To ciekawe

Przykłady równi pochyłej to zbocze górki, na której zimą możesz zjechać na nartach lub skocznia, na której można bić rekordy w długości oddawanego skoku. To, jak udany będzie skok, zależy m.in. również od tego, z jaką szybkością skoczek wybije się ze skoczni, a zatem od tego, w jaki sposób poruszał się po skoczni. W tym e‑materiale przedstawimy zatem, w jaki sposób poprawnie opisać ruch obiektu znajdującego się na równi pochyłej.

RPAudm3AKFA78

Rys. a. Na zdjęciu widać roześmianą dziewczynkę, która zjeżdża na plastikowym jabłuszku z ośnieżonej górki.

Warto przeczytać

Na ciało znajdujące się na równi pochyłej działa siła ciężkości oraz siła reakcji równi. Na poniższym rysunku widoczne są dodatkowo: składowe siły ciężkości oraz siła nacisku klocka na równię. 

RdhhQAmRlrMgC

Rys. 1. Na rysunku znajduje się równia pochyła, której powierzchnia skierowana jest w prawo i w dół. Kąt nachylenia równi do poziomu oznaczony jest grecką literą alfa. Na równi leży klocek. Narysowano wektory sił działających na klocek. Wektor siły ciężkości, zaczepiony w środku klocka i skierowany pionowo w dół, jest oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym g i ze strzałką nad nią. Przy tym wektorze jest napis: Siła ciężkości. Wektor siły ciężkości został rozłożony na dwie składowe: prostopadłą i równoległą do powierzchni równi. W tym celu narysowano prostokąt, którego bokami są te dwie składowe, a przekątną jest siła ciężkości. Wektor składowej równoległej do równi skierowany jest ukośnie w prawo i w dół. Wektor składowej prostopadłej do równi skierowany jest ukośnie w lewo i w dół. Kąt między wektorem składowej prostopadłej do równi i wektorem siły ciężkości oznaczono grecką literą alfa. Również kąt między wektorem siły ciężkości i bokiem prostokąta, leżącym naprzeciwko składowej prostopadłej do równi, oznaczono grecką literą alfa. Wektor składowej prostopadłej do równi oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym g i dwie prostopadłe do siebie kreseczki. Przy tym wektorze jest napis: „Składowa prostopadła siły ciężkości”. Wektor składowej równoległej do równi oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym g i dwie równoległe do siebie kreseczki. Przy tym wektorze jest napis: „Składowa równoległa siły ciężkości, siła zsuwająca”. Narysowano też wektor siły nacisku działającej na równię. Jest on przyłożony do powierzchni równi pod klockiem i równy wektorowi składowej prostopadłej siły ciężkości działającej na klocek. Wektor siły nacisku oznaczono literą wielkie N ze strzałką nad nią. Na klocek działa siła reakcji podłoża, oznaczona literą wielkie F z indeksem dolnym r i ze strzałką nad nią. Wektor tej siły przyłożony jest do klocka, skierowany prostopadle do równi w górę i prawo, a jego długość równa jest długości wektora siły nacisku na równię N.

Zwróć uwagę, że jedyną siłą skierowaną wzdłuż równi jest siła zsuwająca $\vec{F_{g||}}$. Będzie ona zatem powodować ruch ciała wzdłuż równi. Analizując trójkąt, którego bokami są siła ciężkości oraz jej składowe, widzimy, że:

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, siła $F$ działająca na ciało o masie $m$, wywołuje jego ruch z przyspieszeniem $a$ wynoszącym $a=\frac{F}{m}$. W naszym przypadku oznacza to, że przyspieszenie ciała na równi wyniesie:

Zwykle kąt nachylenia równi nie ulega zmianie. Ciało będzie zatem poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym, a przyspieszenie to zależeć będzie od kąta nachylenia równi. W przypadku, gdy na ciało działają inne siły skierowane wzdłuż równi, to przyspieszenie ulegnie zmianie. Taką inną siłą może być na przykład siła tarciasiła tarciasiła tarcia. Zagadnienia związane z jej udziałem omówimy w e‑materiale „Ruch ciała na równi pochyłej z uwzględnieniem tarcia”.

W kierunku prostopadłym do równi na ciało działają: prostopadła składowa siły ciężkości $\vec{F_{g⊥}}$ oraz reakcji równi $\vec{F_r}$. Skąd bierze się siła reakcji? Rozważmy po kolei wszystkie siły działające prostopadle do wnętrza równi. Prostopadła składowa siły ciężkości $\vec{F_{g⊥}}$ działającej na ciało powoduje powstanie siły nacisku klocka na równię $\vec{N}$. Co do wartości, siła $\vec{F_{g⊥}}$ jest równa sile nacisku $\vec{N}$. Pojawienie się siły reakcji wynika z trzeciej zasady dynamiki Newtona – jeśli ciało naciska na równię siłą $\vec{N}$, to w odpowiedzi równia zaczyna działać na ciało siłą $\vec{F_{r}}$ o tej samej wartości i przeciwnym zwrocie. Na ciało w kierunku prostopadłym do równi działają zatem dwie siły: $\vec{F_{g⊥}}$ oraz $\vec{F_{r}}$. Na podstawie powyższych rozważań wiemy, że siły te równoważą się. Zatem, w kierunku prostopadłym do równi ruch nie  zachodzi. Jeśli na ciało działają inne siły skierowane prostopadle do równi, to wpływają one na wartość nacisku ciała na podłoże – dla sił skierowanych do równi nacisk będzie zwiększony, a dla skierowanych od równi – zmniejszony, w porównaniu z wartością, jaką by uzyskano, gdyby tych dodatkowych sił nie było. Siła reakcji będzie zmieniać się odpowiednio do siły nacisku.

Przykład

Rozważmy teraz przykład, w którym oprócz siły ciężkości wystąpi inna siła działająca na ciało znajdujące się na równi. Wyobraźmy sobie, że równia o kącie nachylenia 30° znajduje się w windzie, która rusza do dołu z przyspieszeniem $a$ = 2 m/sIndeks górny 2². Spróbujmy określić, ile wyniesie przyspieszenie klocka na równi $a_k$.

R9vYXXiMMn6Yz

Na rysunku jest winda przedstawiona w postaci prostokąta zawieszonego na linie. Obok narysowano wektor przyspieszenia windy, skierowany pionowo w dół i oznaczony literą małe a ze strzałką nad nią. Na podłodze windy znajduje się równia pochyła, której powierzchnia skierowana jest w prawo i w dół. Na równi leży klocek.

Dane i szukane:

Dane:

przyspieszenie windy $a = 2\,\text{m/s}^2$

kąt nachylenia równi: $\alpha = 30^\circ$

przyspieszenie ziemskie: $g = 9,81\,\text{m/s}^2$

Szukane:

przyspieszenie klocka na równi $a_k$ = ?

Analiza zadania:

Najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu jest zauważenie, że wszystkie ciała mają w tej sytuacji pomniejszony ciężar, zgodnie z Rys. 2a.

RJGnb2p6sZjc9

Rys. 2a. Na rysunku pokazano wektor przyspieszenia windy, skierowany pionowo w dół. Obok niego jest wektor siły bezwładności działającej na klocek, skierowany pionowo w górę i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym b i strzałką nad nią. Kolejny wektor to ciężar klocka, skierowany pionowo w dół i oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym g i ze strzałką nad nią. Z prawej strony rysunku pokazano, jak wyznaczyć graficznie wektor ciężaru pozornego, który jest sumą wektorów siły ciężkości i siły bezwładności działających na klocek. Przerywana linią narysowano wektor siły ciężkości skierowany pionowo w dół. Wektor siły bezwładności, skierowany pionowo w górę ma punkt początkowy w punkcie końcowym wektora siły ciężkości. Wektor ciężaru pozornego ma punkt początkowy w punkcie początkowym wektora siły ciężkości, a punkt końcowy w punkcie końcowym wektora siły bezwładności. Wektor ciężaru pozornego oznaczony jest literą wielkie F prim z indeksem dolnym b i strzałką nad nią.

R1Xexbc8PrzFU

Rys. 2b. Rysunek jest taki sam, jak rysunek 1 z tym, że wektor ciężaru, wielkie F z indeksem dolnym b i strzałką nad nią, zastąpiono wektorem ciężaru pozornego, wielkie F prim z indeksem dolnym b i strzałką nad nią.

Wobec tego rozwiązanie jest dokładnie takie samo, jak dla typowej równi spoczywającej na powierzchni Ziemi, ale należy pamiętać o zastąpieniu ciężaru ciała na równi ciężarem pozornym,

skąd, używając znanych rozkładów sił i wzorów, dostajemy wartość przyspieszenia

Po podstawieniu wartości liczbowych dostaniemy

Odpowiedź:

Wartość przyspieszenia klocka na równi wynosi ok.  $3,9\,\text{m/s}^2$ i jest ono skierowane w dół równi.

Słowniczek