Czy to nie ciekawe?

Jak szybko spadnie ciało zrzucone z wysokości 50 metrów? A gdyby spadało nie na Ziemi, a na Marsie? Jaką prędkość może uzyskać podczas takiego ruchu?

R1HkbDvN3LLex

Rys. a. Ilustracja przedstawia zdjęcie, na którym widoczna jest czerwona, spadająca piłeczka. W tle widoczne są niebieskie krzesła i stół ustawione w ogrodzie. Jest to przykład spadku swobodnego w polu grawitacyjnym Ziemi.

Jeśli nie będzie żadnych oporów ruchu, spadające ciała będą poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym, a to oznacza, że analizując równania ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy znaleźć odpowiedź na te i podobne pytania bez konieczności brania udziału w wyprawie kosmicznej. Szczegółów dowiesz się w tym e‑materiale.

Warto przeczytać

RM4lPlTjjqvFs

Rys. 1. Ilustracja przedstawia zdjęcie, na którym widoczny jest szarobrązowy, spadający swobodnie kamień. W tle widoczny jest ceglany mór. W dolnej części zdjęcie widoczny jest zielony trawnik. Jest to przykład spadku swobodnego w polu grawitacyjnym Ziemi.

Spadek swobodny to jeden z przykładów ruchu jednostajnie przyspieszonego. Jest to ruch, w którym ciało porusza się wyłącznie pod wpływem grawitacji – nie ma żadnych oporów ruchu, z zerową prędkościąprędkośćprędkością początkową.

Opis ruchu jednostajnie zmiennego w najbardziej ogólnej postaci ma następującą postać:

gdzie $\vec{a}$ oznacza przyspieszenieprzyspieszenie przyspieszenie, ${\overrightarrow{v}}_0$ – prędkość początkową, a ${\overrightarrow{r}}_0$ – położenie początkowe. Natomiast zależność prędkości od czasu to

Jako przykład spadku swobodnegospadek swobodnyspadku swobodnego opiszemy spadek ciała z wysokości $H$ wzdłuż prostej równoległej do wektora przyspieszenia grawitacyjnego. Wystarczy nam zatem jedna składowa wektora położenia i prędkości.

R1ebE0lg8lXmK

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczny jest prostokątny układ współrzędnych narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i oznaczona małą literą y. Symbolizuje ona wysokość. Oś pozioma skierowana jest w prawo i nie jest oznaczona. Początek układu współrzędnych oznaczono cyfrą zero. W układzie widoczne jest ciało narysowane w postaci niebieskiej kulki znajdującej się na wysokości wielka litera H nas osią poziomą. Wysokość oznaczono pionową strzałką z grotami na obu końcach. Ciało znajduje się po prawej stronie osi mała litera y. Pod ciałem widoczna jest niebieska, pionowa strzałka skierowana w dół. Opisano ją małą literą g ze strzałką oznaczającą wektor. Symbolizuje ona wektor przyspieszenia ziemskiego. Obok, po prawej stornie z osi poziomej układu współrzędnych wyrastają dwa kwiatki narysowane czarnym kolorem. Ciało upuszczone z wysokości będzie spadać swobodnie z przyspieszeniem ziemskim mała litera g.

Oś $y$ układu współrzędnych umieścimy pionowo (równolegle do przyspieszenia grawitacyjnego), skierowaną do góry. Ruch odbywać się będzie wzdłuż tej osi. Miejsce zerowe osi przyjmiemy na poziomie gruntu.

Równania opisujące ruch zrzutowane na oś $y$ będą wyglądać następująco:

Przyspieszenie grawitacyjne skierowane jest w dół, zatem składowa przyspieszenia będzie miała ujemną wartość. Ponieważ przyspieszenie grawitacyjne zazwyczaj oznaczamy przez $g$ i skierowane jest ono przeciwnie do osi $OY$, to $a_y = -g$.

Prędkość początkowa w spadku swobodnym wynosi 0, zatem $v_{0y} = 0$.

Położenie początkowe natomiast jest równe wysokości, na jakiej znajduje się ciało na początku, czyli $y = H$.

Uwzględniając powyższe dwa związki, przepisujemy opis ruchu w postaci

Znając opis ruchu możemy teraz wyznaczyć czas spadania ciała. Spadek zakończy się, gdy ciało dotrze do podłoża, co zgodnie z przyjętym układem współrzędnych oznacza, że współrzędna położenia będzie wynosiła 0. Czas spadania wyznaczymy zatem z równania:

gdzie przez $t_s$ oznaczamy szukany czas.

Po przekształceniu dostajemy:

Wyznaczony czas spadania pozwala nam na wyznaczenie maksymalnej wartości prędkości, jaką ciało osiągnie podczas tego ruchu. Wartość prędkości rośnie w miarę upływu czasu, a więc maksymalna będzie tuż przed uderzeniem w podłoże, czyli w chwili $t_s$.

Wynosi ona zatem

Słowniczek