3. Potęga o wykładniku wymiernym i rzeczywistym

R189JnhBaivvp

Trudno sobie wyobrazić bazując jedynie na intuicji, jakie wartości mogłyby przyjąć potęgi takie jak $3^{\frac{1}{2}}$ czy $5^{\frac{2}{3}}$ . Po raz kolejny potrzebna będzie formalna definicja będąca konsekwencją wcześniej przyjętych własności. W tej lekcji zdefiniujemy potęgi o wykładnikach wymiernych. W tym celu wykorzystamy własności potęg, które zdążyliśmy poznać dotychczas.

Twoje cele

Zastosujesz definicję potęgi o wykładniku wymiernym.
Poznasz definicję potęgi o wykładniku rzeczywistym.
Zastosujesz definicje pierwiastków różnych stopni do wykonywania obliczeń.
Obliczysz przybliżone wartości potęg o wykładnikach rzeczywistych.
Porównasz potęgi o wykładnikach rzeczywistych.

Potęga o wykładniku wymiernym

Chcielibyśmy, aby stosowane do tej pory własności działań na potęgach były uniwersalne dla wszystkich wykładników – nie tylko naturalnych czy całkowitych.

Ważne!

Wśród znanych nam już własności znajduje się taka, która orzeka, że iloczyn potęg o tych samych podstawach jest równy potędze, której podstawą jest podstawa czynników, zaś wykładnik jest równy sumie wykładników czynników (czyli dla $a > 0$ zachodzi $a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}$ ).

Rozważmy liczbę $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ .

Zgodnie ze wspomnianą powyżej własnością zachodzi $3^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = 3^{1} = 3$

Ale prawdą jest też, $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ .

Ponieważ chcielibyśmy, aby równanie $x^{2} = 3$ miało jedno rozwiązanie dodatnie, a obie liczby $\sqrt{3}$ i $3^{\frac{1}{2}}$ są dodatnie i to równanie spełniają, więc przyjmujemy $3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ .

Analogicznie chcielibyśmy, aby równanie $x^{3} = 2$ miało jedno rozwiązanie.

Okazuje się, że spełniają je liczby $\sqrt[3]{2}$ (bo ${(\sqrt[3]{2})}^{3} = 2$ oraz $2^{\frac{1}{3}}$ (bo ${(2^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}} = 2^{1} = 2$ ).

Przyjmujemy więc, że $2^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{2}$ .

Oba przykłady są szczególnymi przypadkami potęgi o wykładniku będącym odwrotnością liczby naturalnej, którą definiujemy jak następuje:

Jeśli

a \geq 0

oraz

n \in ℕ ∖ \{0, 1\}

, to

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

Przykład 1

Obliczymy wartości potęg:

$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$

$125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$

${(\frac{16}{81})}^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}$

Ponieważ chcemy, żeby wszystkie poznane dotąd własności działań na potęgach były prawdziwe, więc aby obliczyć wartości potęg o wykładnikach będących liczbami wymiernymi, ale bardziej skomplikowanymi niż odwrotności liczb naturalnych, możemy postąpić jak poniżej.

Przykład 2

Obliczymy wartość potęgi $8^{\frac{2}{3}}$ .

Korzystając z własności potęgowania, która orzeka, że dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczb całkowitych $k$ i $m$ zachodzi

{(a^{k})}^{m} = a^{k \cdot m}

przekształcamy:

$8^{\frac{2}{3}} = 8^{\frac{1}{3} \cdot 2} = {(8^{\frac{1}{3}})}^{2} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2} = 4$

Ważne!

Potęgę o nieujemnej podstawie $a$ i wykładniku $\frac{k}{m}$ , gdzie $k$ i $m$ są liczbami naturalnymi, przy czym $m > 1$ definiujemy wzorem:

a^{\frac{k}{m}} = {(\sqrt[m]{a})}^{k}

Przykład 3

Obliczymy wartości potęg o wykładniku wymiernym dodatnimpotęg o wykładniku wymiernym dodatnim:

$81^{\frac{3}{4}} = {(\sqrt[4]{81})}^{3} = 3^{3} = 27$

$32^{\frac{2}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{2} = 2^{2} = 4$

$32^{\frac{3}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{3} = 2^{3} = 8$

$32^{\frac{4}{5}} = {(\sqrt[5]{32})}^{4} = 2^{4} = 16$

${(\frac{9}{25})}^{\frac{3}{2}} = {(\sqrt{\frac{9}{25}})}^{3} = {(\frac{3}{5})}^{3} = \frac{27}{125}$

${(\frac{9}{25})}^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{\frac{9}{25}})}^{2} = \sqrt[3]{\frac{81}{625}} = \frac{\sqrt[3]{81}}{\sqrt[3]{625}} = \frac{3 \sqrt[3]{3}}{5 \sqrt[3]{5}}$ możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika rozszerzając ułamek przez $\sqrt[3]{25}$ : $\frac{3 \sqrt[3]{3}}{5 \sqrt[3]{5}} \cdot \frac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}} = \frac{3 \sqrt[3]{75}}{5 \cdot 5} = \frac{3 \sqrt[3]{75}}{25}$

Ponieważ każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego na nieskończenie wiele sposobów, rodzi się wątpliwość, czy każda z tych postaci da taką samą wartość potęgi.
Na przykład prawdą jest, że $\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9} = \frac{4}{12} = . . .$
Ale czy $2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{6}} = 2^{\frac{3}{9}} = 2^{\frac{4}{12}} = . . .$ ?
Dowodzi się, że tak rzeczywiście jest. O ile pamiętamy, że podstawą potęgi o wykładniku wymiernym może być tylko liczba nieujemna, można wybrać dowolną spośród wszystkich postaci wykładnika reprezentujących tę samą liczbę wymierną, ale trzymamy się zasady, że wybieramy najprostszą z nich, tzn. ułamek nieskracalny.
W przykładzie powyżej wybierzemy $2^{\frac{1}{3}}$ .

Ciekawostka

Zbadajmy jeszcze, do czego prowadziłaby możliwość obliczania potęg o wykładniku wymiernym i podstawie będącej liczbą ujemną.

Rozważmy ciąg następujących równości:

$- 1 = {(- 1)}^{1} = {(- 1)}^{2 \cdot \frac{1}{2}} = {[{(- 1)}^{2}]}^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$

Gdybyśmy w definicji potęgi o wykładniku wymiernym dopuścili, aby podstawa potęgi była liczbą ujemną, musielibyśmy zrezygnować z własności potęgowania... albo pogodzić się z faktem, że $- 1 = 1$ i wszystkimi konsekwencjami tej równości.

Dużo bardziej sensowne i praktyczne wydaje się przyjęcie ograniczenia, że podstawą potęgi o wykładniku wymiernym może być tylko liczba nieujemna.

Jeżeli dopuścimy, aby wykładnik potęgi mógł być liczbą ujemną, potrzebne jest mocniejsze założenie: w takim przypadku podstawa potęgi musi być liczbą dodatnią.

Ważne!

Dla $a > 0$ oraz liczb naturalnych $k$ i $m$ , gdzie $m > 1$ definiujemy potęgę o wykładniku wymiernym ujemnym następującym wzorem:

a^{- \frac{k}{m}} = \frac{1}{{(\sqrt[m]{a})}^{k}} = {(\sqrt[m]{\frac{1}{a}})}^{k}

Przykład 4

Obliczymy wartości potęg o wykładniku wymiernym ujemnympotęg o wykładniku wymiernym ujemnym:

${0,125}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{125}{1000})}^{- \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{8})}^{- \frac{2}{3}} = 8^{\frac{2}{3}} = {(\sqrt[3]{8})}^{2} = 2^{2} = 4$

${(\frac{16}{81})}^{- \frac{3}{4}} = {(\frac{81}{16})}^{\frac{3}{4}} = {(\sqrt[4]{\frac{81}{16}})}^{3} = {(\frac{3}{2})}^{3} = \frac{27}{8} = 3,375$

Już wiesz

Dla porządku przypomnimy własności potęgowania, które przenoszą się z potęg o wykładnikach całkowitych na potęgi o wykładnikach wymiernych.

Jeśli $a$ i $b$ są liczbami dodatnimi, zaś $p$ i $q$ są liczbami wymiernymi, to:

a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q}

a^{p} : a^{q} = a^{p - q}

{(a^{p})}^{q} = a^{p \cdot q}

a^{p} \cdot b^{p} = {(a \cdot b)}^{p}

a^{p} : b^{p} = {(a : b)}^{p}

Polecenie 1

Przeanalizuj informacje zawarte w filmie samouczku.

RNU764S9r3QE6

Polecenie 2

RomN5BHeVZChG

Potęga o wykładniku rzeczywistym

Wykorzystując poznane do tej pory własności i definicje omówimy pojęcie potęgi o wykładniku rzeczywistym. Zastanowimy się, czy liczba wymierna podniesiona do potęgi o wykładniku niewymiernym może być liczbą wymierną.

Przypomnijmy, że każdą liczbę niewymierną można przybliżyć liczbami wymiernymi, na przykład przez rozwinięcie dziesiętne. Każda kolejna cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby niewymiernej “zbliża” do rzeczywistej wartości tej liczby.

Przypomnijmy kolejne przybliżenia wybranych liczb niewymiernych.

Liczba niewymierna	Cyfra jedności	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{2}$	$1$	$1, 4$	$1, 41$	$1, 414$	$1, 4142$	$1, 41421$	$1, 414213$
$\sqrt{3}$	$1$	$1, 7$	$1, 73$	$1, 732$	$1, 7320$	$1, 73205$	$1, 732050$
$\sqrt{5}$	$2$	$2, 2$	$2, 23$	$2, 236$	$2, 2360$	$2, 23606$	$2, 236067$
$π$	$3$	$3, 1$	$3, 14$	$3, 142$	$3, 1415$	$3, 14159$	$3, 141592$

Przykład 5

Wykorzystując kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{2}$ , wyznaczymy kolejne cyfry rozwinięcia potęgi $3^{\sqrt{2}}$ .

Rozważymy kilka potęg liczby $3$ o wykładnikach będących kolejnymi przybliżeniami liczby $\sqrt{2}$ , czyli $3^{1}$ , $3^{1,4}$ , $3^{1,41}$ , $3^{1,414}$ , $3^{1,4142}$ , $3^{1,41421}$ :

$3^{1} = 3$

$3^{1,4} = 3^{\frac{7}{2}} = {(\sqrt{3})}^{7} = 27 \sqrt{3} \approx 4,6555$

$3^{1,41} = 3^{\frac{141}{100}} = {(\sqrt[100]{3})}^{141} \approx 4,706965$

$3^{1,414} = 3^{\frac{1414}{1000}} = 3^{\frac{707}{500}} = {(\sqrt[500]{3})}^{707} \approx 4,727695$

$3^{1,4142} = 3^{\frac{14142}{10000}} = 3^{\frac{7071}{5000}} = {(\sqrt[5000]{3})}^{7071} \approx 4,72873393$

$3^{1,41421} = 3^{\frac{141421}{100000}} = {(\sqrt[100000]{3})}^{141421} \approx 4,72878588$

Zauważmy, że im więcej cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{2}$ weźmiemy pod uwagę, tym więcej “ustala się” cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $3^{\sqrt{2}}$ . Zestawmy powyższe obliczenia w tabelce:

Liczba	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{2}$	$1$	$1, 4$	$1, 41$	$1, 414$	$1, 4142$	$1, 41421$
$3^{\sqrt{2}}$	$3^{1} = 3$	$3^{1,4} \approx 4,6555$	$3^{1,41} \approx 4,706965$	$3^{1,414} \approx 4,727695$	$3^{1,4142} \approx 4,72873393$	$3^{1,41421} \approx 4,72878588$

Przy pomocy kalkulatora obliczamy $3^{\sqrt{2}} \approx 4,728804387$ .

Zauważmy przy okazji, że im większy jest wykładnik potęgi, tym większą wartość ma sama potęga.

Przykład 6

Wykorzystując kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{3}$ , wyznaczymy kolejne cyfry rozwinięcia potęgi ${0,5}^{\sqrt{3}}$ .

Rozważymy kilka potęg liczby $0,5$ o wykładnikach będących kolejnymi przybliżeniami liczby $\sqrt{3}$ , czyli $0, 5^{1}$ , ${0,5}^{1,7}$ , ${0,5}^{1,73}$ , ${0,5}^{1,732}$ , $0, 5^{1,73205}$ , ${0,5}^{1,7320508}$ :

$0, 5^{1} = 0,5$

$0, 5^{1,7} = 0, 5^{\frac{17}{10}} = {(\sqrt[10]{0, 5})}^{17} \approx 0,307786$

$0, 5^{1,73} = 0, 5^{\frac{173}{100}} = {(\sqrt[100]{0,5})}^{173} \approx 0,301451936$

$0, 5^{1,732} = 0, 5^{\frac{1732}{1000}} = 0, 5^{\frac{433}{250}} = {(\sqrt[250]{0,5})}^{433} \approx 0,3010343$

$0, 5^{1,73205} = 0, 5^{\frac{173205}{100000}} = 0, 5^{\frac{34641}{20000}} = {(\sqrt[20000]{0,5})}^{34641} \approx 0,3010239$

$0, 5^{1,7320508} = 0, 5^{\frac{17320508}{10000000}} = 0, 5^{\frac{4330127}{2500000}} = {(\sqrt[2500000]{0,5})}^{4330127} \approx 0,3010237$

Zauważmy, że im więcej cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{3}$ weźmiemy pod uwagę, tym więcej “ustala się” cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby ${0,5}^{\sqrt{3}}$ . Zestawmy powyższe obliczenia w tabelce:

Liczba	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{3}$	$1$	$1, 7$	$1, 73$	$1, 732$	$1, 73205$	$1, 7320508$
${0,5}^{\sqrt{3}}$	$0, 5$	$0, 307786 . . .$	$0, 3014519 . . .$	$0, 3010343 . . .$	$0, 3010239 . . .$	$0, 301023745 . . .$

Przy pomocy kalkulatora obliczamy ${0,5}^{\sqrt{3}} \approx 0,301023743 . . .$

Zauważmy przy okazji, że im większy jest wykładnik potęgi, tym mniejszą wartość ma sama potęga.

Dwa powyższe przykłady obrazują, w jaki sposób oblicza się wartości potęg o wykładnikach niewymiernych. Odnotujmy w tym miejscu ważne założenie: przyjmujemy, że podstawa potęgi o wykładniku niewymiernym jest liczbą dodatnią.

Rozważyliśmy dwa przykłady potęg o wykładnikach niewymiernych: $3^{\sqrt{2}}$ oraz $0, 5^{\sqrt{3}}$ . Można udowodnić, że obie te liczby są niewymierne. Zastanowimy się teraz, czy istnieją potęgi o wykładnikach niewymiernych, które są liczbami wymiernymi.

Zauważmy, że poznane do tej pory własności działań na potęgach o wykładnikach wymiernych “przenoszą się” na potęgi o wykładnikach niewymiernych, o ile podstawy tych potęg są liczbami dodatnimi.

Rozważmy teraz potęgę ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ . Jeśli ta liczba jest wymierna, oznacza to, że istnieją potęgi o podstawach i wykładnikach niewymiernych, które są wymierne. Jeśli zaś liczba ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest niewymierna, wówczas liczba ${({\sqrt{5}}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = {\sqrt{5}}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = {\sqrt{5}}^{2} = 5$ jest wymierna, co prowadzi ponownie do wniosku, że istnieją potęgi o podstawach i wykładnikach niewymiernych, które są liczbami wymiernymi.

Powyższe rozumowanie opiera się na zasadzie tertium non datur (trzeciej możliwości nie ma), zwanej również prawem wyłączonego środkaprawo wyłączonego środkaprawem wyłączonego środka, która jest fundamentem logiki klasycznej (dwuwartościowej). Oznacza to, że albo prawdziwe jest zdanie $p$ , albo zdanie nieprawda, że $p$ . W przykładzie powyżej: albo ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest liczbą wymierną, albo ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest liczbą niewymierną – trzeciej możliwości nie ma.

Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Podstawa potęgi

Twierdzenie: Podstawa potęgi

Jeśli podstawa potęgi jest większa od jedynki, to wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi również rośnie.

Jeśli podstawa potęgi jest liczbą większą od zera i mniejszą od jedynki, to wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi maleje.

Przykład 7

Porównamy kilka potęg o wykładnikach niewymiernych:

$5^{\sqrt{2}} < 5^{\sqrt{3}}$ , ponieważ podstawa jest większa od $1$ , więc większa jest potęga o większym wykładniku.

${(\frac{2}{3})}^{\sqrt{3}} < {(\frac{2}{3})}^{1,7}$ , ponieważ podstawa jest dodatnia, ale mniejsza od $1$ , więc większa jest potęga o mniejszym wykładniku.

Przykład 8

Porównamy liczby $5^{\sqrt{2}}$ i $2^{\sqrt{5}}$ .

Ponieważ $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ oraz $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ ,

więc $5^{1,4} < 5^{\sqrt{2}} < 5^{1,5}$ oraz $2^{2,2} < 2^{\sqrt{5}} < 2^{2,3}$ .

Uzasadnimy, że $2^{2,3} < 5^{1,4}$ .

Ponieważ obie strony ostatniej nierówności są nieujemne, więc poprzez podniesienie ich do potęgi dziesiątej otrzymamy nierówność równoważną:

${(2^{2,3})}^{10} < {(5^{1,4})}^{10}$ .

Po zastosowaniu własności działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, otrzymujemy

$2^{23} < 5^{14}$ .

Zauważmy, że $2^{23} = 2 \cdot 2^{22} = 2 \cdot 4^{11}$ zaś $5^{14} = 5^{3} \cdot 5^{11} = 125 \cdot 5^{11}$ .

Ponieważ $125 > 2$ oraz $5^{11} > 4^{11}$ ,

więc prawdą jest, że $2 \cdot 4^{11} < 125 \cdot 5^{11}$ , czyli $2^{23} < 5^{14}$ .

Zatem $2^{\sqrt{5}} < 2^{2,3} < 5^{1,4} < 5^{\sqrt{2}}$ .

Stąd $5^{\sqrt{2}} > 2^{\sqrt{5}}$ .

Polecenie 3

Zapoznaj się z animacją przedstawiającą potęgi o wykładniku rzeczywistym i rozwiąż poniższe polecenia.

Rl784axapKdAq

Polecenie 4

R1UskvSEYXCx9

Poniżej wypisano kolejne przybliżenia liczby pięć indeks górny, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego. Połącz w pary potęgę z początkiem jej rozwinięcia dziesiętnego. pięć indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem dziewięć osiem jeden . . ., 2. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem cztery pięć jeden . . ., 3. trzydzieści cztery przecinek cztery dziewięć trzy dwa cztery jeden pięć . . ., 4. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery trzy trzy trzy trzy . . ., 5. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć zero osiem zero trzy pięć . . ., 6. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery osiem zero dwa dwa . . ., 7. dwadzieścia pięć, 8. trzydzieści sześć przecinek jeden dziewięć dziewięć pięć cztery cztery osiem . . . pięć indeks górny, dwa przecinek dwa, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem dziewięć osiem jeden . . ., 2. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem cztery pięć jeden . . ., 3. trzydzieści cztery przecinek cztery dziewięć trzy dwa cztery jeden pięć . . ., 4. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery trzy trzy trzy trzy . . ., 5. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć zero osiem zero trzy pięć . . ., 6. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery osiem zero dwa dwa . . ., 7. dwadzieścia pięć, 8. trzydzieści sześć przecinek jeden dziewięć dziewięć pięć cztery cztery osiem . . . pięć indeks górny, dwa przecinek dwa trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem dziewięć osiem jeden . . ., 2. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem cztery pięć jeden . . ., 3. trzydzieści cztery przecinek cztery dziewięć trzy dwa cztery jeden pięć . . ., 4. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery trzy trzy trzy trzy . . ., 5. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć zero osiem zero trzy pięć . . ., 6. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery osiem zero dwa dwa . . ., 7. dwadzieścia pięć, 8. trzydzieści sześć przecinek jeden dziewięć dziewięć pięć cztery cztery osiem . . . pięć indeks górny, dwa przecinek dwa trzy sześć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem dziewięć osiem jeden . . ., 2. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem cztery pięć jeden . . ., 3. trzydzieści cztery przecinek cztery dziewięć trzy dwa cztery jeden pięć . . ., 4. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery trzy trzy trzy trzy . . ., 5. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć zero osiem zero trzy pięć . . ., 6. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery osiem zero dwa dwa . . ., 7. dwadzieścia pięć, 8. trzydzieści sześć przecinek jeden dziewięć dziewięć pięć cztery cztery osiem . . . pięć indeks górny, dwa przecinek dwa trzy sześć zero sześć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem dziewięć osiem jeden . . ., 2. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem cztery pięć jeden . . ., 3. trzydzieści cztery przecinek cztery dziewięć trzy dwa cztery jeden pięć . . ., 4. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery trzy trzy trzy trzy . . ., 5. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć zero osiem zero trzy pięć . . ., 6. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery osiem zero dwa dwa . . ., 7. dwadzieścia pięć, 8. trzydzieści sześć przecinek jeden dziewięć dziewięć pięć cztery cztery osiem . . . pięć indeks górny, dwa przecinek dwa trzy sześć zero sześć siedem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem dziewięć osiem jeden . . ., 2. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem cztery pięć jeden . . ., 3. trzydzieści cztery przecinek cztery dziewięć trzy dwa cztery jeden pięć . . ., 4. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery trzy trzy trzy trzy . . ., 5. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć zero osiem zero trzy pięć . . ., 6. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery osiem zero dwa dwa . . ., 7. dwadzieścia pięć, 8. trzydzieści sześć przecinek jeden dziewięć dziewięć pięć cztery cztery osiem . . . pięć indeks górny, dwa przecinek dwa trzy sześć zero sześć siedem dziewięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem dziewięć osiem jeden . . ., 2. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem cztery pięć jeden . . ., 3. trzydzieści cztery przecinek cztery dziewięć trzy dwa cztery jeden pięć . . ., 4. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery trzy trzy trzy trzy . . ., 5. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć zero osiem zero trzy pięć . . ., 6. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery osiem zero dwa dwa . . ., 7. dwadzieścia pięć, 8. trzydzieści sześć przecinek jeden dziewięć dziewięć pięć cztery cztery osiem . . . pięć indeks górny, dwa przecinek dwa trzy sześć zero sześć siedem dziewięć siedem, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem dziewięć osiem jeden . . ., 2. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery siedem cztery pięć jeden . . ., 3. trzydzieści cztery przecinek cztery dziewięć trzy dwa cztery jeden pięć . . ., 4. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery trzy trzy trzy trzy . . ., 5. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć zero osiem zero trzy pięć . . ., 6. trzydzieści sześć przecinek pięć pięć cztery osiem zero dwa dwa . . ., 7. dwadzieścia pięć, 8. trzydzieści sześć przecinek jeden dziewięć dziewięć pięć cztery cztery osiem . . .

RMb0FER3Es7A61

Ćwiczenie 1

R1X9qfNcUy4iX1

Ćwiczenie 2

R15Z9al7D7Tjy2

Ćwiczenie 3

Połącz w pary wyrażenia o równych wartościach. nawias, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwieście czterdzieści trzy, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka nawias, początek ułamka, osiemdziesiąt jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. dwa początek ułamka, jeden, mianownik, cztery, koniec ułamka, 2. siedem początek ułamka, dziewiętnaście, mianownik, trzydzieści dwa, koniec ułamka, 3. początek ułamka, trzydzieści dwa, mianownik, dwieście czterdzieści trzy, koniec ułamka, 4. trzy początek ułamka, trzy, mianownik, osiem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka, 6. pięć początek ułamka, jeden, mianownik, szesnaście, koniec ułamka, 7. początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, 8. początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka

RnqlKg57uyapO2

Ćwiczenie 4

Do odpowiednich grup przyporządkuj wszystkie wyrażenia, które mają tę samą wartość co potęga w nagłówku. Przeciągnij w odpowiednie okienka. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 2. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, 3. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 4. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia siedem, mianownik, osiem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 5. nawias, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 6. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 7. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka, 8. nawias, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, cztery, mianownik, dziewięć, koniec ułamka koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 9. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, dziewięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 10. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, 11. początek ułamka, trzy, mianownik, pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 12. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek sześcienny z dwanaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 13. pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka koniec pierwiastka, 14. pierwiastek sześcienny z początek ułamka, szesnaście, mianownik, osiemdziesiąt jeden, koniec ułamka, koniec pierwiastka, 15. początek ułamka, pierwiastek sześcienny z dziewięć koniec pierwiastka, mianownik, pierwiastek sześcienny z cztery koniec pierwiastka, koniec ułamka, 16. początek ułamka, dziewięć, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 17. początek ułamka, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, koniec ułamka, 18. początek ułamka, dwa pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 19. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, dziewięć, koniec ułamka, 20. początek ułamka, dwa pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, koniec ułamka, 21. początek ułamka, cztery, mianownik, trzy pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, koniec ułamka, 22. początek ułamka, dwa, mianownik, pierwiastek sześcienny z osiemnaście koniec pierwiastka, koniec ułamka, 23. początek ułamka, osiem, mianownik, dwadzieścia siedem, koniec ułamka

Ćwiczenie 5

Rozwiąż test. Wskaż wszystkie poprawne odpowiedzi.

RAHZlb78yGlDm

RGV4mgoxuJa7r

RNt4T9Gu5CMu6

R1NJHjQPoTkRv

RUorx3cmAoAuI

Ćwiczenie 6

Oblicz wartość wyrażenia ${(0, 125^{- \frac{4}{3}} \cdot 0, 25^{- 2})}^{\frac{1}{4}} + {(81^{1, 5} \cdot 9^{- 3})}^{\frac{1}{4}}$ .

${(0, 125^{- \frac{4}{3}} \cdot 0, 25^{- 2})}^{\frac{1}{4}} + {(81^{1, 5} \cdot 9^{- 3})}^{\frac{1}{4}} =$

$= {({(\frac{1}{8})}^{- \frac{4}{3}} \cdot {(\frac{1}{4})}^{- 2})}^{\frac{1}{4}} + {(81^{\frac{3}{2}} \cdot {(3^{2})}^{- 3})}^{\frac{1}{4}} =$

$= {({(\sqrt[3]{8})}^{4} \cdot 16)}^{\frac{1}{4}} + {({(\sqrt{81})}^{3} \cdot 3^{- 6})}^{\frac{1}{4}} =$

$= {(2^{4} \cdot 2^{4})}^{\frac{1}{4}} + {(9^{3} \cdot 3^{- 6})}^{\frac{1}{4}} =$

$= {(2^{8})}^{\frac{1}{4}} + {({(3^{2})}^{3} \cdot 3^{- 6})}^{\frac{1}{4}} =$

$= 2^{2} + {(3^{6} \cdot 3^{- 6})}^{\frac{1}{4}} =$

$= 4 + {(3^{0})}^{\frac{1}{4}} =$

$= 4 + 1^{\frac{1}{4}} =$

$= 4 + 1 =$

$= 5$

Ćwiczenie 7

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{1}{2} \cdot 216^{\frac{2}{3}} + {(7, 13^{- 3})}^{0} - 81^{0, 75} \cdot {(0, 5)}^{- 1} + {(\frac{1}{3})}^{- 3} \cdot 0, 0081^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 216^{\frac{2}{3}} + {(7, 13^{- 3})}^{0} - 81^{0, 75} \cdot {(0, 5)}^{- 1} + {(\frac{1}{3})}^{- 3} \cdot 0, 0081^{- \frac{3}{4}} =$

$= \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{216})}^{2} + 1 - 81^{\frac{3}{4}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{- 1} + 3^{3} \cdot {(\sqrt[4]{0, 0081})}^{- 3} =$

$= \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 1 - {(\sqrt[4]{81})}^{3} \cdot 2 + 3^{3} \cdot 0, 3^{- 3} =$

$= \frac{1}{2} \cdot 36 + 1 - 3^{3} \cdot 2 + 3^{3} \cdot {(\frac{10}{3})}^{3} =$

$= 18 + 1 - 27 \cdot 2 + 3^{3} \cdot \frac{10^{3}}{3^{3}} =$

$= 19 - 54 + 1000 =$

$= 965$

Ćwiczenie 8

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{625^{0, 25} - 1, 5 \cdot 100^{\frac{3}{2}} + 0, 25^{- 2, 5}}{0, 008^{- \frac{1}{3}} - {(- 0, 2)}^{- 2} \cdot 8 + {(12 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} \cdot (- 4)}$ .

$\frac{625^{0, 25} - 1, 5 \cdot 100^{\frac{3}{2}} + 0, 25^{- 2, 5}}{0, 008^{- \frac{1}{3}} - {(- 0, 2)}^{- 2} \cdot 8 + {(12 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} \cdot (- 4)} =$

$= \frac{625^{\frac{1}{4}} - 1, 5 \cdot (\sqrt{100})^{3} + (\frac{1}{4})^{- \frac{5}{2}}}{(\frac{8}{1000})^{- \frac{1}{3}} - (- \frac{1}{5})^{- 2} \cdot 8 + (\frac{49}{4})^{\frac{1}{2}} \cdot (- 4)} =$

$= \frac{\sqrt[4]{625} - 1, 5 \cdot {(10)}^{3} + 4^{\frac{5}{2}}}{125^{\frac{1}{3}} - {(- 5)}^{2} \cdot 8 + \sqrt{\frac{49}{4}} \cdot (- 4)} =$

$= \frac{5 - 1, 5 \cdot 1000 + {(\sqrt{4})}^{5}}{\sqrt[3]{125} - 25 \cdot 8 + \frac{7}{2} \cdot (- 4)} =$

$= \frac{5 - 1500 + 2^{5}}{5 - 200 - 14} =$

$= \frac{5 - 1500 + 32}{5 - 200 - 14} =$

$= \frac{- 1463}{- 209} =$

$= 7$

R18SrIKZFO1WR1

Ćwiczenie 9

RvBBzvWJV8v3P1

Ćwiczenie 10

R133Jw9OyVQM52

Ćwiczenie 11

RMvL92JW41EXm2

Ćwiczenie 12

Rr5vEDLiKlkaK2

Ćwiczenie 13

RkdrC3mCKPkxm2

Ćwiczenie 14

R12I1PunlF1cv2

Ćwiczenie 15

RCsyvb6yXGhvC21

Ćwiczenie 16

Dostępne opcje do wyboru: nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek sześcienny z siedem koniec pierwiastka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek kwadratowy z dziesięć koniec pierwiastka, minus, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, minus, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, dwa, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z pięć koniec pierwiastka, mianownik, pięć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z sześć koniec pierwiastka, mianownik, sześć, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego, nawias, początek ułamka, PI, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, początek ułamka, PI, mianownik, trzy, koniec ułamka, koniec indeksu górnego. Polecenie: Uporządkuj podane liczby od najmniejszej do największej. Przeciągnij poprawne odpowiedzi w odpowiednie miejsca. luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia mniejszy niż luka do uzupełnienia

Ćwiczenie 17

Która z liczb $2^{\sqrt{7}}$ i $7^{\sqrt{2}}$ jest większa? Odpowiedź uzasadnij bez użycia kalkulatora.

Zauważmy, że $2,6 < \sqrt{7} < 2,7$ oraz $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ .

Uzasadnimy, że $2^{2,7} < 7^{1,4}$ .

Ponieważ obie strony ostatniej nierówności są dodatnie, więc podnosząc je do potęgi dziesiątej otrzymamy nierówność równoważną:

$2^{27} < 7^{14}$

której obie strony możemy pomnożyć przez $2$ :

$2^{28} < 2 \cdot 7^{14}$ .

Ponieważ $2^{28} = {(2^{2})}^{14} = 4^{14} < 7^{14} < 2 \cdot 7^{14}$ ,

więc prawdą jest, że $2^{2,7} < 7^{1,4}$ .

Wobec tego $2^{\sqrt{7}} < 2^{2,7} < 7^{1,4} < 7^{\sqrt{2}}$ , czyli $2^{\sqrt{7}} < 7^{\sqrt{2}}$ .

Ćwiczenie 18

Rozwiąż test. Wskaż poprawną odpowiedź.

R1RwD8ApQlT3Y

R6Nb4wRAuZZtX

R1emch5yKZxsk

RyAkAgLeF64oX

R9RJuau5k1i4B

Słownik

potęga o wykładniku wymiernym dodatnim

potęgą o nieujemnej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{\frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{a})}^{p}$

potęga o wykładniku wymiernym ujemnym

potęgą o dodatniej podstawie $a$ i wykładniku wymiernym $- \frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami naturalnymi, przy czym $q > 1$ , nazywamy liczbę $a^{- \frac{p}{q}} = {(\sqrt[q]{\frac{1}{a}})}^{p} = \frac{1}{{(\sqrt[q]{a})}^{p}}$

prawo wyłączonego środka

podstawowe prawo logiki klasycznej (dwuwartościowej) orzekające, że spośród dwóch zdań: $q$ oraz nieprawda, że $q$ jedno jest prawdziwe i jedno fałszywe

2. Potęga o wykładniku całkowitym

4. Działania na potęgach