Strefa wyzwań - PYI_R_W14_M28 Miejsca zerowe funkcji

R9U4TZCFMH62S

Już wiesz

Na czym polega metoda znajdowania miejsca zerowego funkcji metodą połowienia przedziałów.
Wyjaśnisz, w jakich przypadkach można użyć metody połowienia przedziałów w celu wyznaczenia miejsca zerowego funkcji.
Jak zastosować metodę bisekcji dla przykładowej funkcji.
Na czym polega metoda stycznych i jakie są jej założenia.
Jak działa algorytm metody stycznych służący do wyznaczania przybliżonej wartości miejsca zerowego funkcji.

Teraz czas sprawdzić swoją wiedzę i imiejętności.

R1NRSDAFR34J5

Ćwiczenie 1

R7OPV1QX3QNNC

Ćwiczenie 2

RUN7PASQKO8MT

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

R17x7lEb8Zplx

Ćwiczenie 5

RqsISCfYGgdu7

Ćwiczenie 6

ReRKdQP7P23YI

Ćwiczenie 7

RmRIe7Jb6XGmZ

Ćwiczenie 8

RjzWGcvHQheTI

Ćwiczenie 9

Napisz program wyznaczający miejsce zerowe funkcji $f (x)$ , wykorzystując algorytm bisekcji.

Przetestuj działanie programu dla funkcji $f (x) = x^{2} - 2$ , przedziału $< 0, 5 >$ , przy współczynniku $epsilon$ równym $0, 001$ i współczynniku $delta$ równym $0, 001$ .

Specyfikacja problemu:

Dane:

f(x) – funkcja rzeczywista, której miejsce zerowe mamy obliczyć
a – liczba rzeczywista; początek przedziału
b – liczba rzeczywista; koniec przedziału
delta – liczba rzeczywista, przybliżenie określające maksymalną długość przedziału
epsilon – liczba rzeczywista; dokładność przybliżenia wartości funkcji w punkcie $x_{0}$

Wynik:

Program wyznacza i wypisuje wartość miejsca zerowego funkcji, zaokrąglone z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

RQRsEyAXXQKVH

Przykładowe rozwiązanie zadania:

def metoda_bisekcji(a, b, delta, epsilon):
    wartosc_a = funkcja(a)
    wartosc_b = funkcja(b)
    if wartosc_a * wartosc_b > 0:
        return None
    dlugosc_przedzialu = b - a
    while True:
        dlugosc_przedzialu = dlugosc_przedzialu / 2.0e0
        c = a + dlugosc_przedzialu
        w = funkcja(c)
        if abs(dlugosc_przedzialu) < delta or abs(w) < epsilon:
            return round(c,3)
        if w * wartosc_a < 0:
            b = c
            wartosc_b = w
        else:
            a = c
            wartosc_a = w


def funkcja(x):
    return x * x - 2


print(metoda_bisekcji(0, 5, 0.001, 0.001))

Plik z programem do pobrania:

RX3J8P9BG4JJP

Plik zawiera rozwiązanie ćwiczenia w języku Python.

Źródło: Zespół, domena publiczna.

Plik TXT o rozmiarze 647.00 B w języku polskim

Ćwiczenie 10

Napisz funkcję wyznaczającą miejsce zerowe funkcji $f (x)$ z wykorzystaniem metody bisekcji, a następnie zmodyfikuj ją tak, by zwracała krotkę w postaci (c, w, k), gdzie c to miejsce zerowe funkcji, w to wyznaczona wartość funkcji w miejscu zerowym, a k to liczba iteracji wykonanych przez algorytm bisekcji (liczba pełnych obiegów pętli). Wykorzystaj warunki zakończenia algorytmu zaprezentowane w prezentacji.

Przetestuj działanie programu dla funkcji $f (x) = x^{2} - 2$ , przedziału $< 0, - 5 >$ , przy współczynniku $epsilon$ równym $10^{- 6}$ i współczynniku $delta$ równym $10^{- 6}$ .

Specyfikacja problemu:

Dane:

f(x) – funkcja rzeczywista, której miejsce zerowe mamy obliczyć
a – liczba rzeczywista; początek przedziału
b – liczba rzeczywista; koniec przedziału
delta – liczba rzeczywista, przybliżenie określające maksymalną długość przedziału
epsilon – liczba rzeczywista; dokładność przybliżenia wartości funkcji w punkcie $x_{0}$

Wynik:

Program wyznacza i wypisuje wartość miejsca zerowego funkcji, wartość funkcji w wyznaczonym miejscu zerowym i liczbę iteracji algorytmu w postaci krotki (c, w ,k), gdzie c jest miejscem zerowym funkcji, w jest wyznaczoną wartością funkcji w miejscu zerowym, a k jest liczbą iteracji wykonanych przez algorytm bisekcji. Wartości c i w mają być zaokrąglone z dokładnością do pięciu miejsc po przecinku.

RbfTW5wc4lL5z

Przykładowe rozwiazanie zadania:

def metoda_bisekcji(a, b, delta, epsilon):
    wartosc_a = funkcja(a)
    wartosc_b = funkcja(b)
    if wartosc_a * wartosc_b > 0:
        return None
    dlugosc_przedzialu = b - a
    k = 0
    while True:
        dlugosc_przedzialu = dlugosc_przedzialu / 2.0e0
        c = a + dlugosc_przedzialu
        w = funkcja(c)
        if abs(dlugosc_przedzialu) < delta or abs(w) < epsilon:
            return round(c,5), round(w,5), k
        if w * wartosc_a < 0:
            b = c
            wartosc_b = w
        else:
            a = c
            wartosc_a = w
        k += 1


def funkcja(x):
    return x * x - 2


print(metoda_bisekcji(0, 5, 10e-7, 10e-7))

Plik z programem do pobrania:

RUP9DLBCVBCR1

Plik zawiera rozwiązanie ćwiczenia w języku Python.

Źródło: Zespół ORE, domena publiczna.

Plik TXT o rozmiarze 689.00 B w języku polskim

Ćwiczenie 11

Napisz funkcję wyznaczającą miejsce zerowe metodą bisekcji, a następnie wykorzystaj ją do wyznaczenia liczby $\pi$ .

W programie zastosuj funkcję trygonometryczną sinus, przedział $< 3, 3.5 >$ . Wartości współczynników $delta$ i $epsilon$ dobierz tak, by zwracana wartość mogła być poprawnie zaokrąglona z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Specyfikacja problemu:

Dane:

f(x) – funkcja trygonometryczna, którą wykorzystamy do obliczenia wartości liczby $\pi$ .
a – liczba rzeczywista; początek przedziału
b – liczba rzeczywista; koniec przedziału
delta – liczba rzeczywista, przybliżenie określające maksymalną długość przedziału, do samodzielnego dobrania
epsilon – liczba rzeczywista; dokładność przybliżenia wartości funkcji w punkcie $x_{0}$ , do samodzielnego dobrania

Wynik:

Program wyznacza i wypisuje wartość liczby $\pi$ zaokrągloną z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.

Rsl6P6oA4klUD

import math

def metoda_bisekcji(a, b, delta, epsilon):
    wartosc_a = funkcja(a)
    wartosc_b = funkcja(b)
    if wartosc_a * wartosc_b > 0:
        return None
    dlugosc_przedzialu = b - a
    while True:
        dlugosc_przedzialu = dlugosc_przedzialu / 2.0e0
        c = a + dlugosc_przedzialu
        w = funkcja(c)
        if abs(dlugosc_przedzialu) < delta or abs(w) < epsilon:
            return c
        if w * wartosc_a < 0 :
            b = c
            wartosc_b = w
        else:
            a = c
            wartosc_a = w


def funkcja(x):
    return math.sin(x)


pi = metoda_bisekcji(3, 3.5, 0.01, 0.01)
print(round(pi,2))

Plik z programem do pobrania:

R1ZVKHHTDZTUA1

Plik zawiera rozwiązanie ćwiczenia w języku Python.

Źródło: Zespół ORE, domena publiczna.

Plik TXT o rozmiarze 674.00 B w języku polskim

Misja pierwsza: Ćwicz i zwyciężaj

Misja matura: Zadanie 1. Oś liczbowa