Przećwicz

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Rz2l6TtMOP2DS

W kierunku osi $x$ mamy do czynienia z ruchem jednostajnym, a w kierunku osi $y$ z ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Ćwiczenie 2

R1axaPpmJHF6w

Szukana odległość jest równa odległości między dwoma punktami układu współrzędnych - początkowego,

$P = [x(0);,y(0)] = [0;,-2\,\text{m}]$

oraz końcowe

$K=[x(2\,\text{s});\,y(2\,\text{s})]=[6\,\text{m};\,6\,\text{m}]\ ,$

tj. położenie po czasie $t=2\,\text{s}$ . Chcąc wyznaczyć szukaną odległość, można skorzystać z twierdzenia Pitagorasa.

Przesunięcie wynosi $\overrightarrow{\Delta r} = [6\,\text{m};\,8\,\text{m}]$ , jego długość to $10\,\text{m}$ .

Ćwiczenie 3

RTx3D3uY0ealT

Ćwiczenie 4

Ran5HJjD2ch3J

Na rysunku są 2 układy współrzędnych. Na pierwszym na osi poziomej odłożono czas, a na osi pionowej współrzędną x wektora położenia. Wykres jest odcinkiem, skierowanym ukośnie w górę i w prawo, który zaczyna się w punkcie przecięcia obu osi, a kończy się w punkcie o współrzędnych t z indeksem dolnym 1 i v z indeksem dolnym 1. Na drugim wykresie na osi poziomej odłożono czas, a na osi pionowej współrzędną y wektora położenia. Wykres jest odcinkiem, skierowanym ukośnie w dół i w prawo, który zaczyna się w punkcie na osi pionowej o współrzędnej y z indeksem dolnym 1, a kończy się w punkcie w na osi poziomej o współrzędnej t z indeksem dolnym 1. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

RR6EbW8GXvKAt

Korzystając z zamieszczonych wykresów, odgadnij równania ruchu tego ciała: $x (t)$ i $y (t)$ . Następnie wyznacz współrzędne prędkości tego ciała i skorzystaj z definicji drogi w ruchu prostoliniowym.

Oba wykresy przedstawiają funkcje liniowe, o niezerowych współczynnikach kierunkowych. Zatem możliwe jest odwrócenie jednej z zależności (np. pierwszej) i wstawienie wyniku do drugiej. Funkcja odwrotna do liniowej jest liniowa, zatem podstawienie zależności $t(x)$ do $y(t)$ musi dać funkcję liniową $y(x)$ . Ruch jest więc prostoliniowy, a z liniowości zależności czasowych danych w zadaniu - na pewno jednostajny.

Opis ruchu tego ciała ma postać

x (t) = x_{0} + v_{x} \cdot t,

gdzie

v_{x} = \frac{x_{1} - x_{0}}{t_{1} - t_{0}} = \frac{x_{1}}{t_{1}} = \frac{1}{2} m/s,

oraz

y (t) = y_{0} + v_{y} \cdot t,

gdzie

v_{y} = \frac{y_{1} - y_{0}}{t_{1} - t_{0}} = - \frac{y_{0}}{t_{1}} = - 1 m/s .

Wartość prędkości wynosi więc $\frac{5}{\sqrt{2}}\,\text{m/s}$ . Długość toru - ponieważ jest to ruch prostoliniowy i jednostajny - jest iloczynem tej wartości i czasu ruchu, czyli $s = \frac{25}{\sqrt{2}}\,\text{m}$ .

Ćwiczenie 5

Rybak chce wypłynąć z przystani na jednym brzegu rzeki i dopłynąć do przystani, która znajduje się po drugiej stronie rzeki, ale 60 m dalej. Prędkość nurtu rzeki wynosi 3 m/s, rybak ma zamiar płynąć ze stałą prędkością prostopadle do brzegu rzeki. Wyznacz prędkość, z jaką powinien płynąć, aby trafić do drugiej przystani. Odpowiedź podaj z dokładnością do jednej cyfry znaczącej.

Rt0NIfgjDmNZG

Na rysunku są dwie linie poziome, które symbolizują równoległe brzegi rzeki. Szerokość rzeki zaznaczona jest jako 20 metrów. Przy dolnej linii poziomej narysowano mały prostokąt symbolizujący przystań. Od tego prostokąta narysowano pionową linię przerywaną, dochodzącą do górnej linii poziomej. Przy górnej linii poziomej również narysowano mały prostokąt symbolizujący przystań, która znajduje się dalej na prawo, niż przystań przy dolnej linii. Od linii przerywanej do przystani przy górnej linii narysowano poziomy odcinek zakończony z obu stron strzałkami i zapisano długość tego odcinka jako 60 metrów. Między liniami poziomymi narysowano wektor prędkości nurtu rzeki skierowany poziomo w prawo i opisany równaniem litera v z indeksem dolnym r równa się 3 metry na sekundę. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R5r3osmLbPC1x

Wprowadźmy oznaczenia:

$d = 20 m$ - szerokość rzeki,

$l = 60 m$ - położenie przystani na przeciwległym brzegu rzeki,

$v_{r} = 3 m/s$ - prędkość nurtu rzeki,

$v_{ł} = ?$ - prędkość łodzi w poprzek rzeki.

Równania ruchu łodzi zapiszemy w układzie odniesienia, którego początek umiejscowimy w początkowym położeniu łodzi, oś $x$ nich będzie równoległa do brzegu rzeki, a oś $y$ do niego prostopadła.

W takim układzie odniesienia wektor położenia łodzi mozna zapisać w postaci:

\vec{r (t)} = [x (t); y (t)],

gdzie

x (t) = v_{r} \cdot t,

y (t) = v_{ł} \cdot t .

Zauważmy, że łódź dobija do przeciwnego brzegu w chwili $t = t_{k}$ , gdy współrzędna położenia łodzi w kierunku osi $y$ jest równa

y (t_{k}) = v_{ł} \cdot t_{k} = d .

Wynika stąd, że

t_{k} = \frac{d}{v_{ł}} .

W tym samym czasie nurt rzeki znosi łódź na odległość równą $l$ , tzn.

x (t_{k}) = v_{r} \cdot t_{k} = l .

Podstawiając do ostatniej zależności wyrażenie na $t_{k}$ dostajemy:

v_{ł} = \frac{d}{l} \cdot v_{r} = \frac{20 m}{60 m} \cdot 3 m/s = 1 m/s .

Ćwiczenie 6

Ro6k8x4auSUrX

Ćwiczenie 7

Batman jechał swoim super samochodem drogą, która kończyła się tuż nad urwiskiem. Poniżej urwiska znajdowało się otwarte morze. Ponieważ Batmobile jest pojazdem przystosowanym do spadku swobodnego oraz pływania, a Batman bardzo się spieszył, by po raz kolejny uratować świat, postanowił bez zmiany prędkości zjechać z urwiska i dalszą drogę przebyć wodą. Zakładając, że momencie przejeżdżania przez krawędź urwiska Batmobile jechał z prędkością 200 km/h, a droga znajdowała się 125 m nad powierzchnią morza, oblicz, w jakiej odległości od brzegu nastąpił kontakt z wodą. Odpowiedź podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących.

RzPxf9ZPvu5yF

Na rysunku widać samochód, jadący poziomą drogą w prawo. Tuż przed samochodem droga kończy się pionowym urwiskiem, a w dole jest morze. Przed samochodem narysowano wektor prędkości skierowany w prawo i oznaczony literą v ze strzałką nad nią. — Źródło: Politechnika Warszawska, Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0.

R9R09FcbaqSDl

Ćwiczenie 8

Wykaż, że ruch, w którym ciało porusza się z przyspieszeniem $\vec{a} = [0; a]$ i ma prędkość początkową równą $\vec{v} = [v_{0}; 0],$ nie jest ruchem jednostajnie przyspieszonym (zakładamy, że żaden z tych wektorów nie jest zerowy), mimo że przyspieszenie w tym ruchu jest stałe.

W ruchu jednostajnie przyspieszonym wartość prędkości (tzn. długość wektora prędkości) jest liniową funkcją czasu: $v (t) = v_{0} + a \cdot t$ .

W rozważanym ruchu wektor prędkości ma postać

\vec{v} (t) = [v_{x} (t); v_{y} (t)] = [v_{0}; a \cdot t] .

Długość tego wektora wynosi

v (t) = \sqrt{{(v_{x})}^{2} + {(v_{y})}^{2}} = \sqrt{{(v_{0})}^{2} + a^{2} t^{2}} .

Stwierdzamy, że nie jest to liniowa funkcja czasu.

Przemyśl