Czy to nie ciekawe?

Wektor jest to uporządkowana para punktów, którą graficznie przedstawiamy jako strzałkę. Ale wektor to nie tylko „obiekt matematyczny”, wiele wielkości fizycznych to wielkości wektorowe. Skoro używamy wielkości wektorowych do opisu otaczającego nas świata, to musimy umieć wykonywać na tych wielkościach operacje matematyczne. Łatwo sobie wyobrazić dodawanie wektorów, ale w jaki sposób pomnożyć dwa wektory? W tym e‑materiale wspólnie poćwiczymy operacje na wektorach.

Warto przeczytać

Wektor jest to uporządkowana para punktów, którą graficznie przedstawiamy jako strzałkę. Ponieważ mamy dwa sposoby przedstawienia wektora: za pomocą współrzędnych i graficznie, to również działania na wektorach możemy wykonywać na dwa sposoby: za pomocą współrzędnych oraz graficznie. Wektor możemy oznaczyć zarówno małą literą ze strzałką nad nią, np. $\overrightarrow{y}$, jak i dwoma dużymi literami (oznaczającymi początek i koniec wektora) ze strzałką nad nimi, np. ${\displaystyle \overrightarrow{AB}}$.

Jakie działania możemy wykonywać na wektorach? Przede wszystkim są to dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie wektora przez liczbę, iloczyn wektorowy oraz skalarny wektorów.

• Dodawanie i odejmowanie wektorów

Jeśli znane są współrzędne początku oraz końca wektora, to metoda rachunkowa jest zawsze najprostszą możliwą do zastosowania.

W metodzie rachunkowej, aby dodawać wektory, w pierwszej kolejności należy podać ich współrzędne (więcej na temat wyznaczania współrzędnych wektora przeczytasz w e‑materiale „Jak posługiwać się współrzędnymi wektora?”). Następnie dodajemy do siebie współrzędne obu wektorów wzdłuż osi x oraz dodajemy do siebie współrzędne obu wektorów wzdłuż osi y. W ten sposób otrzymujemy współrzędne wektorawspółrzędne wektorawspółrzędne wektora będącego sumą dwóch wektorów.

Wektory możemy dodawać i odejmować również za pomocą metody graficznej. Mamy dwie takie metody: metodę wieloboku oraz metodę równoległoboku.

Metoda wieloboku

Aby dodać do siebie dwa wektory $\overrightarrow{\text{AB}}$ i $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$, rysujemy wektor $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$, a następnie początek wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$ umieszczamy w punkcie końcowym wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$. Potem z punktu początkowego wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$ wyprowadzany wektor o grocie w punkcie końcowym wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$.

R16UflWXIyD3d

Rys. 1. Rysunek przedstawia dwa czarne wektory: AB umieszczony pod kątem do poziomu skierowany w prawo i do góry oraz wektor CD skierowany poziomo w prawo. Wektor CD przesunięto równolegle w taki sposób aby jego punkt przyłożenia stykał się s z czubkiem grota strzałki wektora AB. Przesunięty wektor CD oznaczono czerwoną przerywaną linią. Od punktu przyłożenia wektora AB do czubka grotu wektora CD poprowadzono nowy czerwony wektor stanowiący sumę geometryczną wektorów AB i CD.

Dodawanie wektorów jest przemienne, tzn. $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$ + $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$.

Aby od wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{IJ}}}$ odjąć wektor $\overrightarrow{\mathrm{\text{KL}}}$: wykreślamy wektor $\overrightarrow{\mathrm{\text{IJ}}}$, następnie z początku wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{IJ}}}$ wykreślamy wektor $\overrightarrow{\mathrm{\text{KL}}}$. Po czym z końca wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{KL}}}$ wykreślamy wektor w kierunku końca wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{IJ}}}$ (jak pokazano na Rys. 2).

R1YXDBi4gY2nP

Rys. 2. Rysunek przedstawia dwa czarne wektory: oznaczony dużymi literami IJ umieszczony pod kątem do poziomu skierowany w prawo i do góry oraz wektor oznaczony dużymi literami KL skierowany poziomo w prawo. Wektory przesunięto równolegle w taki sposób aby miały wspólny punkt przyłożenia. Od czubka grota strzałki wektora KL do czubka grotu wektora IJ poprowadzono nowy czerwony wektor stanowiący różnicę geometryczną wektorów IJ i KL.

Istnieje też drugi sposób, aby odjąć wektory. Podobnie jak w przypadku działania na liczbach 5 – 2 = 5+(–2), zamiast odejmować wektor $\overrightarrow{\mathrm{\text{KL}}}$, możesz do wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{IJ}}}$ dodać wektor przeciwny do $\overrightarrow{\mathrm{\text{KL}}}$, czyli wektor $\overrightarrow{\mathrm{\text{LK}}}$.

Metoda równoległoboku

Aby dodać do siebie dwa wektory $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$ i $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$, narysuj wektor $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$, a następnie początek wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$ umieść w tym samym punkcie co początek wektora $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$. Narysuj proste równoległe przechodzące przez końce obu wektorów, następnie z punktu początkowego wektorów $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$ i $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$ wykreśl wektor, którego grot znajduje się w punkcie przecięcia prostych równoległych (jak na Rys. 3). Wyznaczony w ten sposób wektor jest sumą wektorów $\overrightarrow{\mathrm{\text{AB}}}$ i $\overrightarrow{\mathrm{\text{CD}}}$.

R1IqalijSmwb5

Rys. 3. Rysunek przedstawia dwa czarne wektory: AB umieszczony pod kątem do poziomu skierowany w prawo i do góry oraz wektor CD skierowany poziomo w prawo. Wektory przesunięto równolegle w taki sposób, aby miały wspólny punkt przyłożenia. Kopię wektora CD przesunięto równolegle w taki sposób, aby jego punkt przyłożenia stykał się z czubkiem grota strzałki wektora AB. Przesunięty wektor CD oznaczono czerwoną przerywaną linią. Kopię wektora AB przesunięto równolegle w taki sposób, aby jego punkt przyłożenia stykał się z czubkiem grota strzałki wektora CD. Przesunięty wektor AB oznaczono czerwoną przerywaną linią. W ten sposób powstał złożony z czterech wektorów równoległobok. Od punktu przyłożenia wektora AB do czubka grotu wektora CD poprowadzono nowy czerwony wektor (przerywaną linią) stanowiący sumę geometryczną wektorów AB i CD. Wektor ten stanowi przekątną równoległoboku.

• Mnożenie i dzielenie wektora przez skalar

Mnożenie wektora przez skalar (liczbę) powoduje zwiększenie jego długości, jeśli liczba jest większa od 1 lub mniejsza od -1. Jeśli liczba jest mniejsza od -1, wtedy długość wektora się zwiększa tyle razy, ile wynosi moduł z liczby, przez którą mnożymy. Jeśli mnożymy wektor przez liczbę k taką, że -1 < k < 1, to długość wektora będzie zmniejszona tyle razy, ile wynosi moduł odwrotności k:

Wynikiem takiego działania jest zawsze wektor. Zwrot wektora $\vec{b}$ jest taki sam jak wektora $\overrightarrow{a}$, jeśli k jest większe od zera. Gdy k jest mniejsze od zera, zwrot wektora $\overrightarrow{b}$ jest przeciwny niż zwrot wektora $\overrightarrow{a}$.

R1bvtWaGSyjqx

Rys. 4. Rysunek przedstawia dwa równoległe do siebie umieszczone pod kątem do poziomu wektory. Wektor niebieski b ma zwrot skierowany w prawo do góry. Wektor zielony a ma zwrot skierowany w prawo do góry. Wektor niebieski jest dwa razy dłuższy od zielonego. Ponad rysunkiem napisano: mała litera b ze znaczkiem wektora ponad nią równa się dwa razy mała litera a ze znaczkiem wektora nad nią.
Rysunek 4b. Rysunek przedstawia dwa równoległe do siebie umieszczone pod kątem do poziomu wektory. Wektor niebieski b ma zwrot skierowany w lewo do dołu. Wektor zielony a ma zwrot skierowany w prawo do góry. Wektor niebieski jest dwa razy dłuższy od zielonego. Ponad rysunkiem napisano: mała litera b ze znaczkiem wektora ponad nią równa się minus dwa razy mała litera a ze znaczkiem wektora nad nią.

Mnożenie wektora przez skalar możemy również zapisać w postaci współrzędnych. Zapiszmy wektor $\overrightarrow{a}$ w postaci współrzędnych wzdłuż poszczególnych osi $\overrightarrow{a}=[a_x,a_y]$. W wyniku działania $\overrightarrow{b}=k·\overrightarrow{a}$ otrzymamy wektor $\overrightarrow{b}$ o współrzędnych $\overrightarrow{b}=[k{a}_x,k{a}_y]=[b_x,b_y]$.

Iloczyn skalarny

Gdy mnożymy wektory skalarnie $c=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}$, wartość $c$ jest równa iloczynowi wartości tych wektorów oraz kosinusa kąta $\alpha$ między nimi: $c=|\overrightarrow{b}|·|\overrightarrow{a}|·cos\alpha$. Wynikiem mnożenia skalarnego jest zawsze skalar.

Działając na współrzędnych, iloczyn skalarny zapisujemy następująco:

Iloczyn wektorowy

Wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów $\overrightarrow{a}\mathrm{\text{i}}\overrightarrow{b}$jest zawsze wektor, nazwijmy go $\overrightarrow{c}$ i zapiszmy tę operację następująco:

Znak ⨯ jest symbolem iloczynu wektorowego.

Wektor$\overrightarrow{c}$ jest skierowany pod kątem 90 stopni do płaszczyzny utworzonej przez wektory $\overrightarrow{a}$ i $\overrightarrow{b}$. Zwrot wektora $\overrightarrow{c}$ ustalamy w oparciu o regułę śruby prawoskrętnej: gdy mnożymy wektor $\overrightarrow{a}$ przez wektor$\overrightarrow{b}$, to (w wyobraźni) przekręcamy śrubę w taki sposób, aby kręcić nią od wektora $\overrightarrow{a}$ do wektora $\overrightarrow{b}$ (po mniejszym kącie). Wtedy czubek śruby wskazuje zwrot wektora.

R1azkEuSY1gj7

Rys. 5a. Na rysunku przedstawiono dwa prostopadłe czarne wektory jeden oznaczony małą czarną literą a ze znaczkiem wektora ponad nią a drygi małą czarną literą b ze znaczkiem wektora ponad nią. Wektor a na rysunku skierowany jest w prawo a wektor b w głąb rysunku. Płaszczyznę, w której znajdują się wektory a i b pomalowano na niebiesko. Prostopadle do tej płaszczyzny, pionowo do góry, wyprowadzono niebieski wektor oznaczony małą czarną literą c ze znaczkiem wektora ponad nią. Wszystkie trzy wektory mają wspólny punkt przyłożenia oznaczony czarną cyfrą zero. Pomiędzy wektorami a i b widzianymi od góry narysowano czarny łuk kąta skierowanego odwrotnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Na rysunku umieszczono też śrubę prawoskrętną skierowaną główką w dół a gwintem do góry. Jeśli obrócimy tę śrubę zgodnie z kontem skierowanym to będzie się ona wkręcać w górę co pokazano na rysunku za pomocą zielonej strzałki skierowanej w górę umieszczonej obok śruby. Stąd otrzymujemy kierunek i zwrot wektora c.

RK35eH1aTDbTR

Rys. 5b. Na rysunku przedstawiono dwa prostopadłe czarne wektory jeden oznaczony małą czarną literą a ze znaczkiem wektora ponad nią a drygi małą czarną literą b ze znaczkiem wektora ponad nią. Wektor a na rysunku skierowany jest w prawo a wektor b z głębi rysunku do nas. Płaszczyznę, w której znajdują się wektory a i b pomalowano na niebiesko. Prostopadle do tej płaszczyzny, pionowo do dołu, wyprowadzono niebieski wektor oznaczony małą czarną literą c ze znaczkiem wektora ponad nią. Wszystkie trzy wektory mają wspólny punkt przyłożenia oznaczony czarną cyfrą zero. Pomiędzy wektorami a i b widzianymi od góry narysowano czarny łuk kąta skierowanego zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Na rysunku umieszczono też śrubę prawoskrętną skierowaną główką w górę a gwintem do dołu. Jeśli obrócimy tę śrubę zgodnie z kontem skierowanym to będzie się ona wkręcać w dół co pokazano na rysunku za pomocą zielonej strzałki skierowanej w dół umieszczonej obok śruby. Stąd otrzymujemy kierunek i zwrot wektora c.

Wartość wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego wektora $\overrightarrow{a}$ przez wektor $\overrightarrow{b}$ jest równa iloczynowi wartości wektorów $\overrightarrow{a}\mathrm{\text{i}}\overrightarrow{b}$ oraz sinusa kąta między nimi.

Dla iloczynu wektorowego:

Słowniczek