To ciekawe

Gdy wprawimy w drganie strunę gitarową i obejrzymy jej ruch w spowolnionym tempie zauważymy, że fala rozprzestrzeniająca się w niej ma ciekawą własność – punkty, w których wychylenie struny jest maksymalne, oraz punkty, w których to wychylenie jest zerowe nie przemieszczają się. Falę, która przejawia takie własności nazywamy falą stojącą.

Warto przeczytać

Fale biegnące i fale stojące

Wyróżniamy dwa rodzaje fal harmonicznych, które mogą istnieć w ośrodku „jednowymiarowym”, jak sznur od bielizny czy wąż gumowy. W falach biegnących miejsca zerowe i miejsca maksymalnego wychylenia przesuwają się ruchem jednostajnym z określoną prędkością fali $v$. Na Rys. 1. poziomymi strzałkami zaznaczone zostały przesunięcia maksimum fali dla wybranych czasów. Każdy z punktów ośrodka wykonuje drgania harmoniczne o tym samym okresie $T$, czyli tej samej częstotliwości $f=1/T$. W czasie równym jednemu okresowi drgań $T$ fala przesuwa się o długość fali $\lambda$.

R1dWGXO8kMlui

Rys. 1. Rysunek przedstawia pięć wykresów położonych jeden pod drugim pokazujących sinusoidalną falę biegnącą w pięciu chwilach czasu w odstępach co jedną czwartą okresu. Po kolei od góry wykresy wyglądają tak: dla chwili początkowej t=0 na wykresie narysowana jest kosinusoida. Maksymalne wychylenie oznaczone jest punkami A i B na górze nad osią poziomą i C na dole. Punkt A ma współrzędną x=0 i jest maksymalnie wychylony w kierunku dodatnich wartości osi y. Dla chwili t=1/4T kosinusoida przesunięta jest o 90 stopni względem pierwszego wykresu. To przesunięcie zaznaczone jest strzałką poprowadzoną od zera do punktu maksymalnego wychylenia - strzałka pokazuje, gdzie znalazło się maksimum po 1/4T. Jednocześnie punkt drgający o współrzędnej x=0 znalazł się w zerze. Dla chwili t=2/4T kosinusoida przesunęła się o 180 stopni, czyli punkt A, który był na poprzednim wykresie w zerze, teraz wychylił się maksymalnie w dół w kierunku ujemnych wartości osi y. Teraz maksimum przesunęło się o połowę długości fali. Kolejny wykres zrobiony jest dla chwili t=3/4 T. Punkt o współrzędnej x=0 ma wychylenie równe zeru a przesunięcie maksymalne jest przemieszczone o trzy czwarte długości fali, co jest zaznaczone strzałką o takiej właśnie długości. Ostatni wykres dla t =T jest identyczny z pierwszym. Punkt o współrzędnej x=0 znów jest maksymalnie wychylony ku górze. Od niego do najbliższego maksimum zaznaczona jest odległość strzałką, której długość jest równa długości fali.

R6RJByn0BPG4v

Rys. 2. Rysunek przedstawia pięć wykresów położonych jeden pod drugim pokazujących sinusoidalną falę stojącą w pięciu chwilach czasu w odstępach co jedna ósma okresu. Na osi poziomej odłożona jest odległość wzdłuż odcinka, gdzie zamknięta jest fala stojąca. Na niej zaznaczone są literami wielkie W punkty w ośrodku, które nie drgają i nazywają się węzłami i punkty, które drgają z maksymalną amplitudą, które nazywa się strzałkami. Zaznaczone są wielką literą S. W narysowanym ośrodku - może to być linka, gumka, sznur są 3 strzałki i 4 węzły. Na rysunku zaznaczona jest również długość fali lambda.

Fala stojąca się nie przesuwa (Rys. 2.). Jej miejsca zerowe, zwane węzłami, są nieruchome (litera W na Rys. 2.). Wszystkie pozostałe elementy ośrodka wykonują drgania harmoniczne z tą samą częstotliwością $f$. Amplituda tych drgań jest największa w środku pomiędzy dwoma sąsiednimi węzłamiwęzełwęzłami. Taki punkt nazywamy strzałką fali stojącej (litera S na Rys. 2.).

Zarówno dla fal biegnących, jak i dla fal stojącychfala stojącafal stojących:

• dla ustalonej chwili $t$ mamy do czynienia z sinusoidalną zależnością wychylenia od położenia $x$;

• dla ustalonego położenia $x$ mamy do czynienia z sinusoidalną zależnością wychylenia od czasu $t$.

Fala stojąca jako wynik interferencji dwóch fal biegnących

Formalnie falę stojącąfala stojącafalę stojącą można potraktować jako wynik interferencji (nałożenia się) dwóch fal biegnących o tych samych częstotliwościach $f$, takich samych długościach fali $\lambda$ i takich samych amplitudach $A$, ale poruszających się wzdłuż sznura z przeciwnymi zwrotami (Rys. 3.). Rozpatrzmy dwie fazy takiego ruchu.

1. Rys. 3a. odpowiada chwili, w której obie fale niebieskie – i biegnąca w prawo i biegnąca w lewo – wyglądają tak samo. Ich maksima, minima i miejsca zerowe pokrywają się. Ich złożeniem jest sinusoida czerwona o amplitudzie dwa razy większej niż amplitudy fal składowych. Miejsca zerowe fali wypadkowej znajdują się oczywiście w tych samych punktach, co miejsca zerowe fal składowych.

2. Rys. 3b. odpowiada chwili nieco późniejszej. Fala górna przesunęła się w prawo o odcinek o długości $d$; na rysunku jest to $\lambda$/8. Fala dolna przesunęła się w lewo także o $d$.

3. Widać, że w punkcie oznaczonym literą W pierwszej z nich odpowiadałoby przesunięcie elementu ośrodka do góry, oznaczone niebieską strzałką. Drugiej odpowiadałoby przesunięcie do dołu o taką samą wartość, co także zaznaczone zostało strzałką. Suma tych dwóch przyczynków jest równa zeru, więc ten punkt się nie wychyli. Taki efekt zajdzie dla dowolnej chwili czasu, zatem w punkcie W nigdy nie będzie wychylenia. Jest to więc węzełwęzełwęzeł fali stojącej.

4. W punkcie oznaczonym literą S wychylenie sumaryczne jest nadal zwrócone w górę, ale mniejsze niż na Rys. 3a. Kiedy $d$ stanie się równe $\lambda$/4 wychylenie będzie zerowe. Potem zmieni znak. Punkt S jest strzałkąstrzałkastrzałką fali stojącej.

R1K3X7akDT4Kn

Rys. 3a. Rysunek przedstawia dwie fale biegnące sinusoidalnie w przeciwnych kierunkach. Pokazują to strzałki o przeciwnych zwrotach narysowane przy sinusoidach. Fale są zgodne w fazie. Pod nimi narysowana jest fala sinusoidalna stająca. Jest ona zgodna w fazie z falami, które narysowane są wyżej oraz ma amplitudę równą sumie amplitud dwóch fal.

R1MT4HbdoYChC

Rys. 3b. Rysunek przedstawia te same fale co wyżej, ale chwilę później, gdy fale biegnące przesunęły się względem siebie o odcinek oznaczony małą literą d. Oznaczone jest to małymi strzałkami pokazującymi to przesunięcie w stosunku do poprzedniego położenia. Fala stojąca narysowana pod nimi jest również sinusoidalna, ale bardziej spłaszczona i przesunięta ku górze, czyli większa jej część jest nad osią x.

Fala stojącaFala stojącaPodsumujmy: wynikiem złożenia dwóch fal biegnących o takich samych okresach $T$ i częstotliwościach $f$, takich samych długościach fali $\lambda$ i takich samych amplitudach $A$, ale poruszających się z przeciwnymi zwrotami, jest fala stojącaFala stojącafala stojąca o długości fali równej $\lambda$ i częstotliwości równej $f$.

Doświadczenie

RaPVVGiMWClJX

Rys. 4. Rysunek przedstawia schemat układu doświadczalnego. Składa się on z dwóch głośników i mikrofonu podłączonego do oscyloskopu. Głośniki znajdują się z lewej i prawej strony rysunku. Wokół nich narysowane są grubą linią niebieskie współśrodkowe okręgi przedstawiające fale dźwiękowe o jednakowej długości fali. W środkowej części obszaru pomiędzy głośnikami, fale nakładają się, tworząc regularną strukturę. W pewnych miejscach są wzmocnienia, w pewnych wygaszenia. Pomiędzy głośnikami powstaje fala stojąca. Na rysunku zaznaczona jest połowa długości fali między dwoma sąsiednimi węzłami. W tym miejscu zaznaczone jest położenie mikrofonu, który zbiera sygnał i przekazuje go do oscyloskopu. Na rysunku oscyloskop jest narysowany symbolicznie jako prostokąt z czarnym polem obrazującym ekran i symboliczną również sinusoidą.

Interferencję podobną do opisanej wyżej można dla fal dźwiękowych uzyskać za pomocą dwóch głośników, zasilanych z tego samego generatora akustycznego (Rys. 4.). W pobliżu środka odcinka łączącego głośniki mamy do czynienia z dwiema falami, biegnącymi wzdłuż tego odcinka, ale z przeciwnymi zwrotami. Amplitudy tych fal są w tym obszarze zbliżone. Powstaje więc fala bliska fali stojącejfala stojącafali stojącej. Możemy to zbadać za pomocą mikrofonu, podłączonego do oscyloskopu. Odległość pomiędzy sąsiednimi punktami minimalnej amplitudy, czyli pomiędzy dwoma węzłamiwęzełwęzłami, jest równa połowie długości fali – jak na Rys. 2.

Słowniczek