lloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 4 tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występują:

• dwie dwójki i cztery jedynki,

albo

• jedna czwórka i pięć jedynek.

Liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie dwie dwójki i cztery jedynki jest $\binom{6}{2}=15$.

Liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują dokładnie jedna czwórka i pięć jedynek jest 6.

Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 4 jest 21 .

lloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 2 tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występują jedna dwójka i pięć jedynek.

Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 2 jest 6.

lloczyn cyfr liczby naturalnej sześciocyfrowej jest równy 0 tylko wtedy, gdy w zapisie dziesiętnym tej liczby występuje na pierwszej pozycji cyfra różna od zera, a na dalszych pozycjach co najmniej jedno zero.

Ponieważ wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych jest $9 \cdot 10^{5}$, a wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o wszystkich cyfrach różnych od zera jest $9^{6}$, więc wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 jest $9 \cdot 10^{5}-9^{6}=368559$.

Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, których iloczyn cyfr jest liczbą parzystą mniejszą od 5 jest $21+6+368559=368586$.

Uwaga.

Liczbę wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 można obliczyć też w następujący sposób. Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie jeden raz jest $\binom{5}{1} \cdot 9^{5}=295245$.

Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie dwa razy jest $\binom{5}{2} \cdot 9^{4}=65610$.

Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie trzy razy jest $\binom{5}{3} \cdot 9^{3}=7290$.

Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie cztery razy jest $\binom{5}{4} \cdot 9^{2}=405$.

Wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym cyfra zero występuje dokładnie pięć razy jest $\binom{5}{5} \cdot 9^{1}=9$.

Zatem wszystkich liczb naturalnych sześciocyfrowych o iloczynie cyfr równym 0 jest $295245+65610+7290+405+9=368559$.

Niech $L_{1}$ będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:

• wyrazy są cyframi, parami różnymi

• trzy wyrazy są liczbami nieparzystymi, a dwa są liczbami parzystymi.

Aby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych, dwie cyfry spośród dwóch parzystych i wybrane pięć cyfr ustawić w ciąg. Zatem

Niech $L_{2}$ będzie liczbą wszystkich ciągów pięcioelementowych, których:

• wyrazy są cyframi, parami różnymi

• pierwszy wyraz jest zerem, a wśród pozostałych wyrazów są trzy cyfry nieparzyste i jedna cyfra parzysta.

Aby wygenerować taki ciąg należy wybrać trzy cyfry spośród pięciu nieparzystych oraz jedną cyfrę spośród cyfr: $2,4,6,8$, i wybrane cztery cyfry ustawić w ciąg. Następnie na początku ciągu ustawić cyfrę 0 . Zatem

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, o różnych cyfrach, w których dokładnie trzy cyfry są nieparzyste, a pozostałe są parzyste, jest

$L_{1}-L_{2}=\binom{5}{3} \cdot\binom{5}{2} \cdot 5!-\binom{5}{3} \cdot\binom{4}{1} \cdot 4!=$

$=10 \cdot 10 \cdot 120-10 \cdot 4 \cdot 24=11040$.

Liczba wszystkich sposobów ustawienia $n$ osób w kolejce jest równa $n$ !.

Liczbę wszystkich tych ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy sąsiednie miejsca, możemy obliczyć, traktując Anię i jej dwóch znajomych jak „jedną osobę”.

W rezultacie mamy ustawić ciąg złożony z $n-2$ osób, co można zrobić na ( $n-2$ )! sposobów. Na ustalonych trzech miejscach Anię i jej dwóch znajomych możemy ustawić na $3!$ sposobów, więc liczba wszystkich tych ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy kolejne miejsca jest równa $(n-2)!\cdot 3!$.

Z warunków zadania wynika równanie

Stąd, po podzieleniu obu stron tego równania przez $(n-2)!$, otrzymujemy:

Ponieważ $n$ jest liczbą całkowitą dodatnią, więc $n+8>0$. Zatem $n-9=0$, czyli $n=9$.

Uwaga. Liczbę wszystkich ciągów, w których Ania i jej dwóch znajomych zajmują trzy kolejne miejsca, możemy obliczyć też w następujący sposób.

Trzy kolejne miejsca spośród $n$ miejsc możemy wybrać na $n-2$ sposoby. Na wybranych trzech miejscach Anię i jej dwóch znajomych możemy ustawić na $3!$ sposobów, a na pozostałych $n-3$ miejscach możemy pozostałe osoby ustawić na $(n-3)!$ sposobów. Zatem liczba szukanych ciągów jest równa $(n-2) \cdot 3!\cdot(n-3)!=(n-2)!\cdot 3$!

Sposób I