Zastosuj odpowiednie wzory lub rozstrzygnij, czy dołączenie dowolnego opornika do innego ułatwi bądź utrudni przepływ prądu, gdy połączenie będzie szeregowe albo równoległe.

Opór zastępczy oporników połączonych szeregowo jest sumą ich wartości. Suma oporów pierwszego i ostatniego opornika ($1\,\Omega$ i $9\,\Omega$) jest równa $10\,\Omega$. Analogicznie dla oporników drugiego i przedostatniego itd. Takich par jest cztery, więc suma ich oporów wynosi $40\,\Omega$. Pozostaje tylko środkowy opornik, który nie ma „pary”, o oporze $5\,\Omega$. Opór całego układu wynosi więc $45\,\Omega$.

Stosując wzór na opór zastępczy równolegle połączonych jednakowych oporników otrzymujemy:

Skorzystaj ze wskazówek umieszczonych w treści zadania i przerysuj układ tak, by było widać, że górne i dolne oporniki połączone są równolegle.

Korzystając ze wskazówki, zamieniamy obwód na taki, jak na rysunku. Cztery jednakowe oporniki połączone równolegle mają opór równy $R/4$. Zatem dwa takie zestawy połączone szeregowo mają opór zastępczy równy $R/2$.

RO8fzoohzRrkp

Na rysunku pokazano osiem oporników. Cztery oporniki leżą poziomo jeden pod drugim i połączone są równolegle. Kolejne cztery oporniki tworzą taki sam układ oporników połączonych równolegle. Oba układy oporników połączone są szeregowo.

Z symetrii układu wynika, że natężenia prądów płynących w dłuższych bokach są sobie równe. To samo dotyczy krótszych boków. Opór przekątnej policzysz zaś, stosując prawo Pitagorasa.

$R_{zast}=R\frac{4+3\sqrt{5}}{3+2\sqrt{5}}$

Oporniki nie są ze sobą połączone ani szeregowo, ani równolegle. Rozwiązanie zadnia wymaga więc zastosowania praw Kirchhoffa. Stosując oznaczenia takie, jak na rysunku oraz korzystając z podpowiedzi, możemy napisać:

R99oszka4SVqy

Na rysunku znajduje się prostokąt, którego poziome boki są dwa razy dłuższe od boków pionowych. Lewy, górny wierzchołek oznaczono literą wielkie A, a prawy, dolny wierzchołek literą wielkie B. Między lewym, dolnym i prawym, górnym wierzchołkiem narysowano przekątną. Przy górnym, poziomym boku prostokąta zapisano opór równy dwa razy wielkie R. Przy prawym, pionowym boku zapisano opór równy wielkie R. Przy przekątnej zapisano opór równy pierwiastek z pięciu razy wielkie R. Narysowano przewód, którym prąd wpływa do punktu A. Przewód z punktu A wychodzi poziomo w lewo, a potem pionowo w dół. Strzałka na pionowym przewodzie skierowana do góry pokazuje kierunek przepływu prądu, którego natężenie oznaczono literą wielkie i. Od punktu B do dolnej części pionowego przewodu narysowano linię poziomą zakończoną z obu stron strzałkami i zapisano przy niej literę wielkie U symbolizującą napięcie przyłożone między punktami A i B. Na bokach i przekątnej prostokąta narysowano strzałki wskazujące kierunek prądu. Na lewym, pionowym boku strzałka skierowana jest w dół i natężenie prądu oznaczone literą wielkie i z indeksem dolnym małe k. Na górnym, poziomym boku strzałka skierowana jest w prawo i natężenie prądu oznaczone literą wielkie i z indeksem dolnym małe d. Na prawym, pionowym boku strzałka skierowana jest w dół i natężenie prądu oznaczone literą wielkie i z indeksem dolnym małe k. Na dolnym, poziomym boku strzałka skierowana jest w prawo i natężenie prądu oznaczone literą wielkie i z indeksem dolnym małe d. Na przekątnej strzałka skierowana jest w prawo i górę i natężenie prądu oznaczone literą wielkie i z indeksem dolnym małe p.

Rozwiązując ten układ równań, otrzymujemy związek pomiędzy $U$ a $I$:

z którego, na podstawie prawa Ohma, wyznaczamy opór zastępczy układu, jako stosunek $U$ do $I$.

Z symetrii układu wynika, że do węzła w centrum prostokąta wpływa z punktu A taki sam prąd, jaki wypływa do punktu B. Przekątną AB można więc wyłączyć z węzła i narysować w innym miejscu. Wtedy można skorzystać z gotowego rozwiązania poprzedniego zadania.

Gdy skorzystamy z podpowiedzi, możemy układ oporników zamienić na taki, jak na rysunku.

R1ODvdrdugEBL

Na rysunku znajduje się prostokąt, którego poziome boki są dwa razy dłuższe od boków pionowych. Lewy, górny wierzchołek oznaczono literą wielkie A, a prawy, dolny wierzchołek literą wielkie B. Między lewym, dolnym i prawym, górnym wierzchołkiem narysowano przekątną. Przewód z punktu A wychodzi poziomo w lewo, a potem pionowo w dół. Dolny koniec przewodu połączono z lewym końcem poziomego opornika, którego wartość zapisano jako pierwiastek z pięciu razy wielkie R. Prawy koniec tego opornika połączony jest z punktem B.

Otrzymujemy więc połączenie równoległe opornika o wartości obliczonej w poprzednim zadaniu z opornikiem o wartości równej oporowi przekątnej prostokąta. Wobec tego

skąd po uproszczeniu i wzięciu odwrotności obu stron uzyskujemy wynik.

Zauważ, że z symetrii układu wynika, iż punkty na pionowej przekątnej mają taki sam potencjał. Wykreśl więc te oporniki, przez które nie płynie prąd, a potem rozłącz centralny węzeł, korzystając z faktu, że zawiera on dwie pary przewodów, w których płynie prąd o tym samym natężeniu.

Z symetrii układu wynika, że wszystkie punkty na pionowej przekątnej mają ten sam potencjał, wobec tego całą przekątną można wykreślić z układu. Natężenie prądu wpływającego z punktu A do węzła centralnego musi być równe natężeniu prądu wypływającego do punktu B, wobec tego węzeł ten można rozdzielić na dwie gałęzie, jak na rysunku:

RbP4HrlCylRqx

Na rysunku znajduje się pozioma linia prosta, na której zaznaczono z lewej strony punkt wielkie A, a z prawej strony punkt wielkie B. W środku linii jest przerwa, w którą wstawiony jest poziomy prostokąt. Na górnej i dolnej krawędzi prostokąta leżą po dwa oporniki połączone szeregowo. Między punktem A i prostokątem narysowano w górę pionowy odcinek, na którym leży jeden opornik. Między punktem B i prostokątem również narysowano w górę pionowy odcinek, na którym leży jeden opornik. Od górnych końców tych oporników poprowadzono poziomy odcinek na którym wstawiono poziomy prostokąt. Na górnej i dolnej krawędzi prostokąta leżą po dwa oporniki połączone szeregowo.

Ponieważ opór zastępczy czterech oporników połączonych w dwie równoległe gałęzie po dwa szeregowo połączone elementy jest równy $R$, cały układ można jeszcze bardziej uprościć, do pokazanego na następnym rysunku:

R1NXJ49mdBYbJ

Na rysunku znajduje się pozioma linia, na której zaznaczono z lewej strony punkt wielkie A, a z prawej strony punkt wielkie B. Nad linią zbudowano prostokąt, którego dolna krawędź leży na linii, a na górnej leżą trzy oporniki połączone szeregowo. Na dolnej krawędzi leży jeden opornik.

Opór zastępczy takiego obwodu możemy obliczyć ze wzoru

Oznaczmy szukany opór przez $X$. Skoro sieć jest nieskończona, dołączenie do niej jeszcze jednego „modułu” nie zmieni jej oporu. Zapisz ten fakt za pomocą równania i rozwiąż je.

Korzystając z podpowiedzi, możemy zamienić obwód o oporze $x$ między punktami A i B na taki, jak na rysunku

R19KaZNn3siJH

Na rysunku znajdują się dwa poziome odcinki. Na lewym końcu górnego odcinka zaznaczono punkt oznaczony jako wielkie A, na lewym końcu dolnego odcinka zaznaczono punkt oznaczony jako wielkie B. Na górnym odcinku narysowano opornik oznaczony literą wielkie R. Narysowano dwa pionowe odcinki o początku na górnym i końcu się na dolnym poziomym odcinku. Na każdym z pionowych odcinków znajduje się jeden opornik. Pionowy opornik z lewej strony oznaczono liter ą wielkie R, a opornik a z prawej strony literą małe x. Moduł składający się z opornika poziomego i sąsiedniego opornika pionowego zaznaczono czerwoną pętlą.

Zatem

Otrzymujemy równanie kwadratowe, które ma jedno dodatnie rozwiązanie postaci