Nowy dokument

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach.

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, P, P.

Zasady oceniania

2 pkt - powołanie się na regułę Lenza, poprawne określenie biegunowości indukowanego pola magnetycznego oraz poprawne powiązanie zwrotu przepływu prądu z polem indukowanym.

1 pkt - powołanie się na regułę Lenza i poprawne określenie biegunowości indukowanego pola magnetycznego.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Przykładowe pełne rozwiązanie

R1KHGOU45BO7H

Gdy magnes oddala się od pierścienia, to strumień indukcji magnetycznej przez powierzchnię pierścienia maleje. Zgodnie z prawem Faradaya i regułą Lenza w pierścieniu powstanie taki prąd, który wytworzy indukowane pole magnetyczne przeciwdziałające tym zmianom i ich przyczynom - powstanie pole magnetyczne z biegunem południowym od strony magnesu i biegunem północnym z drugiej strony (powołanie się na regułę Lenza i prawidłowe określenie biegunowości pola indukowanego). Linia indukowanego pola magnetycznego biegnie w lewo, zatem kierunek prądu indukowanego będzie jak na powyższym rysunku.

Zasady oceniania

3 pkt - poprawne narysowanie i oznaczenie wszystkich wektorów. 2 pkt - poprawne wyznaczenie i narysowanie wektora $\Delta \vec{B}_{12}$ jako różnicy $\vec{B}_{2}-\vec{B}_{1}$

LUB

• narysowanie i oznaczenie wektora $\Delta \vec{B}_{12}$ o prawidłowym kierunku i zwrocie oraz narysowanie wektora $\vec{B}_{\text {ind }}$ o przeciwnym zwrocie do $\Delta \vec{B}_{12}$. 1 pkt - poprawne narysowanie i oznaczenie wektora $\vec{B}_{2}$ (o wartości mniejszej od $\vec{B}_{1}$ ). 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Diagram 1.

R8638QFCN6UD3

Diagram 2.

R1DKXH1T7J958

Diagram 3.

BRAK grafiki (jest tylko dolna część, brakuje górnej rysunku)

R12ZT6T8ST466

Zasady oceniania

3 pkt - poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku oraz narysowanie wektora indukcji magnetycznej $\vec{B}_{2}$ w punkcie $P_{2}$ o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości równej 2 umowne jednostki wartości indukcji magnetycznej.

2 pkt - poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku oraz narysowanie wektora indukcji magnetycznej $\vec{B}_{2}$ w punkcie $P_{2}$ o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości mniejszej od 8 umownych jednostek wartości indukcji magnetycznej (ale różnej od poprawnej wartości 2 jednostek) LUB

• narysowanie wektora indukcji magnetycznej $\vec{B}_{2}$ w punkcie $P_{2}$ o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości równej 2 umowne jednostki wartości indukcji magnetycznej.

1 pkt - poprawne oznaczenie, w którą stronę płynie prąd w przewodniku LUB

• narysowanie wektora indukcji magnetycznej $\vec{B}_{2}$ w punkcie $P_{2}$ o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i wartości mniejszej od 8 umownych jednostek wartości indukcji magnetycznej (ale różnej od poprawnej wartości 2 jednostek).

0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

Pełne rozwiązanie

R1Q9XFRA98R5Q

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne narysowanie strzałki $\overrightarrow{A B}$ (od $A$ do $B$ ) oznaczającej, w którą stronę płynie prąd w chwili $t=0 \mathrm{~s}$ oraz poprawne oznaczenie biegunowości ( +X oraz -Y ) źródła napięcia obwodu zewnętrznego w chwili $t=0 \mathrm{~s}$.

1 pkt - poprawne narysowanie strzałki $\overrightarrow{A B}$ (od $A$ do $B$ ) oznaczającej, w którą stronę płynie prąd w chwili $t=0 \mathrm{~s}$ LUB

• niepoprawne narysowanie strzałki $\overrightarrow{B A}$ (od $B$ do $A$ ) oznaczającej, w którą stronę płynie prąd w chwili $t=0 \mathrm{~s}$ oraz konsekwentne z tym zwrotem strzałki oznaczenie biegunowości ( - X oraz + Y) źródła napięcia obwodu zewnętrznego w chwili $t=0 \mathrm{~s}$.

0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

Pełne rozwiązanie

Rysunek 1. (schemat obwodu)

RFNNO9VB7Q94E

Rysunek 2. (ramka prądnicy w chwili $t=0 \mathrm{~s}$ )

RP2LMHH5VRSLM

R3EEX1PEE5Q8F

Zasady oceniania

4 pkt - poprawne ustalenie trzech wielkości: $I_{\max }$ oraz $T$, oraz $I(t=0)$, oraz prawidłowe narysowanie wykresu - o kształcie sinusoidy - zależności natężenia prądu od czasu.

3 pkt - poprawne ustalenie trzech wielkości: $I_{\text {max }}$ oraz $T$, oraz $I(t=0)$ :

$I_{\max } \approx 3,4 \mathrm{~A}, T=0,02 \mathrm{~s}, I(t=0)=I_{\max }$

LUB

• poprawne ustalenie okresu oraz poprawne ustalenie $I_{\text {max }}$ albo $I(t=0)$, oraz konsekwentne z tym (tzn. z błędnym $I_{\text {max }}$ albo błędnym $I(t=0)$ ) narysowanie wykresu - o kształcie sinusoidy - zależności natężenia prądu od czasu.

2 pkt - poprawne ustalenie dwóch wielkości spośród: $I_{\text {max }}, T, I(t=0)$

LUB

• poprawne ustalenie okresu oraz błędne ustalenie $I_{\text {max }} \mathrm{i} I(t=0)$, oraz konsekwentne z tym narysowanie wykresu zależności natężenia prądu od czasu.

1 pkt - poprawne ustalenie jednej wielkości: $I_{\max }$ albo $T$ albo $I(t=0)$. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga dodatkowa

Ustalenie fazy początkowej jest równoważne ustaleniu napięcia lub natężenia prądu w chwili $t=0 \mathrm{~s}$, np. poniższe zapisy są równoważne:

$\phi_{0}=\frac{\pi}{2} \quad \text { lub } \quad I(t=0)=I_{\max } \quad \text { lub } \quad U(t=0)=U_{\max }$

Przykładowe pełne rozwiązanie

Ustalimy wielkości dotyczące prądu zmiennego przepływającego przez opornik $R$ :

• Obliczymy amplitudę $I_{\text {max }}$ natężenia prądu. W tym celu najpierw obliczymy amplitudę napięcia:

$U_{\max }=\sqrt{2} U_{s k} \quad \rightarrow \quad U_{\max }=\sqrt{2} \cdot 24 \mathrm{~V} \approx 33,9 \mathrm{~V}$

zatem

$I_{\max }=\frac{U_{\max }}{R} \quad \rightarrow \quad I_{\max } \approx \frac{33,9 \mathrm{~V}}{10 \Omega} \approx 3,4 \mathrm{~A}$

• Obliczymy okres $T$ zmian natężenia prądu:

$\omega=\frac{2 \pi}{T} \quad \rightarrow \quad T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi \mathrm{rad}}{100 \pi \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}}}=0,02 \mathrm{~s}$

• Określimy natężenie prądu w chwili $t=0$ (równoważnie - fazę początkową):

$I(t=0)=I_{\max }$

Narysujemy wykres zależności natężenia prądu od czasu.

RCMJZUBHGV264

Poniżej przedstawiamy dodatkowy komentarz dotyczący sposobu ustalenia natężenia prądu w chwili $t=0 \mathrm{~s}$ (równoważnie - ustalenia fazy początkowej).

Sposób 1.

Rozważamy ruch boku AB ramki w polu magnetycznym. Napięcie indukowane na boku AB zależy od składowej prędkości prostopadłej do linii pola magnetycznego $\vec{B}$. W sytuacji zilustrowanej na rysunku 2 . (w chwili $t=0 \mathrm{~s}$ ) wektor prędkości jest prostopadły do linii pola magnetycznego (wartość składowej prędkości prostopadłej do pola jest największa). Zatem napięcie indukowane na boku ramki jest wtedy największe. Z tego wynika też, że:

$U(t=0)=U_{\max } \quad \rightarrow \quad I(t=0)=I_{\max }$

Sposób 2.

Rozważamy ruch ładunku elektrycznego $q$ w polu magnetycznym - ładunku wyodrębnionego w boku AB ramki. Siła Lorentza działająca na ten ładunek zależy od składowej prędkości prostopadłej do linii pola magnetycznego $\vec{B}$. W sytuacji zilustrowanej na rysunku 2. (w chwili $t=0$ ) wektor prędkości jest prostopadły do linii pola magnetycznego. Zatem siła Lorentza działająca na ładunek będzie wtedy największa. Z tego wynika, że:

$I(t=0)=I_{\max }$

Sposób 3.

Przeanalizujemy wzór na siłę elektromotoryczną prądnicy:

$U_{i n d}=U_{\max } \sin \angle(\vec{S}, \vec{B}) \quad \text { gdzie } \quad \angle(\vec{S}, \vec{B})=\omega t+\phi_{0}$

( $\vec{S}$ oznacza wektor prostopadły do powierzchni ramki). Z rysunku 2 . wynika, że w chwili $t=0$ mamy:

$\angle(\vec{S}, \vec{B})=\phi_{0}=90^{\circ}$

Zatem:

$U_{i n d}(t=0)=U(t=0)=U_{\max } \sin \left(\omega \cdot 0+90^{\circ}\right)=U_{\max }$

Z tego (oraz z założenia o pominięciu indukcyjności obwodu) wynika, że:

$I(t=0)=I_{\max }$

Sposób 4.

Zastosujemy prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya. Siła elektromotoryczna indukcji (napięcie indukowane) w obwodzie zamkniętym jest równa co do wartości bezwzględnej szybkości zmiany strumienia pola magnetycznego przez powierzchnię obwodu (ramki):

$\left|U_{i n d}\right|=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta(B S \cos \alpha)}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{B \Delta S_{\perp}}{\Delta t}$

Pole magnetyczne jest stałe, zatem szybkość zmiany strumienia będzie proporcjonalna do szybkości zmiany pola powierzchni (ramki), w płaszczyźnie prostopadłei do pola magnetycznego, które to pole przenika tę powierzchnię.

Rozważmy obrót ramki widzianej z boku (wierzchołki oznaczone w nawiasach są w głębi), gdy ramka przechodzi przez położenie równoległe do linii pola (rysunek 1.) oraz w sytuacji, gdy ramka przechodzi przez położenie prostopadłe do linii pola (rysunek 2.).

W każdej z tych sytuacji na rysunkach 1.-2. pokazano ustawienie ramki w pewnej chwili i po upływie krótkiego - ustalonego dla obu sytuacji - czasu $\Delta t$. Ponadto pionowym zielonym odcinkiem zaznaczono $\Delta S_{\perp}$ - zmianę powierzchni (ramki) w płaszczyźnie prostopadłej do pola magnetycznego, które przenika powierzchnię ramki, w czasie $\Delta t$.

R19K4S4X36LM1

Rysunek 1.

RON7J45NTJAR9

Rysunek 2.

Widzimy, że największa $\triangle S_{\perp}$ - zmiana (w czasie $\Delta t$ ) pola powierzchni (ramki) w płaszczyźnie prostopadłej do linii pola magnetycznego, które przenika ramkę - jest w sytuacji na rysunku 1. (porównaj zielone odcinki - na rysunku 2. jest on bardzo krótki).

W sytuacji na rysunku 2 ., zmiana ta jest bliska zero (gdy $\Delta t$ dąży do zera, to zmiana jest równa zero).

Z powyższej geometrycznej analizy prawa Faradaya wynika, że $U_{\text {ind }}$ jest maksymalne w chwili, gdy ramka przechodzi przez położenie równoległe do linii pola magnetycznego w zadaniu jest to m.in. chwila $t=0 \mathrm{~s}$. Zatem:

$I(t=0)=I_{\max }$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia napięcia skutecznego po zmianie prędkości kątowej ramki oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: $\widetilde{U}_{s k}=28,8 \mathrm{~V}$

1 pkt - zapisanie wzoru na amplitudę siły elektromotorycznej prądnicy w dwóch przypadkach: przed i po zmianie prędkości kątowej, np. zapisy równoważne poniższym:

$U_{\max }=N B S \omega \quad \text { oraz } \quad \widetilde{U}_{\max }=N B S \widetilde{\omega}$

LUB

• zapisanie odpowiedniego równania, wynikającego z proporcjonalności amplitudy napięcia do prędkości kątowej obrotu ramki prądnicy, zawierającego napięcia oraz prędkości kątowe przed i po zmianie, np. zapisy równoważne poniższym:

$\frac{\widetilde{U}_{\max }}{U_{\max }}=\frac{\widetilde{\omega}}{\omega} \quad \text { albo } \quad \frac{\widetilde{U}_{s k}}{U_{s k}}=\frac{\widetilde{\omega}}{\omega}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Wykorzystamy wzór na amplitudę siły elektromotorycznej (napięcia) prądnicy:

$U_{\max }=N B S \omega$

Zgodnie z powyższym wzorem, amplituda napięcia po zmianie prędkości kątowej wynosi:

$\widetilde{U}_{\max }=N B S \widetilde{\omega}$

Zatem:

$\frac{\widetilde{U}_{\max }}{U_{\max }}=\frac{\widetilde{\omega}}{\omega} \quad \rightarrow \quad \frac{\widetilde{U}_{s k}}{U_{s k}}=\frac{\widetilde{\omega}}{\omega} \quad \rightarrow \quad \widetilde{U}_{s k}=\frac{120 \pi \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}}}{100 \pi \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{~s}}} \cdot 24 \mathrm{~V}=28,8 \mathrm{~V}$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach.

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P F F

Zasady oceniania

2 pkt - powołanie się na własność siły działającej na proton oraz powołanie się na zasady dynamiki, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

(1) Siła Lorentza działająca na cząstkę naładowaną, poruszającą się w polu magnetycznym, jest zawsze prostopadła do prędkości tej cząstki.

(2) Zgodnie z II zasadą dynamiki, siła, która jest prostopadła do prędkości nie zmienia wartości tej prędkości.

albo

(1) Siła Lorentza działająca na cząstkę naładowaną, poruszającą się w polu magnetycznym, jest zawsze prostopadła do prędkości tej cząstki.

(2) Zgodnie z II zasadą dynamiki wartość prędkości się nie zmienia, ponieważ składowa siły w kierunku prędkości jest równa zero.

LUB

• powołanie się na własność siły działającej na proton oraz powołanie się na twierdzenie o pracy i zmianie energii kinetycznej, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

(1) Siła Lorentza działająca na cząstkę naładowaną, poruszającą się w polu magnetycznym jest zawsze prostopadła do prędkości tej cząstki.

(2) Praca siły prostopadłej do prędkości jest równa zero, zatem zmiana energii kinetycznej jest równa zero.

LUB

• poprawne wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości protonu na jednym z półokręgów oraz powołanie się na warunki zadania, że wartość indukcji pola magnetycznego na danym półokręgu jest stała, np. zapisy równoważne poniższym:

$\frac{m v_{A F}^{2}}{r_{A F}}=q v_{A F} B_{A F} \quad \rightarrow \quad v=\frac{q B_{A F} r_{A F}}{m}$

Ponieważ $B_{A F}$ jest stałe na półokręgu AF, to v $v_{A F}$ też jest stała, co wynika ze wzoru. Podobnie na każdym innym półokręgu.

1 pkt - powołanie się na własność siły działającej na proton: zapisanie, że siła Lorentza działająca na cząstkę naładowaną, poruszającą się w polu magnetycznym jest zawsze prostopadła do prędkości tej cząstki LUB

• zapisanie, że siła Lorentza działająca na proton pełni rolę siły dośrodkowej (słownie lub za pomocą wzoru, i brak wnioskowania o tym, co z tego wynika) LUB

• stwierdzenie, że siła Lorentza / pole magnetyczne nie wykonuje pracy (i brak powołania się na związek pomiędzy pracą i zmianą energii kinetycznej).

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga dodatkowa

Jeżeli zdający nie powoła się na warunki zadania, tylko stałą wartość pola będzie wykazywał na podstawie błędnego w tym przypadku wzoru (np. $B=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi r}$ ), to może otrzymać co najwyżej 1 pkt.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

(1) Siła Lorentza działająca na cząstkę naładowaną, poruszającą się w polu magnetycznym jest zawsze prostopadła do prędkości tej cząstki. (2) Zgodnie z II zasadą dynamiki siła, która jest prostopadła do prędkości, nie zmienia tej prędkości w kierunku stycznym do toru (rzut siły na kierunek styczny do toru w danym punkcie jest równy zero - siła prostopadła do prędkości nie ma składowej w kierunku prędkości).

Sposób 2.

(1) Siła Lorentza działająca na cząstkę naładowaną, poruszającą się w polu magnetycznym, jest zawsze prostopadła do prędkości tej cząstki. (2) Zgodnie $z$ definicją pracy praca siły prostopadłej do prędkości jest równa zero. Z drugiej strony, praca siły wypadkowej działającej na ciało jest równa zmianie energii kinetycznej tego ciała. Zatem, skoro praca siły Lorentza działającej na cząstkę jest równa zero, to i zmiana energii kinetycznej cząstki jest równa zero. To oznacza, że wartość prędkości cząstki jest stała.

Sposób 3.

$W_{F_{L}}=0 \text { oraz } \quad W_{F_{w y p}}=\Delta E_{k i n} \rightarrow \Delta E_{k i n}=0 \text { czyli } \quad E_{k i n}=\text { const }$

Sposób 4.

Siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej na każdym $i$-tym półokręgu:

$\frac{m v_{i}^{2}}{r_{i}}=q v_{i} B_{i} \quad \rightarrow \quad v=\frac{q B_{i} r_{i}}{m}$

Ponieważ na każdym z półokręgów wartość indukcji pola magnetycznego jest stała i promień danego półokręgu jest stały, to iloczyn $B_{i} r_{i}$ na $i$-tym półokręgu też jest stały. Zatem

$v_{i}=\frac{q B_{i} r_{i}}{m}=\mathrm{const}$

Zadanie 7.3. (0‑3)

Oblicz wartość ${B}_{{C D}}$ wektora indukcji pola magnetycznego działającego na proton, gdy poruszał się on po półokręgu CD. Zapisz obliczenia.

Wskazówka: Wartość prędkości protonu poruszającego się po torze AFBECD była stała.

R1PCU6PMXR36B

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości wektora indukcji magnetycznej podczas ruchu protonu po półokręgu $C D$ oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką. 2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia prędkości w funkcji $B$ i $r$ oraz zapisanie równości wynikającej z przyrównania wartości prędkości protonu podczas ruchu po półokręgach $A F$ i $C D$, np. zapisy (lub zapisy równoważne)

$\begin{array}{lll} \frac{m v^{2}}{r_{A F}}=q v B_{A F}\rightarrowv=\frac{q B_{A F} r_{A F}}{m}=\frac{q B_{C D} r_{C D}}{m}$ $\text { albo }&$ $\frac{m v^{2}}{r_{A F}}=q v B_{A F}\rightarrowB_{A F} r_{A F}=B_{C D} r_{C D} \end{array}$

1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę Lorentza jako siłę dośrodkową oraz uwzględnienie wzorów na te siły, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\frac{m v^{2}}{r}=q v B$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Zapiszemy równanie wynikające z faktu, że siła Lorentza pełni rolę siły dośrodkowej, następnie wyznaczymy prędkość ruchu protonu:

1. $\frac{m v^{2}}{r}=q v B$

2. $v=\frac{q B r}{m}$

Wykorzystamy fakt, że wartość prędkości protonu się nie zmienia. To oznacza, że wartość prędkości protonu podczas ruchu po półokręgu $A F$ jest równa wartości prędkości protonu podczas ruchu po półokręgu $C D$. Zatem na mocy równania 2 ) mamy:

3. $\frac{q B_{A F} r_{A F}}{m}=\frac{q B_{C D} r_{C D}}{m}$

4. $B_{A F} r_{A F}=B_{C D} r_{C D}$

Na podstawie danych (z rysunku i treści) obliczamy promienie półokręgów: 5) $r_{A F}=\frac{3}{4}|A D|=\frac{3}{4} \mathrm{~m} \quad r_{C D}=\frac{1}{4}|A D|=\frac{1}{4} \mathrm{~m}$

Obliczone w 5) promienie oraz dane z treści zadania podstawimy do równania 4): 6) $0,2 \mathrm{~T} \cdot \frac{3}{4} \mathrm{~m}=B_{C D} \cdot \frac{1}{4} \mathrm{~m} \quad \rightarrow \quad B_{C D}=0,6 \mathrm{~T}$

Zasady oceniania

2 pkt - prawidłowe zaznaczenie na obu rysunkach kierunku przepływu prądu przez amperomierz oraz prawidłowe wpisanie na obu rysunkach biegunów powstających na końcach rdzenia.

1 pkt - prawidłowe wpisanie na obu rysunkach biegunów magnetycznych powstających na końcach rdzenia

LUB

• prawidłowe zaznaczenie na obu rysunkach kierunku przepływu prądu przez amperomierz.

0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

Pełne rozwiązanie

R1MJ9CB6NV85F

Rysunek 1.

RBJGUPOJBVGUU

Rysunek 2.