2. Poziom rozszerzony - M_R_W24_M11 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

REgblYOenDYto

11. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Poniższe zadania zostały wybrane z arkuszy maturalnych z poprzednich lat oraz z informatora maturalnego CKE. Sprawdź, czy potrafisz je rozwiązać.

Ćwiczenie 1

(VI 2025, 3 punkty)

Sklep AGD prowadzi sprzedaż wysyłkową pralek. Prawdopodobieństwo uszkodzenia podczas transportu pralki wysłanej przez ten sklep do klienta jest równe 0,02 .

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $\boldsymbol{A}$ polegającego na tym, że spośród 10 pralek wysłanych dziesięciu klientom przez ten sklep co najwyżej jedna ulegnie uszkodzeniu podczas transportu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Sukcesem w pojedynczej próbie Bernoullego jest uszkodzenie pralki podczas transportu. Określamy prawdopodobieństwo sukcesu $(p)$ i porażki $(q)$ w pojedynczej próbie Bernoullego: $p=0,02$ , $q=1-p=0,98$ . Niech $S_{10}^{k}$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród dziesięciu wysłanych przez sklep pralek dokładnie $k$ pralek uległo uszkodzeniu podczas transportu $(k \in\{0,1\})$ . Obliczamy prawdopodobieństwo $P$ zdarzenia polegającego na tym, że wśród dziesięciu wysłanych pralek uszkodzeniu podczas transportu ulegnie co najwyżej jedna:

$P=P\left(S_{10}^{0}\right)+P\left(S_{10}^{1}\right)=$ $=\binom{10}{0} \cdot(0,02)^{0} \cdot(0,98)^{10}+\binom{10}{1} \cdot(0,02)^{1} \cdot(0,98)^{9}=$ $=(0,98)^{9} \cdot(0,98+10 \cdot 0,02)=(0,98)^{9} \cdot 1,18 \approx 0,984$

Ćwiczenie 2

(V 2025, 3 punkty)

Doświadczenie losowe polega na czterokrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, pod warunkiem że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie czteroelementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru $\{1,2,3,4,5,6\}$ . Niech $\Omega$ oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych. Oznaczmy przez $A$ zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy co najmniej jeden raz sześć oczek, natomiast przez $B$ - że otrzymamy dokładnie dwa razy pięć oczek.

Obliczamy moc zdarzenia $B$ : $|B|=\binom{4}{2} \cdot 5 \cdot 5=150$ .

Obliczamy moc zdarzenia $A \cap B$ : $|A \cap B|=\binom{4}{2} \cdot\binom{2}{1} \cdot 4+\binom{4}{2}=54$ .

Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe $P(A \mid B)$ :

$P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{|A \cap B|}{|\Omega|}}{\frac{|B|}{|\Omega|}}=\frac{|A \cap B|}{|B|}=\frac{54}{150}=\frac{9}{25}$ .

Ćwiczenie 3

(VI 2024, 3 punkty)

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Przyjmijmy następujące oznaczenia:
$A$ - zdarzenie polegające na wyrzuceniu trzech orłów z rzędu w dziesięciu rzutach monetą,
$B-$ zdarzenie polegające na wyrzuceniu trzech orłów w dziesięciu rzutach monetą,
$\Omega$ - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych.

Wynikiem każdego rzutu jest orzeł $(o)$ lub reszka $(r)$ . Wynikiem doświadczenia losowego jest dziesięciowyrazowy ciąg o wyrazach ze zbioru $\{o, r\}$ . Zatem liczba elementów zbioru $\Omega$ jest równa $2^{10}=1024$ .

Obliczamy liczbę elementów zbioru $B$ : $|B|=\binom{10}{3}=120$ .

Zdarzenie $A \cap B$ polega na wyrzuceniu w dziesięciu rzutach dokładnie trzech orłów i to trzech orłów z rzędu. Obliczamy liczbę elementów zbioru $A \cap B$ : $|A \cap B|=8$ .

Obliczamy prawdopodobieństwo $P(A \mid B)$ :

$P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{|A \cap B|}{|\Omega|}}{\frac{|B|}{|\Omega|}}=\frac{\frac{8}{1024}}{\frac{120}{1024}}=\frac{8}{120}=\frac{1}{15}$

Ćwiczenie 4

(V 2024, 3 punkty)

W pewnym zakładzie mleczarskim śmietana produkowana jest w 200‑gramowych opakowaniach. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że w losowo wybranym opakowaniu śmietana zawiera mniej niż $36 \%$ tłuszczu, jest równe 0,01 . Kontroli poddajemy 10 losowo wybranych opakowań ze śmietaną.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wśród opakowań poddanych tej kontroli będzie co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu. Wynik zapisz w postaci ułamka dziesiętnego w zaokrągleniu do części tysięcznych. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Sukcesem w pojedynczej próbie Bernoullego jest wylosowanie jednego opakowania ze śmietaną, która zawiera mniej niż $36 \%$ tłuszczu. Określamy prawdopodobieństwo sukcesu $(p)$ i porażki ( $q$ ) w pojedynczej próbie Bernoullego: $p=0,01, q=1-p=0,99$ .

Niech $S_{10}^{k}$ oznacza zdarzenie polegające na tym, że wśród dziesięciu losowo wybranych opakowań ze śmietaną znajduje się dokładnie $k$ opakowań ze śmietaną, która zawiera mniej niż $36 \%$ tłuszczu $(k \in\{0,1\})$ .

Obliczamy prawdopodobieństwo $P$ zdarzenia polegającego na tym, że wśród dziesięciu opakowań ze śmietaną poddanych kontroli znajdzie się co najwyżej jedno opakowanie ze śmietaną, która zawiera mniej niż 36% tłuszczu:

$P=P\left(S_{10}^{0}\right)+P\left(S_{10}^{1}\right)=$

$=\binom{10}{0} \cdot(0,01)^{0} \cdot(0,99)^{10}+\binom{10}{1} \cdot(0,01)^{1} \cdot(0,99)^{9}=$

$=(0,99)^{9} \cdot(0,99+10 \cdot 0,01)=(0,99)^{9} \cdot 1,09 \approx 0,996$

Ćwiczenie 5

(VI 2023, 3 punkty)

Prawdopodobieństwo wystąpienia awarii sieci ciepłowniczej na pewnym osiedlu mieszkaniowym w godzinach porannych pojedynczego dnia jest równe 0,1 .

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że w okresie siedmiu dni wystąpią co najwyżej dwa takie dni, w których nastąpi awaria tej sieci na tym osiedlu w godzinach porannych. Wynik podaj w ułamku dziesiętnym w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Określamy prawdopodobieństwo sukcesu $(p)$ i porażki $(q)$ : $p=\frac{1}{10}$ , $q=1-p=\frac{9}{10}$ . Niech $S_{7}^{k}$ oznacza zdarzenie polegające na wystąpieniu awarii w godzinach porannych dokładnie w $k$ dniach spośród siedmiu rozpatrywanych $(k \in\{0,1,2\})$ .

Obliczamy prawdopodobieństwo $P$ wystąpienia awarii w godzinach porannych w co najwyżej dwóch dniach spośród siedmiu:

$P(A)=P\left(S_{7}^{0}\right)+P\left(S_{7}^{1}\right)+P\left(S_{7}^{2}\right)=$

$=\binom{7}{0} \cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{0} \cdot\left(\frac{9}{10}\right)^{7}+\binom{7}{1} \cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{1} \cdot\left(\frac{9}{10}\right)^{6}+\binom{7}{2} \cdot\left(\frac{1}{10}\right)^{2} \cdot\left(\frac{9}{10}\right)^{5}=$

$=\frac{9^{7}+7 \cdot 9^{6}+21 \cdot 9^{5}}{10^{7}}=\frac{9^{5} \cdot 165}{10^{7}}=\frac{9743085}{10000000} \approx 0,97$

Ćwiczenie 6

(V 2023, 3 punkty)

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe $\frac{1}{4}$ .

Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. Zapisz obliczenia.

Przykładowe rozwiązanie

Określamy prawdopodobieństwo sukcesu $(p)$ i porażki $(q)$ w pojedynczej partii: $p=\frac{1}{4}$ , $q=1-p=\frac{3}{4}$ .

Niech $S_{5}^{k}$ oznacza zdarzenie polegające na wygraniu przez Tomka dokładnie $k$ partii spośród pięciu rozgrywanych $(k \in\{0,1,2,3,4,5\})$ .

Obliczamy prawdopodobieństwo $P$ wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii:

$P=P\left(S_{5}^{4}\right)+P\left(S_{5}^{5}\right)=$

$=\binom{5}{4} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{4} \cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{1}+\binom{5}{5} \cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{5}=\frac{5 \cdot 3+1}{4^{5}}=\frac{16}{4^{5}}=\frac{1}{64}$ .

Ćwiczenie 7

(V ???, ?? punkty)

Przykładowe rozwiązanie

1. Poziom podstawowy

M_R_W24_M11 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

11. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka