2. Poziom rozszerzony - M_R_W24_M06 Trygonometria

REgblYOenDYto

6. Trygonometria

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego CKE. Sprawdź, czy potrafisz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

(VI 2025, 4 punkty)

Rozwiąż równanie

$\cos (2 x)+2 \cos ^{2}(3 x)+\cos (4 x)=0$

w przedziale $[0, \pi]$ . Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy równanie $\cos (2 x)+2 \cos ^{2}(3 x)+\cos (4 x)=0$ równoważnie, stosując wzory na cosinus sumy oraz cosinus różnicy argumentów:

$\cos (3 x-x)+2 \cos ^{2}(3 x)+\cos (3 x+x)=0$

$\cos (3 x) \cos x+\sin (3 x) \sin x+2 \cos ^{2}(3 x)+\cos (3 x) \cos x-\sin (3 x) \sin x=0$

$2 \cos (3 x)(\cos x+\cos (3 x))=0$

$\cos (3 x)=0 \quad \vee \quad \cos x+\cos (3 x)=0$

Rozwiązujemy równanie $\cos (3 x)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych:

$\cos (3 x)=0$

$3 x=\frac{\pi}{2}+k \pi$

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} \cdot k$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Stąd otrzymujemy rozwiązania równania $\cos (3 x)=0$ w zbiorze $[0, \pi]: \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}$ .

Rozwiązujemy równanie $\cos x+\cos (3 x)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych:

$\cos x+\cos (3 x)=0$

$\cos (3 x)=-\cos x$

$\cos (3 x)=\cos (\pi+x)$

$3 x=\pi+x+2 k \pi \quad \vee \quad 3 x=-\pi-x+2 k \pi$

$x=\frac{\pi}{2}+k \pi \quad \vee \quad x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} \cdot k$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Stąd otrzymujemy rozwiązania równania $\cos x+\cos (3 x)=0$ w zbiorze $[0, \pi]: \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$ .

Zatem rozwiązaniami równania $\cos (2 x)+2 \cos ^{2}(3 x)+\cos (4 x)=0$ w zbiorze $[0, \pi]$ są liczby: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{6}$ .

Sposób II

Przekształcamy równanie $\cos (2 x)+2 \cos ^{2}(3 x)+\cos (4 x)=0$ równoważnie, stosując wzór na sumę cosinusów:

$2 \cos \left(\frac{2 x+4 x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{2 x-4 x}{2}\right)+2 \cos ^{2}(3 x)=0$

$2 \cos (3 x) \cos (-x)+2 \cos ^{2}(3 x)=0$

$2 \cos (3 x)(\cos x+\cos (3 x))=0$

$\cos (3 x)=0 \quad \vee \quad \cos x+\cos (3 x)=0$

Rozwiązujemy równanie $\cos (3 x)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych:

$\cos (3 x)=0$

$3 x=\frac{\pi}{2}+k \pi$

$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3} \cdot k$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Stąd otrzymujemy rozwiązania równania $\cos (3 x)=0$ w zbiorze $[0, \pi]: \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}$ .

Rozwiązujemy równanie $\cos x+\cos (3 x)=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych:

$\cos x+\cos (3 x)=0$

$2 \cos \left(\frac{x+3 x}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x-3 x}{2}\right)=0$

$\cos (2 x) \cdot \cos (-x)=0$

$\cos (2 x)=0 \quad \vee \quad \cos x=0$

$2 x=\frac{\pi}{2}+k \pi \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{2}+k \pi$

$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} \cdot k \quad \vee \quad x=\frac{\pi}{2}+k \pi$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Stąd otrzymujemy rozwiązania równania $\cos x+\cos (3 x)=0$ w zbiorze $[0, \pi]: \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$ .

Zatem rozwiązaniami równania $\cos (2 x)+2 \cos ^{2}(3 x)+\cos (4 x)=0$ w zbiorze $[0, \pi]$ są liczby: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{6}$ .

Ćwiczenie 2

(V 2025, 5 punkty)

Rozwiąż równanie

$3 \cos ^{2} x+\sqrt{3} \sin (2 x)-3 \sin ^{2} x=0$

w przedziale $[-\pi, \pi]$ . Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Stosujemy wzory na sinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie

$3 \cos ^{2} x+\sqrt{3} \sin (2 x)-3 \sin ^{2} x=0$

do postaci

$3 \cos ^{2} x+2 \sqrt{3} \sin x \cos x-3 \sin ^{2} x=0$

Należy rozważyć dwa przypadki.

Przypadek 1. (gdy $x \neq \frac{\pi}{2}+\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ ).

Dzielimy obie strony równania

$3 \cos ^{2} x+2 \sqrt{3} \sin x \cos x-3 \sin ^{2} x=0$

przez $\cos ^{2} x$ i otrzymujemy

$3+\frac{2 \sqrt{3} \sin x}{\cos x}-\frac{3 \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}=0$

$3+2 \sqrt{3} \operatorname{tg} x-3 \operatorname{tg}^{2} x=0$

$-3 \operatorname{tg}^{2} x+2 \sqrt{3} \operatorname{tg} x+3=0$

$\Delta=(2 \sqrt{3})^{2}-4 \cdot(-3) \cdot 3=48$

$\operatorname{tg} x=\sqrt{3} \vee \operatorname{tg} x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Rozwiązaniami równania $\operatorname{tg} x=\sqrt{3}$ w zbiorze $\mathbb{R}$ są wszystkie liczby postaci $\frac{\pi}{3}+\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ . Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale $[-\pi, \pi]$ są liczby $\left(-\frac{2 \pi}{3}\right)$ i $\frac{\pi}{3}$ .

Rozwiązaniami równania $\operatorname{tg} x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ w zbiorze $\mathbb{R}$ są wszystkie liczby postaci $-\frac{\pi}{6}+\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ . Zatem rozwiązaniami tego równania w przedziale $[-\pi, \pi]$ są liczby $\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ oraz $\frac{5 \pi}{6}$ .

Przypadek 2. (gdy $x=\frac{\pi}{2}+\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ ).

Ponieważ $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)=0$ dla każdego $k \in \mathbb{Z}$ oraz $\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right)=1$ dla każdego $k \in \mathbb{Z}$ , więc równanie

$3 \cos ^{2} x+2 \sqrt{3} \sin x \cos x-3 \sin ^{2} x=0$

przyjmuje postać

$3 \cdot 0^{2}+2 \sqrt{3} \cdot \sin \left(\frac{\pi}{2}+\pi k\right) \cdot 0-3 \cdot 1=0$

czyli $-3=0$ . To oznacza, że wśród liczb postaci $\frac{\pi}{2}+\pi k$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ , nie ma rozwiązań równania $3 \cos ^{2} x+2 \sqrt{3} \sin x \cos x-3 \sin ^{2} x=0$ .

Ostatecznie rozwiązaniami równania $3 \cos ^{2} x+\sqrt{3} \sin (2 x)-3 \sin ^{2} x=0$ w przedziale $[-\pi, \pi]$ są liczby: $\left(-\frac{2 \pi}{3}\right),\left(-\frac{\pi}{6}\right), \frac{\pi}{3}$ oraz $\frac{5 \pi}{6}$ .

Ćwiczenie 3

(VI 2024, 4 punkty)

Rozwiąż równanie

$\sin (6 x)+\sqrt{3} \cdot \sin (5 x)+\sin (4 x)=0$

Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Sposób I

Stosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie, otrzymując:

$\sin (6 x)+\sqrt{3} \cdot \sin (5 x)+\sin (4 x)=0$

$\sin (5 x+x)+\sqrt{3} \cdot \sin (5 x)+\sin (5 x-x)=0$

$\sin (5 x) \cos x+\cos (5 x) \sin x+\sqrt{3} \cdot \sin (5 x)+\sin (5 x) \cos x-\cos (5 x) \sin x=0$

$\sin (5 x) \cdot(2 \cos x+\sqrt{3})=0$

$\sin (5 x)=0 \quad \vee \quad 2 \cos x+\sqrt{3}=0$

$5 x=k \pi \quad \vee \quad \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=\frac{k \pi}{5} \quad \vee \quad x=-\frac{5}{6} \pi+2 \pi k \quad \vee \quad x=\frac{5}{6} \pi+2 \pi k$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Sposób II

Stosujemy wzór na sumę sinusów i przekształcamy równanie równoważnie, otrzymując:

$\sin (6 x)+\sqrt{3} \cdot \sin (5 x)+\sin (4 x)=0$

$2 \sin \frac{6 x+4 x}{2} \cos \frac{6 x-4 x}{2}+\sqrt{3} \cdot \sin (5 x)=0$

$2 \sin (5 x) \cos x+\sqrt{3} \cdot \sin (5 x)=0$

$\sin (5 x) \cdot(2 \cos x+\sqrt{3})=0$

$\sin (5 x)=0 \quad \vee \quad 2 \cos x+\sqrt{3}=0$

$5 x=k \pi \quad \vee \quad \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x=\frac{k \pi}{5} \quad \vee \quad x=-\frac{5}{6} \pi+2 \pi k \quad \vee \quad x=\frac{5}{6} \pi+2 \pi k$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Ćwiczenie 4

(V 2024, 5 punktów)

Rozwiąż równanie

$\sin (4 x)-\sin (2 x)=4 \cos ^{2} x-3$

w zbiorze $[0,2\pi]$ . Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Stosujemy wzory na sinus i cosinus podwojonego kąta i przekształcamy równanie

$\sin (4 x)-\sin (2 x)=4 \cos ^{2} x-3$

równoważnie, otrzymując:

$\sin (4 x)-\sin (2 x)=4 \cos ^{2} x-3$

$\sin (2 \cdot 2 x)-\sin (2 x)=2 \cdot\left(2 \cos ^{2} x-1\right)-1$

$2 \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)-\sin (2 x)=2 \cdot\left(2 \cos ^{2} x-1\right)-1$

$2 \cdot \sin (2 x) \cdot \cos (2 x)-\sin (2 x)=2 \cos (2 x)-1$

$\sin (2 x) \cdot[2 \cos (2 x)-1]=2 \cos (2 x)-1$

$[\sin (2 x)-1] \cdot[2 \cos (2 x)-1]=0$

$\sin (2 x)-1=0 \quad \vee \quad 2 \cos (2 x)-1=0$

$\sin (2 x)=1 \quad \vee \quad \cos (2 x)=\frac{1}{2}$

Rozwiązujemy równanie $\sin (2 x)=1 \mathrm{w}$ zbiorze liczb rzeczywistych:

$\sin (2 x)=1$

$2 x=\frac{\pi}{2}+2 k \pi$

$x=\frac{\pi}{4}+k \pi$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Stąd otrzymujemy rozwiązania równania $\sin (2 x)=1$ w zbiorze $[0,2 \pi]: \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}$ .

Rozwiązujemy równanie $\cos (2 x)=\frac{1}{2}$ w zbiorze liczb rzeczywistych:

$\cos (2 x)=\frac{1}{2}$

$2 x=\frac{\pi}{3}+2 k \pi \quad \vee \quad 2 x=-\frac{\pi}{3}+2 k \pi$

$x=\frac{\pi}{6}+k \pi \quad \vee \quad x=-\frac{\pi}{6}+k \pi$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Stąd otrzymujemy rozwiązania równania $\cos (2 x)=\frac{1}{2}$ w zbiorze $[0,2 \pi]: \frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{11 \pi}{6}$ .

Zatem rozwiązaniami równania

$\sin (4 x)-\sin (2 x)=4 \cos ^{2} x-3$

w zbiorze $[0,2 \pi]$ są liczby: $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{6}, \frac{5 \pi}{4}, \frac{11 \pi}{6}$ .

Ćwiczenie 5

(VI 2023, 4 punkty)

Rozwiąż równanie

$\sin (5 x)+\cos x=0$

w zbiorze $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ . Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej, w której występuje tylko jedna funkcja trygonometryczna zmiennej $x$ :

$\sin (5 x)+\cos x=0$

$\sin (5 x)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=0$

$\sin (5 x)=-\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)$

Ponieważ funkcja sinus jest nieparzysta, więc

$\sin (5 x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{2}\right)$

Stąd

$5 x=x-\frac{\pi}{2}+2 k \pi \quad \text { lub } \quad 5 x=\pi-\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+2 k \pi$

$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k \pi}{2} \quad \text { lub } \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{3}$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Wyznaczamy rozwiązania równania $\sin (5 x)+\cos x=0$ w zbiorze $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ :

$-\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8},-\frac{5 \pi}{12},-\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{4}$

Ćwiczenie 6

(V 2023, 3 punkty)

Rozwiąż równanie

$4 \sin (4 x) \cos (6 x)=2 \sin (10 x)+1$

Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Stosujemy wzory na sinus sumy oraz różnicy kątów i przekształcamy równanie równoważnie, otrzymując:

$4 \sin (4 x) \cos (6 x)=2 \sin (10 x)+1$

$4 \sin (4 x) \cos (6 x)=2 \sin (6 x+4 x)+1$

$4 \sin (4 x) \cos (6 x)=2 \sin (6 x) \cos (4 x)+2 \cos (6 x) \sin (4 x)+1$

$2 \sin (4 x) \cos (6 x)-2 \sin (6 x) \cos (4 x)=1$

$-2 \sin (2 x)=1$

$\sin (2 x)=-\frac{1}{2}$

Stąd $2 x=\frac{7}{6} \pi+2 k \pi$ lub $2 x=\frac{11}{6} \pi+2 k \pi$ , gdzie $k \in \mathbb{Z}$ , czyli

$x=\frac{7}{12} \pi+k \pi \quad \text { lub } \quad x=\frac{11}{12} \pi+k \pi$

gdzie $k \in \mathbb{Z}$ .

Ćwiczenie 7

(VI 2025, 4 punkty)

Przykładowe rozwiązanie

1. Poziom podstawowy

M_R_W24_M06 Trygonometria

6. Trygonometria