cdot 1+\frac{7}{3}=3$ i $c=3+6=9$. Stąd $(a, b, c)=(1,3,9)$ i $(2 a, 2 b, c+1)=(2,6,10)$.

Ciąg $(1,3,9)$ ma wszystkie wyrazy dodatnie i jest geometryczny (o ilorazie $3$ ), ciąg $(2,6,10)$ jest arytmetyczny (o różnicy $4$).

Zatem ostatecznie $a=1, b=3$ oraz $c=9$.

Sposób I

Oznaczmy przez $a_{i}$ długość boku kwadratu $K_{i}$, natomiast przez $L_{i}$ - obwód kwadratu $K_{i}$ (dla $i=1,2,3, \ldots$ ). Niech $L$ oznacza sumę obwodów wszystkich rozważanych kwadratów. Obliczamy długości boków kolejnych kwadratów:

Analogicznie

i tak dalej.

Stąd

Zauważamy, że wyrażenie w nawiasie jest sumą szeregu geometrycznego, gdzie $a_{1}=1$ i $q=\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Ponieważ $|q|=\frac{\sqrt{10}}{4}<1$, zatem spełnione są założenia twierdzenia o istnieniu sumy nieskończonego szeregu geometrycznego.

Zatem $L=4 a \cdot \frac{1}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{4 a}{1-\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{8 \cdot(4+\sqrt{10}) a}{3}$.

Sposób I