To ciekawe

Zwierciadła spotykamy niemalże na każdym kroku, czasem są one płaskie, czasem zaś kuliste wklęsłe lub wypukłe. Od antycznych czasów stanowią nieodzowny element życia codziennego, a także potężną broń ludzkości. Najsłynniejsze, starożytne zwierciadło zaprojektowane zostało w Syrakuzach przez Archimedesa. To właśnie ono pozwoliło pokonać rzymską flotę atakującą miasto. Sześciokątne lustro otoczone mniejszymi, parabolicznymi zwierciadłami skupiło promienie słoneczne na kadłubach statków oblężniczych i doprowadziło do ich spalenia.

R1Uq2HKH2Eu0G

Rys. a. Ilustracja przedstawia rzymskie okręty, szturmujące trudne do zdobycia miasto. Kapitanowie zagrzewali załogę do szturmu, nie zwracali uwagi na dziwne machiny pojawiające się na murach miasta, a były to… zwierciadła. Po lewej stronie obrazu obrońcy murów operują dużym zwierciadłem, z którego biegnie łuna światła w kierunku morza, na dalszym planie widoczne morze z łodziami i zachmurzone nad nimi niebo. Kilku uzbrojonych Rzymian wbiega po schodach na mury miasta, u podnóża schodów stoi armata.

Pierwsze zwierciadła były po prostu metalowymi powierzchniami. Dopiero w kolejnych wiekach metal zastąpiono szkłem pokrytym odbijającą warstwą. Jednak, niezależnie od budulca, od samego początku uważano je za niezwykle ważne i potrzebne. Bogato zdobione egzemplarze stanowiły kunsztowne prezenty, a także istotne elementy skarbców i inwentarzy. Zwierciadła po dziś dzień stanowią podstawę codziennego funkcjonowania, z tego względu warto wiedzieć, jak działają. Czy zastanawiałeś się jednak, w jaki sposób obraz powstający w zwierciadle jest powiązany z przedmiotem i od czego zależy ich położenie względem zwierciadła? O tym w niniejszym materiale.

RVwW20c2Hfhq9

Rys. 1. Na ilustracji przedstawiono kuliste zwierciadło wklęsłe, schematycznie narysowane w postaci czarnego symetrycznego łuku po prawej stronie ilustracji. Wklęsła część zwierciadła skierowana jest w lewą stronę. Przez wierzchołek zwierciadła przechodzi oś optyczna widoczna w postaci czarnej, przerywanej poziomej linii. Oś dzieli zwierciadło na dwie równe części, górną i dolną. Po lewej stronie zwierciadła widoczne są punkty znajdujące się na osi optycznej, oznaczone wielkimi literami: F oznaczający ognisko zwierciadła i O stanowiący środek zwierciadła i oddalony od zwierciadła dwa razy bardziej niż punkt wielka litera F. Po lewej stronie od środka zwierciadła oznaczonego wielką literą O widoczny jest punkt zaznaczony wielką literą B. Z tego punktu od osi optycznej narysowana jest pionowa, czerwona strzałka w górę. Symbolizuje ona przedmiot umieszczony przed wklęsłym zwierciadłem kulistym, a odległość pomiędzy punktem oznaczonym wielką literą B i zwierciadłem stanowi odległość przedmiotu od zwierciadła. Z górnego końca czerwonej strzałki, symbolizującej przedmiot, wychodzą dwa promienie świetlne w postaci czerwonych linii. Linie te biegną w kierunku zwierciadła. Jedna z nich jest pozioma i równoległa względem osi optycznej zwierciadła. Po odbiciu się od wewnętrznej, wklęsłej części zwierciadła linia ta przechodzi przez ognisko oznaczone wielką literą F. Drugi z promieni świetlnych, wychodzący z górnego wierzchołka strzałki, oznaczającej przedmiot umieszczony przed zwierciadłem, skierowany jest ukośnie w dół i w lewą stronę. Promień ten przechodzi przez ognisko zwierciadła, a następnie odbija się od wewnętrznej powierzchni zwierciadła w lewą stronę i biegnie poziomo równolegle do osi optycznej. Dwa odbite promienie przecinają się poniżej osi optycznej zwierciadła w punkcie oznaczonym wielką literą A prim. Pomiędzy punktem przecięcia się promieni odbitych od zwierciadła a osią optyczną narysowana jest czerwona strzałka skierowana pionowo w dół, symbolizująca obraz przedmiotu powstały po odbiciu promieni od zwierciadła. Punkt na osi optycznej stanowiący początek tej strzałki oznaczony jest wielką literą B prim. Punkt wielkie B pim znajduje się pomiędzy położeniem ogniska zwierciadła i jego środkiem. Z każdego punktu widocznego na osi optycznej poprowadzona jest pionowa, przerywana czarna linia w dół. Pomiędzy liniami zaznaczone są odległości obrazujące odległość pomiędzy punktem zwierciadła, w którym przecina sią ono z osią optyczną a pozostałymi punktami. Odległość pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła i jego ogniskiem wielkie F oznaczona jest małą literą f, która jest ogniskową zwierciadła. Pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła i środkiem zwierciadła wielkie O widoczna jest odległość małe r, będąca promieniem krzywizny zwierciadła. Odległość pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła i punktem wielkie B oznaczającym położenie przedmiotu przed zwierciadłem zaznaczona jest jako małe x. Dystans pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła i punktem wielkie B prim, symbolizującym odległość obrazu, zaznaczony jest małą literą y.

Na Rys. 1. przedstawiono schemat zwierciadła kulistego wklęsłego oraz charakteryzujących go wielkości. Każde zwierciadło charakteryzuje promień krzywizny r. Dokładnie w jego połowie znajduje się ognisko zwierciadłaognisko zwierciadłaognisko zwierciadła (stanowiące geometryczny punkt przecięcia się wszystkich promieni przyosiowych odbitych od jego powierzchni, które padały równolegle do osi optycznej). Odległość ogniskaogniskowaogniska od powierzchni zwierciadła nazywa się odległością ogniskową i oznacza literą f:

gdzie

f – odległość ogniskowaogniskowaogniskowa[m],

r – promień krzywizny zwierciadła [m].

Ważnymi przy omawianiu niniejszego tematu wielkościami będą także:

– odległość przedmiotu od zwierciadła oznaczana zwyczajowo literą x,

– odległość obrazu od zwierciadła oznaczana jako y.

Spróbujmy znaleźć zależność pomiędzy f, x i y. Przyjrzyjmy się konstrukcji obrazu dla położenia x > 2f (Rys. 2.). Oznaczmy wierzchołek zwierciadła jako W.

Riiu0wMucaXVZ

Rys. 2. Na ilustracji przedstawiono kuliste zwierciadło wklęsłe, schematycznie narysowane w postaci czarnego symetrycznego łuku po prawej stronie ilustracji. Wklęsła część zwierciadła skierowana jest w lewą stronę. Przez wierzchołek zwierciadła przechodzi oś optyczna w postaci czarnej, przerywanej poziomej linii. Oś dzieli zwierciadło na dwie równe części, górną i dolną. Po lewej stronie zwierciadła, na osi optycznej, widoczny jest punkt opisany wielką literą F, który oznacza ognisko zwierciadła. Odległość tego punktu od zwierciadła oznaczona jest małą literą f i widoczna pod rysunkiem w postaci czarnej przerywanej linii. Po lewej stronie od ogniska zwierciadła widać punkt wielka litera O, który stanowi środek zwierciadła i jest oddalony od zwierciadła dwa razy bardziej niż punkt wielka litera F. Odległość tego punktu od zwierciadła także oznaczono pod rysunkiem czarną przerywaną linią i oznaczona, jako mała litera r równa dwa razy mała litera f. Po lewej stronie od środka zwierciadła oznaczonego wielką literą O widoczny jest punkt zaznaczony wielką literą B. Jest on oddalony od zwierciadła o mała litera x, co stanowi oznaczenie odległości przedmiotu od zwierciadła. Z tego punktu na osi optycznej narysowana jest czarna strzałka skierowana w górę, która symbolizuje przedmiot umieszczony przed zwierciadłem. Z grotu strzałki oznaczonego wielką literą A wychodzi czarna, skierowana do zwierciadła linia, oznaczona jako jeden, która trafia na punkt przecięcia zwierciadła i osi optycznej. Symbolizuje ona promień światła padający na zwierciadło z punktu wielka litera A. Kąt pomiędzy osią optyczną i czarnym promieniem opisano małą grecką literą alfa. Promień ten odbija się od zwierciadła pod takim samym kątem, pod jakim pada. Wynika to z prawa odbicia. Odbity promień narysowano w postaci czerwonej linii skierowanej od zwierciadła. Z grotu czarnej strzałki wychodzi jeszcze jeden czarny promień oznaczony jako dwa, skierowany pod skosem w dół i przechodzący przez punkt wielka litera O, który jest środkiem zwierciadła. Promień dwa pada na zakrzywioną dolną część zwierciadła pod kątem prostym i odbija się od niego, wracając tym samym torem. Punkt przecięcia się promieni odbitych jeden i dwa oznaczono jako wielka litera A prim. Od osi optycznej do punktu wielka litera A prim poprowadzono czerwoną strzałkę, której grot kończy się w punkcie wielka litera A prim. Strzałka ta symbolizuje obraz przedmiotu powstały po odbiciu od zwierciadła. Punkt na osi optycznej, z którego wychodzi czerwona strzałka oznaczona wielką literą B prim. Czerwoną przerywaną linią pod osią optyczną oznaczono odległość pomiędzy zwierciadłem a punktem wielka litera B prim, jako mała litera y.

Możemy zauważyć dwie pary trójkątów podobnych: 

Z podobieństwa $\mathrm{\Delta }AWB\sim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }W{B}^{\prime }\mathrm{}\mathrm{}{}^{}{}^{}$ wynika, że:

Z podobieństwa $\mathrm{}\mathrm{}{}^{}{}^{}\mathrm{\Delta }AOB\sim \mathrm{\Delta }{A}^{\prime }O{B}^{\prime }$ można zapisać:

Porównując oba powyższe wyrażenia otrzymujemy zależność:

Po wykonaniu przekształceń matematycznych mamy:

Dzieląc ostatnie wyrażenie przez 2fxy uzyskujemy wyrażenie:

Otrzymana zależność wiąże trzy ważne wielkości: ogniskową zwierciadłaognisko zwierciadłaogniskową zwierciadła, odległość przedmiotu x i odległość obrazu y. Zastanówmy się, w jaki sposób opisać zależność y od x. Przekształcając ostatnie równanie mamy:

czyli:

RTxuYy0Dg3JRJ

Rys. 3. Na ilustracji narysowano czarnymi strzałkami układ współrzędnych. Oś pionowa skierowana do góry oznaczona jest jako mała litera y, a oś pozioma skierowana w prawo oznaczona jest małą literą x. Punkt przecięcia osi oznaczono jako zero. W częściach dodatnich obu osi zaznaczono położenie mała litera f, co oznacza długość ogniskowej zwierciadła oraz dwa razy mała litera f, które oznacza środek zwierciadła znajdujący się w odległości dwa razy większej niż wynosi długość ogniskowej. Przez te punkty poprowadzono czarne, przerywane linie równoległe do osi układu współrzędnych. W układzie narysowana jest także funkcja jeden przez mała litera x, która jest przesunięta. Funkcje te zbliżają się asymptotycznie do przerywanych linii, którymi oznaczono na wykresie odległość pomiędzy środkiem układu współrzędnych a ogniskiem zwierciadła mała litera f.

Na Rys. 3. przedstawiona została zależność y(x). Przyjrzyjmy się tutaj sytuacjom skrajnym. W przypadku:

- obszaru x < 0, nie odpowiada on usytuowaniu żadnego rzeczywistego źródła światła – mamy wówczas do czynienia z tak zwanym przedmiotem pozornym (wypada za zwierciadłem), co jest bardzo rzadką sytuacją,

- punktu x = 0, warto zauważyć, że trudno jest ustawić przedmiot dokładnie „na powierzchni zwierciadła”,

- punktu x = f – usytuowanie przedmiotu jest możliwe, jednak obraz nie powstaje.

Z wykresu można również wywnioskować, że dla:

• x ∈ (0, f) → y ∈ (-∞,0) – powstaje obraz pozorny i powiększony,

• x ∈ (f, +∞) → y ∈ (f, +∞) – powstaje obraz rzeczywisty.

Ten rzeczywisty obraz może być

• powiększony, gdy x ∈ (f, 2f ). Zwróćmy uwagę, że wtedy wyrażenie opisujące położenie obrazu y przyjmuje zawsze wartość większą od 2f. Na przykład dla $x=1,5·f$ otrzymujemy:

• dla x > 2f – obraz jest zmniejszony.

Stosunek $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{\mathrm{\text{AB}}}$ liniowych rozmiarów obrazu ($A^{\prime }{B}^{\prime }=h_o$) i przedmiotu ($AB=h_p$) oznaczmy literą p i nazwijmy powiększeniem liniowym:

Korzystając z Rys. 2. możemy zauważyć, że z podobieństwa trójkątów, o którym była mowa wcześniej, wynika, że stosunek wysokości obrazu do wysokości przedmiotu jest równy stosunkowi odległości obrazu do odległości przedmiotu od zwierciadła:

We worze tym zapisujemy powiększenie jako wartość bezwzględną ilorazu y i x, gdyż wielkości te mogą przyjmować wartości ujemne. Stosunek dwóch wysokości hIndeks dolny o_o i hIndeks dolny p_p nie może być zaś mniejszy od zera.