Sposób I (poprzez trójkąt równoramienny)

Środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku. Zatem punkt $M$ jest środkiem odcinka $A C$ oraz środkiem odcinka $B D$. Stosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka $B$:

Stosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka $C$:

R1A8QLJ317G4P

Obliczamy $|A B|$: $\quad |A B|=\sqrt{(4-(-8))^{2}+(-7-(-1))^{2}}=\sqrt{180}$.

Wyznaczamy równanie prostej $B C$: $y=\frac{3-(-7)}{-1-4} \cdot(x-4)+(-7)$, czyli $y=-2 x+1$.

Niech $E$ będzie punktem na boku $B C$ równoległoboku (lub na przedłużeniu tego boku w stronę $C$ ) takim, że $|B E|=|B A|$. Obliczamy współrzędne punktu $E$:

Punkt $(10,-19)$ nie spełnia warunku narzuconego na $E$ (bowiem $10>x_{B}$ ), więc $E=(-2,5)$.

Okrąg $\mathcal{O}$ jest styczny do prostych $A B$ oraz $B C$, więc jego środek $S$ leży na dwusiecznej kąta $A B C$ równoległoboku $A B C D$. Ponieważ trójkąt $A B E$ jest równoramienny, więc środek $F$ odcinka $A E$ leży na prostej $B S$ i odcinek $A E$ jest prostopadły do prostej $B S$.

Obliczamy współrzędne punktu $F$:

Wyznaczamy równanie prostej $B S$ : $y=\frac{-7-2}{4-(-5)} \cdot(x-4)+(-7)$, czyli $y=-x-3$.

Zatem $S=\left(x_{S},-x_{S}-3\right)$.

Niech $T$ będzie punktem styczności okręgu $\mathcal{O}$ z prostą $B C$.

Wyznaczamy równanie prostej $S T$ : $y=\frac{1}{2} \cdot\left(x-x_{S}\right)+\left(-x_{S}-3\right)$.

Wyznaczamy współrzędne punktu $T$ :

czyli $T=\left(\frac{3}{5} x_{S}+\frac{8}{5},-\frac{6}{5} x_{S}-\frac{11}{5}\right)$.

Oznaczmy przez $r$ promień okręgu $\mathcal{O}$. Ponieważ okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc $r=\sqrt{x_{S}^{2}+\left(-x_{S}-3\right)^{2}}$. Jednocześnie

więc

Stąd otrzymujemy

Ponieważ $-\frac{29}{9}<-3$, a druga współrzędna punku $S$ ma być ujemna, więc $x_{S}=-1$, czyli $S=(-1,-2)$.

Obliczamy promień okręgu: $r=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}$.

Okrąg $\mathcal{O}$ ma równanie $(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5$.

Sposób II (poprzez współczynniki kierunkowe)

Środek symetrii równoległoboku jest punktem przecięcia przekątnych równoległoboku. Zatem punkt $M$ jest środkiem odcinka $A C$ oraz środkiem odcinka $B D$. Stosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka $B$:

Stosujemy wzory na współrzędne środka odcinka i obliczamy współrzędne wierzchołka $C$:

R7PXX87PU8NO4

Obliczamy współczynnik kierunkowy $a_{A B}$ prostej $A B: a_{A B}=\frac{-7-(-1)}{4-(-8)}=-\frac{1}{2}$.

Obliczamy współczynnik kierunkowy $a_{B C}$ prostej $B C$ : $a_{B C}=\frac{3-(-7)}{-1-4}=-2$.

Oznaczmy miarę kąta $A B C$ równoległoboku przez $2 \alpha$. Obliczamy tangens tego kąta, korzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego prostej oraz wzoru na tangens różnicy kątów:

Korzystamy ze wzoru na tangens podwojonego kąta i otrzymujemy

Ponieważ kąt $A B C$ równoległobku jest ostry, więc $\operatorname{tg} \alpha=\frac{1}{3}$.

Oznaczmy środek okręgu $\mathcal{O}$ przez $S$. Obliczamy współczynnik kierunkowy $a_{B S}$ prostej $B S$, korzystając z interpretacji geometrycznej współczynnika kierunkowego prostej oraz wzoru na tangens sumy kątów:

Wyznaczamy równanie prostej $B S$ : $y=-1 \cdot(x-4)+(-7)$, czyli $y=-x-3$. Zatem $S=\left(x_{S},-x_{S}-3\right)$.

Niech $r$ będzie długością promienia okręgu $\mathcal{O}$. Ponieważ okrąg przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc $r=\sqrt{x_{S}^{2}+\left(-x_{S}-3\right)^{2}}$. Ponadto

więc

Ponieważ $-\frac{29}{9}<-3$, a druga współrzędna punku $S$ ma być ujemna, więc $x_{S}=-1$, czyli $S=(-1,-2)$.

Obliczamy promień okręgu: $r=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}$.

Okrąg $\mathcal{O}$ ma równanie $(x+1)^{2}+(y+2)^{2}=5$.

Obliczamy współrzędne punktów $A$ oraz $B$, w których przecinają się okręgi $\mathcal{O}_{1}$ oraz $\mathcal{O}_{2}$:

$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=5\\ (x-2{)}^2+(y-4{)}^2=45\end{array}$

$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+(y+3{)}^2-(x-2{)}^2-(y-4{)}^2=5-45\\ (x-2{)}^2+(y-4{)}^2=45\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2-2x+1+y^2+6y+9-x^2+4x-4-y^2+8y-16=-40\\ (x-2{)}^2+(y-4{)}^2=45\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+7y=-15\\ (x-2{)}^2+(y-4{)}^2=45\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-7y-15\\ (x-2{)}^2+(y-4{)}^2=45\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-7y-15\\ (-7y-15-2{)}^2+(y-4{)}^2=45\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=-7y-15\\ 50y^2+230y+260=0\end{array}$

Stąd $y=-\frac{13}{5} \text { lub } y=-2$

Gdy $y=-\frac{13}{5}$ to wtedy $x=-7 \cdot\left(-\frac{13}{5}\right)-15=\frac{16}{5}$

Gdy $y=-2$ to wtedy $x=-7 \cdot(-2)-15=-1$.

Ponieważ pierwsza współrzędna punktu $A$ jest dodatnia, więc $A=\left(\frac{16}{5},-\frac{13}{5}\right)$ oraz $B=(-1,-2)$.

Oznaczmy przez $x_{M}$ i $y_{M}$ odpowiednie współrzędne punktu $M$, tj. $M=\left(x_{M}, y_{M}\right)$. Wtedy

Zatem $M=\left(\frac{2}{5},-\frac{11}{5}\right)$.

Obliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą o równaniu $3 x+y+2=0$:

$\{\begin{array}{l}y=x^2-2x-8\\ 3x+y+2=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=x^2-2x-8\\ 3x+x^2-2x-8+2=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=x^2-2x-8\\ x^2+x-6=0\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y=x^2-2x-8\\ x=-3\vee x=2\end{array}$

Stąd $A=(-3,7)$ oraz $B=(2,-8)$.

Punkt $C$ leży na prostej o równaniu $y=-\frac{1}{2} x+1$ i ma pierwszą współrzędną dodatnią, więc $C=\left(c,-\frac{1}{2} c+1\right)$ przy pewnym $c>0$.

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej i otrzymujemy kolejno:

Zatem $C=(6,-2)$.

Obliczamy długość boku $B C$:

Promienie $B S$ oraz $C S$ okręgu poprowadzone do punktów styczności są prostopadłe do stycznych – odpowiednio – $A B$ i $A C$, więc trójkąty $A B S$ oraz $A C S$ są prostokątne. Ponadto odcinki $A B$ oraz $A C$ mają równe długości, więc trójkąty te są przystające (na podstawie cechy bbb przystawania trójkątów). Oznaczmy $m=|A B|=|A C|$ (zobacz rysunek).

R3G31P8ECBMT3

Pole $P_{A B S C}$ czworokąta $A B S C$ jest sumą pól trójkątów przystających $A B S$ oraz $A C S$, więc

Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do trójkąta $A B S$ otrzymujemy

Niech $x_{S}$ będzie pierwszą współrzędną punktu $S$. Punkt $S$ leży na prostej o równaniu $y=x+1$, więc $S=\left(x_{S}, x_{S}+1\right)$.

Wtedy

Stąd dalej otrzymujemy

Zatem $S=(6,7)$ lub $S=(-4,-3)$.

Ponieważ prosta o równaniu $4 x-3 y+2=0$ przechodzi przez środek $S=(1,2)$ danego okręgu, więc bok $A B$ jest średnicą tego okręgu. Zatem $|A B|=10$. Wysokość $C D$ dzieli bok $A B$ tak, że $|A D|=4|D B|$. Stąd i z $|A D|+|D B|=10$ wynika, że $|A D|=8$ oraz $|D B|=2$. Ponieważ kąt $A C B$ jest kątem wpisanym w okrąg, opartym na średnicy, więc jest kątem prostym. Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego dzieli przeciwprostokątną $A B$ tak, że $|C D|=\sqrt{|A D| \cdot|D B|}=\sqrt{8 \cdot 2}=4$. Zatem pole $P$ trójkąta $A B C$ jest równe

Obliczamy współrzędne punktów przecięcia paraboli z prostą $l$ :

Stąd $A=\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)$ oraz $B=\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$.

Prosta $l$ ma równanie kierunkowe $y=x-2$, więc jest nachylona do osi $O x$ układu współrzędnych pod kątem $45^{\circ}$. Zatem prosta przechodząca przez punkty $A$ i $C$ jest nachylona do osi $O x$ układu pod kątem $\alpha+45^{\circ}$. Obliczamy $\operatorname{tg}\left(\alpha+45^{\circ}\right)$, korzystając ze wzoru na tangens sumy kątów

Wyznaczamy równanie prostej $A C: y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}$.

Ponieważ $A B$ jest średnicą okręgu, więc kąt $A C B$ (jako kąt wpisany oparty na średnicy $A B$ ) jest prosty. Wobec tego współczynnik kierunkowy $a_{B C}$ prostej $B C$ jest równy $a_{B C}=-\frac{1}{2}$ i prosta $B C$ ma równanie $y=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}$.

Punkt $C=\left(x_{C}, y_{C}\right)$ leży na prostych $A C$ i $B C$, więc $y_{C}=2\left(x_{C}-\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{2}$ oraz $y_{C}=-\frac{1}{2}\left(x_{C}-\frac{3}{2}\right)-\frac{1}{2}$. Stąd otrzymujemy:

Zatem $C=\left(\frac{11}{10},-\frac{3}{10}\right)$.

Sposób I