Nowy dokument

C

Komentarz: Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, kierunek siły jest taki jak kierunek wektora zmiany pędu ciała (różnicy pędów po zadziałaniu siły i przed zadziałaniem siły).

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Do obliczenia wartości siły wykorzystamy II zasadę dynamiki: iloraz zmiany wektora pędu ciała i czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, jest równy sile działającej na ciało w tym czasie:

$\frac{\Delta \vec{p}}{\Delta \tau}=\vec{F} \quad \Delta \vec{p}=m \Delta \vec{v}=m\left(\vec{v}_{l}-\vec{v}_{k}\right)$

$\frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta \tau}=\vec{F} \quad \xrightarrow{\text { wartość }} \quad \frac{m|\Delta \vec{v}|}{\Delta \tau}=|\vec{F}|$

Komentarz (krok 2.)

Wyznaczymy zmianę $\Delta \vec{v}=\vec{v}_{l}-\vec{v}_{k}$ wektora prędkości, a następnie obliczymy jej wartość. Na podstawie położeń ciała określimy składowe $\vec{v}_{l} \mathrm{i} \vec{v}_{k}$ w kierunku $x$ oraz $y$. Pierwsza liczba w nawiasie kwadratowym to współrzędna składowej $x$, a druga - współrzędna składowej $y$ :

$\vec{v}_{l}=\frac{\overrightarrow{A_{4} A_{5}}}{\Delta t}=\left[5 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} ;-2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}\right] \quad \vec{v}_{k}=\frac{\overrightarrow{A_{3} A_{4}}}{\Delta t}=\left[4 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} ; 0 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}\right]$

Odejmowanie wektorów prędkości wykonamy np. graficznie (rysunek poniżej). Niech długość boku kratki odpowiada jednostce prędkości wyrażonej w m/s.

RT2G7SK98M2RK

Po odjęciu wektorów obliczymy wartość różnicy prędkości:

Różnica prędkości ma współrzędne: $\Delta \vec{v}=\left[1 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} ;-2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}\right]$ $\Delta v=|\Delta \vec{v}|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 2,24 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Komentarz (krok 3.)

Obliczymy wartość siły (dane i wynik w kroku 2. podstawimy do wzoru w kroku 1.).

$|\vec{F}|=\frac{m|\Delta \vec{v}|}{\Delta \tau} \quad \rightarrow \quad|\vec{F}| \approx \frac{0,5 \mathrm{~kg} \cdot 2,24 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{0,02 \mathrm{~s}} \approx 56 \mathrm{~N}$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Zapiszemy wzór na drogę w ruchu jednostajnie przyspieszonym z prędkością początkową. W naszym przypadku przebytą drogą jest wysokość $h$, a przyspieszeniem jest $g$.

$h=v_{0} t+\frac{1}{2} g t^{2}$

Do równania ruchu podstawimy dane podstawione domyślnie w jednostkach podstawowych układu SI:

$1,8=3,2 t+4,905 t^{2} \rightarrow 4,905 t^{2}+3,2 t-1,8=0$

Komentarz (krok 2.)

Rozwiążemy równanie kwadratowe i wybierzemy dodatnie rozwiązanie:

$\sqrt{\Delta} \approx 6,75 \rightarrow t \approx \frac{-3,2+6,75}{2 \cdot 4,905} \mathrm{~s} \approx 0,36 \mathrm{~s}$

Uwaga!

Rozwiązanie równania kwadratowego można przedstawić na symbolach ogólnych:

$\frac{1}{2} g t^{2}+v_{0} t-h=0 \rightarrow \sqrt{\Delta}=\sqrt{v_{0}^{2}+2 g h} \quad \rightarrow \quad t=\frac{-v_{0}+\sqrt{v_{0}^{2}+2 g h}}{g} \approx 0,36 \mathrm{~s}$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Skorzystamy - zgodnie z przyjętym modelem - z zasady zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna $E_{0}$ na wysokości $h$ jest równa energii $E_{1}$ tuż przed uderzeniem w ziemię:

$E_{1}=E_{0} \rightarrow E_{k i n 0}+E_{p o t 0}=E_{k i n 1}$

Wykorzystamy wzory na energię kinetyczną i potencjalną:

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2}+m g h=\frac{1}{2} m v_{1}^{2}$

Komentarz (krok 2.)

Przekształcimy powyższe równanie, podstawimy dane i wykonamy obliczenia:

$v_{1}=\sqrt{2 g h+v_{0}^{2}} \quad \rightarrow \quad v_{1}=\sqrt{2 \cdot 9,81 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}} \cdot 1,80 \mathrm{~m}+3,2^{2} \frac{\mathrm{~m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}} \approx 6,75 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Uwaga!

Wartość prędkości można obliczyć z równania na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym, z wykorzystaniem obliczonego czasu:

$v_{2}=v_{1}+g t \approx 3,2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}+9,81 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}} \cdot 0,36 \mathrm{~s} \approx 6,7 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Siłę reakcji podłoża $\vec{F}_{R}$ wyznaczymy z II zasady dynamiki, którą zapiszemy jako związek siły wypadkowej ze zmianą wektora pędu w czasie:

$\frac{\Delta \vec{p}_{12}}{\Delta t}=\vec{F}_{R}+\vec{F}_{g}$

Powyższe równanie wektorowe rozpiszemy na składową wzdłuż osi pionowej. Składową wektora skierowaną do góry oznaczymy z plusem, a do dołu - z minusem.

$\frac{m\left(v_{2}-\left(-v_{1}\right)\right)}{\Delta t}=F_{R}+\left(-F_{g}\right) \quad \rightarrow \quad \frac{m\left(v_{2}+v_{1}\right)}{\Delta t}=F_{R}-F_{g}$

Komentarz (krok 2.)

Obliczymy wartość prędkości kulki po odbiciu. Zapiszemy związek między energią mechaniczną przed odbiciem i po odbiciu kulki:

$0,75 \cdot E_{p r z e d}=E_{p o}$

$0,75 \cdot\left(\frac{1}{2} m v_{0}^{2}+m g h\right)=\frac{1}{2} m v_{2}^{2}$ $v_{2}=\sqrt{0,75 \cdot\left(2 g h+v_{0}^{2}\right)}$ $v_{2}=\sqrt{0,75 \cdot\left(2 \cdot 9,81 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}} \cdot 1,80 \mathrm{~m}+3^{2} \frac{\mathrm{~m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}\right)} \approx 5,85 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Komentarz (krok 3.)

Obliczoną wartość $v_{2}$ podstawimy do wzoru na siłę reakcji wyznaczonego $z$ równań w kroku 1.

$F_{R}=\frac{m\left(v_{2}+v_{1}\right)}{\Delta t}+F_{g}$

$F_{R}=\frac{0,25 \mathrm{~kg} \cdot(5,85+6,75) \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{~s}}}{0,005 \mathrm{~s}}+0,25 \mathrm{~kg} \cdot 9,81 \frac{\mathrm{~N}}{\mathrm{~kg}}$ $F_{R} \approx 630 \mathrm{~N}+2,45 \mathrm{~N}=632,5 \mathrm{~N} \approx 633 \mathrm{~N}$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Wykorzystamy zasadę zachowania pędu całkowitego układu: wektorowa suma pędów ciał A i B przed zderzeniem jest równa wektorowej sumie pędów ciał A i B po zderzeniu:

$\vec{p}_{A \text { przed }}+\vec{p}_{B \text { przed }}=\vec{p}_{A \text { po }}+\vec{p}_{B \text { po }}$

$m_{A} \vec{v}_{A \text { przed }}+\overrightarrow{0}=m_{A} \vec{v}_{A \text { po }}+m_{B} \vec{v}_{B \text { po }}$

To oznacza, że pęd całkowity jest zachowany w kierunku $x$ oraz w kierunku $y, \mathrm{z}$ czego dalej skorzystamy.

Komentarz (krok 2.)

Ustalimy współrzędne prędkości ciał A i B wyrażone w jednostkach umownych (ju). Za jednostkę długości przyjmiemy bok najmniejszej kratki na diagramie, a za jednostkę czasu czas upływający między kolejnymi zdjęciami. Skorzystamy z wygodnego sposobu zapisu składowych wektora we współrzędnych (pierwsza w nawiasie kwadratowym to współrzędna składowej $x$, druga - współrzędna składowej $y$ ):

$\vec{v}_{A p r z e d}=\left[\begin{array}{ll} v_{A x p r z e d} ;v_{A y p r z e d} \end{array}\right]=[18,5 \mathrm{ju} ; 0 \mathrm{ju}]$ $\vec{v}_{A p o}=\left[\begin{array}{ll} v_{A x p o}v_{A y p o} \end{array}\right]=[8,5 \mathrm{ju} ;-7,5 \mathrm{ju}]$ $\vec{v}_{B p o}=\left[\begin{array}{ll} v_{B x p o} ;v_{B y p o} \end{array}\right]=[8 \mathrm{ju} ; 6 \mathrm{ju}]$

Komentarz (krok 3.)

Podstawimy współrzędne prędkości do zasady zachowania pędu:

$m_{A} \cdot[18,5 \mathrm{ju} ; \quad 0 \mathrm{ju}]=m_{A} \cdot[8,5 \mathrm{ju} ; \quad-7,5 \mathrm{ju}]+m_{B} \cdot[8 \mathrm{ju} ; \quad 6 \mathrm{ju}]$

Przyrównamy współrzędne $x$ i $y$ pędu układu przed zderzeniem i po zderzeniu:

$\left\{\begin{array}{l} m_{A} \cdot 18,5=m_{A} \cdot 8,5+m_{B} \cdot 8 \\ \quad 0=m_{A} \cdot(-7,5)+m_{B} \cdot 6 \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l} \frac{m_{A}}{m_{B}}=0,8 \\ \frac{m_{A}}{m_{B}}=0,8 \end{array} \rightarrow \quad m_{B}=\frac{0,2 \mathrm{~kg}}{0,8}=0,25 \mathrm{~kg}\right.$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Powołamy się na własność zderzenia sprężystego. W zderzeniu sprężystym całkowita energia mechaniczna układu po zderzeniu byłaby równa całkowitej energii mechanicznej układu przed zderzeniem. W zderzeniu, które nie jest sprężyste, całkowita energia mechaniczna układu po zderzeniu będzie mniejsza od energii przed zderzeniem. Ponieważ ruch odbywa się w płaszczyźnie poziomej, a ciała poza zderzeniem nie oddziałują, to całkowita energia mechaniczna układu jest energią kinetyczną układu.

Komentarz (krok 2.)

Zapiszemy wyrażenia na energię mechaniczną układu:

$E_{\text {przed }}=\frac{1}{2} m_{A} v_{A \text { przed }}^{2} \quad E_{p o}=\frac{1}{2} m_{A} v_{A \text { po }}^{2}+\frac{1}{2} m_{B} v_{B \text { po }}^{2}$

Do obliczenia kwadratów wartości prędkości musimy ustalić współrzędne prędkości wyrażone w jednostkach umownych ju. Za jednostkę długości przyjmiemy bok kratki na diagramie, a za jednostkę czasu - czas upływający między kolejnymi zdjęciami:

$\vec{v}_{A p r z e d}=\left[v_{A x p r z e d} ; v_{A y p r z e d}\right]=[18,5 \mathrm{ju} ; 0 \mathrm{ju}]$ $\vec{v}_{A p o}=\left[v_{A x p o} ; v_{A y p o}\right]=[8,5 \mathrm{ju} ;-7,5 \mathrm{ju}]$ $\vec{v}_{B p o}=\left[v_{B x p o} ; v_{B y p o}\right]=[8 \mathrm{ju} ; 6 \mathrm{ju}]$

Komentarz (krok 3.)

W celu zbadania, czy energia mechaniczna układu jest zachowana, obliczymy iloraz energii po zderzeniu i przed zderzeniem (tak uniezależnimy wynik od jednostek, ponadto gdyby zderzenie miało być sprężyste, ten iloraz byłby równy 1):

$\frac{E_{p o}}{E_{p r z e d}}=\frac{\frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot\left(8,5^{2}+7,5^{2}\right) \mathrm{kg} \cdot \mathrm{ju}^{2}+\frac{1}{2} \cdot 0,25 \cdot\left(8^{2}+6^{2}\right) \mathrm{kg} \cdot \mathrm{ju}^{2}}{\frac{1}{2} \cdot 0,2 \cdot 18,5^{2} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{ju}^{2}}=0,74$

W wyniku zderzenia ciało straciło $26 \%$ energii mechanicznej. Taka rozbieżność nie może wynikać z niedokładności pomiarów z diagramu, zatem zderzenie nie było sprężyste.