##To ciekawe

Wektor indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ charakteryzuje pole magnetyczne w pewnej przestrzeni. Jest przypisany każdemu punktowi przestrzeni i chwili czasu, bo pole magnetyczne może przecież być zmienne w czasie. Matematycznie zapiszemy to, co zostało tu powiedziane, następująco: $\overrightarrow{B}\left(x,y,z,t\right)$. Tutaj nie będziemy rozważać pola magnetycznego zmiennego w czasie – zajmiemy się tzw. magnetostatyką. Wtedy wektor indukcji jest funkcją jedynie położenia, czyli współrzędnych $x$, $y$, $z$.

Pole magnetyczne to pole wektorowe, co wyobrażamy sobie tak, że każdemu punktowi przestrzeni przypisujemy wektor. Mamy zatem przestrzeń „najeżoną” wektorami. Niełatwo to sobie wyobrazić!

W celu zobrazowania pola fizycznego Michael Faraday zaproponował posługiwanie się liniami pola. Są to linie, do których wektory charakteryzujące dane pole są styczne w każdym punkcie (zobacz Rys. a.).

RS1mCMk3Z8HtK

Rys. a. Na rysunku widać dziewięć wygiętych, czarnych linii biegnących w kierunku pionowym. Na dwóch z nich zaznaczone są białymi kwadratami małe punkty. Z punktów tych wychodzą niebieskie strzałki skierowane w lewo i w dół, które są styczne do czarnych linii w punktach z których wychodzą. Czarne linie symbolizują linie pola elektrycznego a niebieskie strzałki wektory natężenia tego pola wielka litera E ze strzałką oznaczającą wektor, w konkretnych punktach pola.

RfQ3IKSWhcEqd

Rys. b. Na rysunku widać dziewięć wygiętych, czarnych linii biegnących w kierunku pionowym. Na liniach zaznaczono czarnymi grotami kierunek w dół strzałek. Linie te wraz z grotami symbolizują pole elektryczne je jego kierunek wzdłuż linii.

No dobrze, ale przytoczmy tutaj pytanie tytułowe. Jak definiujemy wektor indukcji magnetycznej?

Na to pytanie odpowiemy w dalszej części e‑materiału.

Warto przeczytać

Pola zdefiniowane są jako stany przestrzeni, w której na pewne ciała, będące „ciałami próbnymi”, działają siły. Wartość tych sił informuje nas o tym jak „silne” jest pole.

Jest oczywiste, że wartość wektora charakteryzującego dane pole musi być wprost proporcjonalna do siły działającej na ciało próbne. I tak jest też w przypadku pola magnetycznegoPole magnetycznepola magnetycznego i wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$.

Co jest tym ciałem próbnym w przypadku pola magnetycznego? Jest nim poruszający się ładunek. Możemy usłyszeć także, że pole magnetyczne działa na przewodnik z prądem albo igłę magnetyczną, ale są to konsekwencje działania pola na poruszający się ładunek.

Z przeprowadzonych eksperymentów wynika, że na cząstkę obdarzoną ładunkiem $q$, poruszającą się z prędkością $\overrightarrow{v}$ w polu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$ działa siła magnetyczna zwana siłą Lorentza opisana matematycznie w następujący sposób:

gdzie $q$ jest ładunkiem z uwzględnieniem znaku (np. dla elektronu $q = -e$), a symbol $\times$ oznacza iloczyn wektorowyIloczyn wektorowyiloczyn wektorowy.

Siła magnetyczna wyrażona jako iloczyn wektorowy ma następujące właściwości:

1. Jej wartość opisana jest wzorem: $F_{mag}=\left|q\right|vB\cdot sin\sphericalangle \left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}\right)$. Widzimy tutaj, że wartość siły magnetycznej jest wprost proporcjonalna do wartości indukcji magnetycznej $B$. Zatem im większa indukcja, tym większa siła. Ale kierunek i zwrot tego wektora nie jest taki, jak siły magnetycznej.

2. Wektor siły ${\overrightarrow{F}}_{mag}$ jest prostopadły zarówno do wektora prędkości $\overrightarrow{v}$ jak i wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$; inaczej mówiąc – wektor siły ${\overrightarrow{F}}_{mag}$ jest prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{B}$.

3. Zwrot wektora siły magnetycznej ${\overrightarrow{F}}_{mag}$ jest określony regułą śruby prawoskrętnej, która obrazowo dla ładunku dodatniego pokazana jest na Rys. 1a. i 1b.

R1CEqVimqbFWQ

Rys. 1a. Na rysunku widoczna jest niebieska pozioma płaszczyzna narysowana w postaci równoległoboku. Środek płaszczyzny jest także środkiem trójwymiarowego układu współrzędnych narysowanego w postaci kolorowych strzałek. Układ jest prawoskrętny. Środek układu oznaczono cyfrą zero. Oś pionowa narysowana jest czerwoną strzałką i opisana wielką literą F z indeksem dolnym małe litery mg i strzałką oznaczającą wektor. Oś ta symbolizuje kierunek działania siły magnetycznej. Druga oś skierowana jest poziomo w prawo i w dół. Narysowana jest ona zieloną strzałką i opisana mała literą v ze strzałką oznaczającą wektor. Oś ta symbolizuje wektor prędkości. Trzecia oś skierowana jest w prawo i w górę. Narysowana jest niebieskim kolorem i oznaczona wielką literą B ze strzałką oznaczającą wektor. Symbolizuje ona kierunek wektora indukcji magnetycznej. Pomiędzy wektorem prędkości i wektorem indukcji magnetycznej zaznaczono kąt małą grecka litera alfa. Poniżej początku układu widoczny jest rysunek śruby, której łeb skierowany jest w dół a czubek w górę. Z czubka wychodzi czarna, pionowa strzałka skierowana w górę i wskazująca na początek układu wektorów. Poniżej śruby widać łuk z zaznaczonym grotem na końcu wskazujący kierunek możliwego obrotu śruby przeciwny do ruchu wskazówek zegara, czyli w prawo.

R15ybX06j7Tb0

Rys. 1b. Na rysunku widoczna jest prawa ludzka dłoń ze zwiniętymi czterem palcami i kciukiem wyciągniętym w górę. Na tle dłoni widoczne są trzy wektory wychodzące z jednego punktu. Jeden z wektorów narysowany jest czerwoną strzałką skierowaną w górę i opisany jest on wielką literą F z indeksem dolnym małe litery mg i strzałką oznaczającą wektor. Wektor ten symbolizuje kierunek działania siły magnetycznej. Drugi wektor narysowano w postaci zielonej strzałki, skierowanej w prawo i w dół i podpisanej mała literą v ze strzałką oznaczającą wektor. Symbolizuje on kierunek wektora prędkości. Trzeci wektor narysowano niebieską strzałką skierowaną w prawo i w górę. Opisano go jako wektor indukcji magnetycznej wielka litera B ze strzałką oznaczającą wektor. Pomiędzy wektorem prędkości i wektorem indukcji magnetycznej zaznaczono kąt mała grecka litera alfa.

Na Rys. 1b. pokazano, w jaki sposób użyć prawej dłoni do znalezienia kierunku i zwrotu wektora będącego iloczynem wektorowym. Jeśli cztery zgięte palce prawej dłoni wskażą najkrótszą drogę od wektora $\overrightarrow{v}$ do wektora $\overrightarrow{B}$, to kciuk wskaże zwrot wektora siły Lorentza ${\overrightarrow{F}}_{mag}$. Warto wiedzieć, że w ten sposób znajdziemy dowolny wektor będący iloczynem wektorowym dwóch wektorów. Reguła śruby jest uniwersalna.

Dla ładunku ujemnego np. dla elektronu trzeba, po zastosowaniu omówionej procedury, zmienić zwrot siły na przeciwny. Ewentualnie zastosować regułę śruby lewoskrętnej, czyli użyć lewej ręki.

Widzimy, że w przypadku pola magnetycznego sytuacja jest bardziej skomplikowana niż w przypadku pól elektrycznego i grawitacyjnego, gdzie siły działają na ciało próbne w tym samym kierunku, w jakim ustawione są wektory natężeń pola. Tutaj siła jest prostopadła do wektora charakteryzującego pole. Jak wobec tego „wyplątać” z iloczynu wektorowego opisującego siłę wektor indukcji i jak go zdefiniować.

Zwróćmy uwagę na dwa interesujące fakty związane z działaniem siły magnetycznej na poruszającą się naładowaną cząstkę.

Po pierwsze:

Naładowana cząstka może poruszać się w polu magnetycznym, a siła magnetyczna w ogóle nie będzie na nią działała. Taka sytuacja zdarzy się, gdy kąt między wektorem prędkości a wektorem indukcji będzie wynosił zero albo 180° (sinus tego kąta będzie równy zeru). Tak więc wtedy, gdy cząstka porusza się równolegle do linii pola magnetycznegoLinie pola magnetycznegolinii pola magnetycznego, nie działa na nią siła.

Po drugie:

Maksymalna wartość siły magnetycznej ze względu na kąt między $\overrightarrow{v}$ a $\overrightarrow{B}$ występuje przy kącie 90° i jest równa $F_{max}=\left|q\right|vB$.

Wykorzystując powyżej sformułowane właściwości możemy skonstruować następującą definicję indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$:

1. Znajdujemy kierunek wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ jako prostą, wzdłuż której poruszający się ładunek nie doznaje siły magnetycznej;

2. Mierzymy siłę magnetyczną działającą na naładowana cząstkę poruszającą się w kierunku prostopadłym do poprzedniego, wtedy wartość indukcji obliczymy jako:

   $B=\frac{F_{max}}{|q|v}$

3. Zwrot indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ wyznaczymy z reguły śruby prawoskrętnej, przyjmując, że znamy zwroty wektorów prędkości i maksymalnej siły magnetycznej.

Indukcję magnetyczną mierzymy w teslach (T). Jak wynika z definicji indukcji 1 T = 1 N/(A ·m).

Indukcja magnetyczna równa jednej tesli, to bardzo duża wartość. Typowy magnes szkolny w pobliżu bieguna jest źródłem pola o wartości 0,01 T.

Do pomiaru indukcji magnetycznej używa się przyrządu zwanego teslomierzem. Jego działanie opisane jest w samouczku materiału „Jak definiujemy pole magnetyczne?”.

Słowniczek