Czy to nie ciekawe?

Z jaką prędkością porusza się konduktor w pociągu? To zależy – inna będzie jego prędkość względem pociągu, a inna względem torów. Kiedy rozpatrujemy ruch danego ciała, zawsze opisujemy go względem układu odniesienia. W różnych układach odniesienia prędkość ciała może być inna.

Warto przeczytać

RRq4N9gLC8OJ2

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym obok sygnalizatora świetlnego na ulicy widoczne są niebieski samochód osobowy, zielony rowerzysta oraz czerwona postać na hulajnodze. Wszystkie to obiekty znajdują się w tym samym położeniu początkowym i nie poruszają się. Ich względna prędkość wobec siebie jest równa zero.

Z jaką prędkościąprędkośćprędkością porusza się rowerzysta (Rys. 1.)? Cóż – odpowiedź brzmi – to zależy. Zależy od tego, w jakim układzie odniesienia rozpatrujemy jego ruch.

Układ odniesienia to ciało, względem którego określamy położeniepołożeniepołożenie innych ciał.

Zobaczmy zatem, jak będzie wyglądać prędkość rowerzysty, gdy układem odniesienia będą światła na skrzyżowaniu, jadący samochód lub człowiek na hulajnodze (Rys. 1.).

Zacznijmy od sytuacji, w której układem odniesienia jest sygnalizator świetlny (Rys. 2.). Wiążemy z nim układ współrzędnych w taki sposób, by oś x była równoległa do ścieżki rowerowej, a oś y równoległa do prostopadłej drogi. Oś z jest skierowana wtedy pionowo do góry.

R1eHgmtv7IaZK

Rys. 2. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym obok sygnalizatora świetlnego na ulicy widoczne są niebieski samochód osobowy, zielony rowerzysta oraz czerwona postać na hulajnodze. Wszystkie to obiekty znajdują się w tym samym położeniu początkowym i nie poruszają się. Z podstawy sygnalizatora świetlnego wychodzi prostokątny układ współrzędnych, w którym oś mała litera x skierowana jest poziomo w prawo, oś mała litera z skierowana jest pionowo w górę a oś mała litera y skierowana jest w prawo i w górę. Układ współrzędnych narysowany jest czarnymi strzałkami. Względna prędkość obiektów w układzie współrzędnych jest równa zero. Położenie sygnalizatora stanowi punkt odniesienia dla układu współrzędnych.

Zaczynamy. Obserwujemy rowerzystę przez 10 sekund i w ciągu tego czasu rowerzysta oddalił się od sygnalizatora o 40 metrów (Rys. 3.).

RDrdPmFlgogo9

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym obok sygnalizatora świetlnego na ulicy widoczne są niebieski samochód osobowy, zielony rowerzysta oraz czerwona postać na hulajnodze. Z podstawy sygnalizatora świetlnego wychodzi prostokątny układ współrzędnych, w którym oś mała litera x skierowana jest poziomo w prawo, oś mała litera z skierowana jest pionowo w górę a oś mała litera y skierowana jest w prawo i w górę. Samochód położenie samochodu znajduje się na osi mała litera x dla jej dodatniej wartości. Położenie rowerzysty znajduje się na osi mała litera x, dla jej wartości dodatniej ale mniejszej niż płożenie samochodu. Postać na hulajnodze widoczna jest na osi mała litera z dla jej dodatniej wartości. Położenie sygnalizatora stanowi punkt odniesienia dla układu współrzędnych.

Co to oznacza? Oznacza to, że wartość prędkości rowerzysty względem sygnalizatora świetlnego wynosi $4\text{m/s}$, a ponieważ rowerzysta porusza się wzdłuż osi x, możemy od razu napisać, że wektor prędkości w tym układzie odniesienia wynosi

Zmieńmy teraz układ odniesienia – tym razem ciałem, względem którego będziemy określać położenie rowerzysty, będzie przejeżdżający obok samochód (Rys. 4.).

R1a7AYk50IslX

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym obok sygnalizatora świetlnego na ulicy widoczne są niebieski samochód osobowy, zielony rowerzysta oraz czerwona postać na hulajnodze. Wszystkie to obiekty znajdują się w tym samym położeniu początkowym i nie poruszają się. Środek samochodu jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych, w którym oś mała litera x skierowana jest poziomo w prawo, oś mała litera z skierowana jest pionowo w górę a oś mała litera y skierowana jest w prawo i w górę. Postać na hulajnodze widoczna jest obok sygnalizatora świetlnego. Samochód oraz rowerzysta znajdują się nieco po prawej stronie od sygnalizatora. Położenie samochodu stanowi punkt odniesienia dla układu współrzędnych.

Osie układu współrzędnych mają te same kierunki, ale tym razem układ współrzędnych przemieszczaprzemieszczenieprzemieszcza się razem z samochodem.

W ciągu 10 sekund rowerzysta przemieści się o 40 metrów, ale w tym samym czasie samochód – a wraz z nim układ współrzędnych – przejedzie 150 metrów. Oznacza to, że przemieszczenie rowerzysty (czyli wektor łączący jego położenie początkowe i końcowe) ma współrzędne $[-110;0;0]\,\text{m}$.

R1UDb0SCBWW74

Rys. 5. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym obok sygnalizatora świetlnego na ulicy widoczne są niebieski samochód osobowy, zielony rowerzysta oraz czerwona postać na hulajnodze. Samochód widoczny jest po prawej stornie od sygnalizatora świetlnego. Rowerzysta również widoczny jest po prawej stronie od sygnalizatora świetlnego ale w odległości mniejszej niż samochód. Postać na hulajnodze znajduje się powyżej sygnalizatora i nieco z prawej strony, . Środek samochodu jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych, w którym oś mała litera x skierowana jest poziomo w prawo, oś mała litera z skierowana jest pionowo w górę a oś mała litera y skierowana jest w prawo i w górę. Położenie samochodu stanowi punkt odniesienia dla układu współrzędnych.

Wektor prędkości względem samochodu będzie zatem następujący:

W tym układzie odniesieniaukład odniesieniaukładzie odniesienia prędkość rowerzysty ma więc wartość $11\text{m/s}$ i rowerzysta porusza się w przeciwną stronę.

Przejdźmy zatem teraz do trzeciego układu odniesienia – związanego z człowiekiem na hulajnodze (Rys. 6.), który porusza się po torze prostopadłym do toru rowerzysty.

R8vlXIupRrVqS

Rys. 6. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym obok sygnalizatora świetlnego na ulicy widoczne są niebieski samochód osobowy, zielony rowerzysta oraz czerwona postać na hulajnodze. Wszystkie to obiekty znajdują się w tym samym położeniu początkowym i nie poruszają się. Środek postaci na hulajnodze jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych, w którym oś mała litera x skierowana jest poziomo w prawo, oś mała litera z skierowana jest pionowo w górę a oś mała litera y skierowana jest w prawo i w górę. Postać na hulajnodze widoczna jest obok sygnalizatora świetlnego. Samochód oraz rowerzysta znajdują się nieco po prawej stronie od sygnalizatora. Położenie postaci na hulajnodze stanowi punkt odniesienia dla układu współrzędnych.

Osie układu współrzędnych znów mają ten sam kierunek, ale tym razem, gdy w ciągu 10 sekund rowerzysta przejedzie 40 m w kierunku osi x, środek układu współrzędnych przesunie się o 30 m w kierunku osi y (Rys. 7.).

RPm4kxV67NCV1

Rys. 7. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym obok sygnalizatora świetlnego na ulicy widoczne są niebieski samochód osobowy, zielony rowerzysta oraz czerwona postać na hulajnodze. Samochód widoczny jest po prawej stornie od sygnalizatora świetlnego. Rowerzysta również widoczny jest po prawej stronie od sygnalizatora świetlnego ale w odległości mniejszej niż samochód. Postać na hulajnodze znajduje się powyżej sygnalizatora i nieco z prawej strony, . Środek postaci na hulajnodze jest początkiem prostokątnego układu współrzędnych, w którym oś mała litera x skierowana jest poziomo w prawo, oś mała litera z skierowana jest pionowo w górę a oś mała litera y skierowana jest w prawo i w górę. Położenie postaci na hulajnodze stanowi punkt odniesienia dla układu współrzędnych.

Wektor prędkości rowerzysty względem człowieka na hulajnodze ma zatem postać:

natomiast prędkość ma wartość $5\,\text{m/s}$.

W różnych układach odniesienia prędkość tego samego ciała może mieć różną wartość, inny zwrot, a nawet inny kierunek.

Można się też przekonać (i to warto sprawdzić samodzielnie na podanych przykładach), że prędkość ciała w układzie odniesienia UIndeks dolny 1₁ = prędkość ciała w układzie odniesienia UIndeks dolny 2₂ + prędkość układu UIndeks dolny 2₂ w układzie UIndeks dolny 1₁, gdzie oczywiście dodajemy do siebie prędkości wektorowo.

Słowniczek