To ciekawe

R16lsz9NOwUZa

Rys. a. przedstawia zdjęcie z komory pęcherzykowej. Na niebieskim tle widoczne są białe linie ułożone chaotycznie, przecinające się. Są to ślady torów naładowanych cząstek. Tory są różnego kształtu - prostoliniowe, spiralne, w postaci łuku lub okręgu. Z lewej strony zdjęcia niewyraźne oznaczenia techniczne, również w kolorze białym.

Spójrz na Rys. a., na którym pokazano zdjęcie torów cząstek poruszających się w polu magnetycznym. Widzimy tu linie różnych kształtów – proste albo łuki o bardzo małej krzywiźnie, okręgi a raczej spirale, a nawet przypominające sprężynki linie śrubowe o zmieniającym się promieniu. Widzimy też, że tory nie leżą w jednej płaszczyźnie – obraz jest przestrzenny.

Czy potrafimy wyjaśnić te tory? Zasadniczo tak i wcale nie jest to trudne. Zrobimy to w tym e‑materiale.

Warto przeczytać

Na naładowaną cząstkę znajdującą się w polu magnetycznympole magnetycznepolu magnetycznym działa siła magnetyczna zwana siłą Lorentza. Jest ona określona przez iloczyn wektorowy:

gdzie $q$ jest wartością ładunku elektrycznego wziętą ze znakiem ładunku, $\overrightarrow{v}$ jest prędkością cząstki, a $\overrightarrow{B}$ jest wektorem indukcji magnetycznej, charakteryzującym pole magnetyczne.

Jako iloczyn wektorowy siła magnetyczna ma następujące właściwości:

1. Jej wartość opisana jest wzorem: $F_L=\left|q\right|vB\cdot sin\sphericalangle \left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\right)$;

2. Wektor siły ${\overrightarrow{F}}_L$ jest prostopadły zarówno do wektora prędkości $\overrightarrow{v}$, jak i wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$; inaczej mówiąc – wektor siły ${\overrightarrow{F}}_L$ jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{B}$;

3. Zwrot wektora siły ${\overrightarrow{F}}_L$ jest określony regułą śruby prawoskrętnej, która obrazowo dla ładunku dodatniego pokazana jest na Rys. 1a. i 1b.

R7uCGsHWMrYDd Rys. 1a. ilustruje wykorzystanie zasady śruby prawoskrętnej do określenia zwrotu siły Lorentza działającej na cząstkę naładowaną wstrzeloną w obszar pola magnetycznego. Na samym dole widoczna jest śruba ustawiona pionowo w górę z zaznaczonym kierunkiem obrotu w postaci łuku zakończonego strzałką o zwrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara oraz kierunkiem ruchu postępowego pionowo w górę jaki jest wykonywany przez śrubę podczas obrotu. Nad śrubą widnieje płaszczyzna z trzema wektorami zaczepionymi w tym samym punkcie: - niebieskim leżącym na płaszczyźnie, skierowanym w prawo lekko w górę i oznaczonym B z wektorem; - zielonym leżącym na płaszczyźnie, skierowanym w prawo lekko w dół i oznaczonym V z wektorem; - czerwonym - ustawionym pionowo (prostopadle do płaszczyzny) oznaczonym: F z wektorem i indeksem L. Między wektorami V i B zaznaczono łukiem kąt alfa.

Rkv2C3Bq4K4rC Rys. 1b. ilustruje wykorzystanie zasady prawej dłoni do określenia zwrotu siły Lorentza. Widoczna jest prawa dłoń z kciukiem skierowanym do góry wraz ze zgiętymi palcami, widzianej od strony wnętrza dłoni. Na tle dłoni umieszczono trzy wektory zaczepione w punkcie we wnętrzu dłoni: pionowy w kolorze zielonym oznaczony: Fed, niebieski skierowany w prawo lekko w górę oznaczony: B oraz czerwony skierowany w prawo lekko w dół oznaczony: I. Między wektorami B i I zaznaczono kąt literą grecką alfa.

Na Rys. 1b. pokazano, w jaki sposób użyć prawej dłoni do znalezienia iloczynu wektorowego. Kierujemy palce dłoni wzdłuż wektora $\overrightarrow{v}$ (mają pokazywać kierunek tego wektora), ale dłoń należy ustawić tak, by wektor indukcji $\overrightarrow{B}$ „wychodził” z wnętrza dłoni. Wtedy można „nakręcić” wektor $\overrightarrow{v}$ na $\overrightarrow{B}$. Przy takim ustawieniu dłoni kciuk pokaże wektor ${\overrightarrow{F}}_L$. Warto wiedzieć, że w ten sposób znajdziemy dowolny wektor będący iloczynem wektorowym dwóch wektorów. Reguła śruby jest uniwersalna.

Dla ładunku ujemnego, np. dla elektronu, trzeba, po zastosowaniu omówionej procedury, zmienić zwrot siły na przeciwny. Można też zastosować regułę śruby lewoskrętnej, czyli użyć lewej ręki.

Do wyznaczenia kierunku siły Lorentza można też użyć reguły trzech palców prawej dłoni (reguły Fleminga), przedstawionej na Rys. 2.

R1LWUjKTIZG7t

Rys. 2. ilustruje zasadę Fleminga do określenia zwrotu siły Lorentza. Widoczna jest prawa dłoń od strony wnętrza dłoni, z kciukiem skierowanym w prawo i podpisanym: FL, palcem wskazującym skierowanym w górę i podpisanym: V oraz palcem środkowym nieco zgiętym do wnętrza dłoni i podpisanym: B. Trzy palce tworzą układ wektorów wzajemnie prostopadłych.

Siła Lorentza działa prostopadle do wektora prędkości cząstki,  jest więc siłą dośrodkową. Nie może zmienić wartości prędkości cząstki, bowiem siła dośrodkowa nie wykonuje pracy – nie zmienia energii kinetycznej cząstki. Powoduje jedynie zakrzywienie torutor ruchu ciałatoru jej ruchu. Widzimy to na pięknym zdjęciu (Rys. 3.), przedstawiającym wiązkę elektronów poruszających się po orbicie kołowej w stałym polu magnetycznym.

RWq2AIpTpa0wD

Rys. 3 przedstawia zdjęcie szklanej bańki na czarnym tle z widocznym w jej wnętrzu śladem toru elektronów w postaci koła w kolorze ciemnoróżowym. W środkowej części bańki widoczny układ elektrod.

Zobaczmy teraz, po jakich torach mogą poruszać się naładowane cząstki w jednorodnym polupole jednorodnejednorodnym polu magnetycznym. Odpowiedź będzie wynikała z zależności opisującej siłę Lorentza: ${\overrightarrow{F}}_L=q\cdot \left(\overrightarrow{v}\times \overrightarrow{B}\right)$. Wiemy już, że siła działa prostopadłe do wektora prędkości cząstki, a w dodatku jej wartość wyrażona jest następująco: $F_L=\left|q\right|vB\cdot sin\sphericalangle \left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\right)$. Bardzo wiele zależy więc od kąta pomiędzy prędkością cząstki a wektorem indukcji.

Rozważymy trzy przypadki:

1. Jeśli $\sphericalangle \left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\right)$ = 0 lub 180°, to wartość siły Lorentza wynosi zero. Co będzie torem ruchu? Jeśli na cząstkę nie działają żadne siły, to porusza się ona ruchem jednostajnym po prostej, jak przedstawiono to na Rys. 4.

R1O1yAjI560Fh

Rys. 4. przedstawia tor ruchu cząstki w polu magnetycznym wstrzelonej zgodnie ze zwrotem pola. Wektor pola magnetycznego to niebieska pozioma strzałka skierowana w prawo i podpisana: B z wektorem. Powyżej, równolegle do strzałki widoczny jest tor cząstki w postaci czarnej przerywanej linii. Cząstka jest wstrzeliwana do obszaru pola z lewej strony, o czym świadczy wektor prędkości - czerwona strzałka skierowana w prawo i oznaczona: v.

2. Jeśli $\sphericalangle \left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\right)$ = 90°, to wartość siły Lorentza jest maksymalna: $F_{L}=\left|q\right|vB$. Przypomnijmy, że wektor siły ${\overrightarrow{F}}_L$ jest prostopadły zarówno do wektora prędkości $\overrightarrow{v}$, jak i wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$. Zobaczmy to na przykładowym Rys. 5.

R33vfLx4izAm0

Rys. 5. ilustruje tor cząstki w polu magnetycznym wstrzelonej prostopadle do linii pola magnetycznego. Na tle złożonym z układu 42 niebieskich kółek z krzyżykiem w środku widnieje okrąg w postaci czarnej linii przerywanej. Na dole okręgu są dwa wektory zaczepione w tym samym punkcie leżącym na okręgu: czerwona pozioma strzałka skierowana w prawo z oznaczeniem: v oraz zielona pionowa strzałka z oznaczeniem: F z indeksem L.

Siła Lorentza będzie cały czas powodowała zmianę kierunku wektora prędkości – będzie nadawała cząstce przyspieszenie dośrodkowe. Cząstka będzie poruszała się ruchem jednostajnym po okręgu.

Możemy łatwo obliczyć promień tego okręgu. Siła Lorentza jest siłą dośrodkową, zapiszmy to: $F_{L}=F_{d}$ i podstawmy do tego równania wyrażenia opisujące siłę Lorentza i siłę dośrodkową. $|q|vB=\frac{mv^{2}}{r}$. Stąd promień okręgu, po którym porusza się naładowana cząstka: $r=\frac{mv}{|q|B}$.

3. Jeśli $\sphericalangle \left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\right)$ jest kątem ostrym, czyli wektor prędkości ustawiony jest skośnie w stosunku do linii pola magnetycznegolinie pola magnetycznegolinii pola magnetycznego, to wtedy tor jest krzywą leżącą w przestrzeni - linią śrubową (zobacz Rys. 6.). Dlaczego?

REn12dXeiCGji

Rys. 6 przedstawia prostokątny układ współrzędnych XYZ oraz tor cząstki wstrzelonej w obszar pola pod pewnym kątem do linii pola. Linie pola magnetycznego to trzy równoległe niebieskie strzałki oznaczone: B. Wektor prędkości - zielona strzałka z oznaczeniem: v. Wektor prędkości jest rozłożony na dwie składowe w kierunku X i Z - są to strzałki w kolorze jasnozielonym. Tor stanowi krzywa w postaci spirali narysowanej w postaci grubej linii w kolorze szarym.

Rozłóżmy wektor prędkości $\overrightarrow{v}$ na wektory składowe: prędkość równoległą do linii pola magnetycznego ${\overrightarrow{v}}_{\left|\right|}$ oraz prędkość prostopadłą do linii pola magnetycznegolinie pola magnetycznegolinii pola magnetycznego ${\overrightarrow{v}}_{\perp }$. Wiemy już, jakie jest działanie pola magnetycznego w dwóch przypadkach: gdy cząstka porusza się prostopadle oraz równolegle do wektora indukcji $\overrightarrow{B}$. Z zasady niezależności ruchów wynika, że cząstka jednocześnie porusza się po okręgu z prędkością $v_{\perp}$, w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola magnetycznego, oraz ruchem jednostajnym z prędkością $v_{||}$ w kierunku linii pola. W efekcie cząstka porusza się po linii śrubowej. Przedstawia to Rys. 7., na którym widoczny jest okrąg w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola magnetycznego.

RurPN2OimYOCp

Rys. 7. przedstawia tor przedstawia tor cząstki wstrzelonej w obszar pola pod pewnym kątem do linii pola. Pole magnetyczne to pionowa niebieska strzałka oznaczona: B. Wektor prędkości - czerwona strzałka z oznaczeniem: v. Wektor prędkości jest rozłożony na dwie składowe: w kierunku poziomym w lewo i w kierunku pionowym w dół. Tor stanowi krzywa w postaci spirali narysowanej w postaci ciągłej linii w kolorze zielonym.

Prawie wyjaśniliśmy sprężynowe tory ruchutor ruchu ciałatory ruchu cząstek widoczne w części wstępnej na Rys. a. Pozostała jeszcze kwestia zwężania się (zmniejszania promienia) owych sprężynek.

W komorze mgłowej tory cząstek uwidoczniają się podczas oddziaływania cząstek z materią wypełniającą komorę. W związku z tym ich prędkość maleje. To powoduje zmniejszanie się promienia zakreślanych okręgów albo linii śrubowych.

Słowniczek