Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach. 1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

F, F, P.

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości fali: wyprowadzenie zależności $\frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$, wyznaczenie wartości liczbowej stosunku długości fal oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką: $1900 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ lub $1800 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ (w zależności od wyniku pomiarów linijką). 1 pkt - wykorzystanie związku między $v=\lambda f$, łącznie z identyfikacją długości fali jako odległości między powierzchniami stałej fazy (falowymi) i stwierdzeniem, że częstotliwość się nie zmienia LUB

• wyprowadzenie zależności $\frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Zapiszemy iloraz wartości prędkości i wykorzystamy związek między prędkością fali a jej długością oraz częstotliwością. Kluczowy będzie fakt, że częstotliwość fali przy przejściu przez granicę ośrodków się nie zmienia:

$& \frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{f_{2} \lambda_{2}}{f_{1} \lambda_{1}} \quad f_{1}=f_{2} \rightarrow$ $& \frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$

Komentarz

Długość fali jest równa odległości pomiędzy jej powierzchniami stałej fazy (powierzchniami falowymi). Ponieważ rysunek wykonano z zachowaniem skali, to stosunki długości fal w rzeczywistości i na rysunku są (w przybliżeniu) równe. Wyniki pomiaru linijką odczytamy z dokładnością do 1 mm . Dokładniejszy wynik pomiaru długości fali na rysunku otrzymamy, gdy zmierzymy odcinki równe 5 długościom fali.

$& \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} \approx \frac{\lambda_{2 \text { rys }}}{\lambda_{1 \text { rys }}}=\frac{5 \lambda_{2 \text { rys }}}{5 \lambda_{1 \text { rys }}}$ $& 5 \lambda_{2 \text { rys }} \approx 4,7 \mathrm{~cm} \quad 5 \lambda_{1 \text { rys }} \approx 8,2 \mathrm{~cm} \rightarrow$ $& \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} \approx \frac{4,7 \mathrm{~cm}}{8,2 \mathrm{~cm}} \approx 0,573$

Obliczamy prędkość fali w ośrodku 2.:

$& \frac{v_{2}}{v_{1}}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} \approx 0,573 \rightarrow$ $& v_{2}=0,573 \cdot 3250 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 1900 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Zasady oceniania

3 pkt - poprawne wykazanie żądanej zależności: wykazanie, że stosunek sinusów i stosunek prędkości są sobie równe lub równe odpowiedniemu stosunkowi długości fal. 2 pkt - doprowadzenie do wyrażenia stosunku sinusów jako ilorazu długości fal (np. jak w krokach 1.-3.) oraz zapisanie związku $v=\lambda f$ dla prędkości fali w obu ośrodkach. LUB

• doprowadzenie do wyrażenia $\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$ (np. jak w kroku 4.) oraz zapisanie stosunku sinusów jako ilorazu odpowiednich odcinków (np. jak w kroku 1.). 1 pkt - zapisanie związków (np. jak w kroku 1. i kroku 2.) pozwalających wyrazić stosunek sinusów jako iloraz odpowiednich długości fal LUB

• zapisanie związków (np. jak w kroku 4.) pozwalających otrzymać równanie $\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Zapiszemy wzory na sinus kąta $\alpha_{1}$ oraz kąta $\alpha_{2}$ z użyciem oznaczeń na rysunku, następnie wyrazimy stosunek sinusów za pomocą ilorazu długości odpowiednich odcinków:

$& \sin \alpha_{1}=\frac{|A B|}{|A C|} \quad \sin \alpha_{2}=\frac{|C D|}{|A C|} \rightarrow$ $& \frac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=\frac{|A B|}{|C D|}$

Komentarz (krok 2.)

Długości odpowiednich odcinków wyrazimy przez długości fal w obu ośrodkach:

$|A B|=2 \lambda_{1} \quad|C D|=2 \lambda_{2}$

Komentarz (krok 3.)

Stosunek sinusów wyrazimy przez stosunek długości fal:

$\frac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=\frac{|A B|}{|C D|}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$

Komentarz (krok 4.)

Wykorzystamy związek $v=f \lambda$ oraz fakt, że częstotliwość fali w obu ośrodkach jest taka sama, do wyrażenia stosunku prędkości przez stosunek długości fal.

$& \lambda_{1}=\frac{v_{1}}{f_{1}} \quad \lambda_{2}=\frac{v_{2}}{f_{2}} \quad f_{1}=f_{2}=f \rightarrow$ $& \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\frac{\frac{v_{1}}{f}}{\frac{v_{2}}{f}}=\frac{v_{1}}{v_{2}}$

Komentarz (krok 5.)

Wykorzystamy zależności otrzymane w kroku 3. i kroku 4.:

$\frac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\frac{v_{1}}{v_{2}} \quad \text { c.b.d.o. }$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna konstrukcja punktu $P^{\prime}$ oraz ogniska $F$ LUB

• poprawna konstrukcja ogniska $F$ wykorzystująca znajomość twierdzenia, że promienie równoległe po przejściu przez soczewkę skupiają się w płaszczyźnie ogniska (podanie twierdzenia nie jest wymagane). 1 pkt - poprawna konstrukcja punktu $P^{\prime}$. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

Komentarz (krok 1. konstrukcji)

Żeby wyznaczyć ognisko soczewki, skonstruujemy najpierw obraz $P^{\prime}$ punktu $P$. W tym celu wykorzystamy bieg promienia charakterystycznego, przechodzącego przez środek soczewki.

R15DDJKK8OQS6

Komentarz (krok 2. konstrukcji)

Gdy mamy już obraz $P^{\prime}$ punktu $P$, wyznaczymy ognisko: w tym celu wykorzystamy bieg promienia charakterystycznego, równoległego do osi optycznej soczewki.

BRAK Grafiki

Sposób 2.

Komentarz

Wykorzystamy twierdzenie o biegu promieni przez soczewkę: wiązka promieni wychodzących z punktu płaszczyzny ogniska jest po przejściu przez soczewkę równoległa. Gdy zamienimy kierunek biegu promieni w tym twierdzeniu, to otrzymamy następujące: wiązka promieni równoległych (niekoniecznie do osi optycznej) padających na soczewkę skupi się w płaszczyźnie ogniska.

R19AAFRSADVF1

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda obliczenia oraz prawidłowa wartość współczynnika załamania $n_{2}$ (np. jak w krokach 1.-3.). 2 pkt - poprawne zapisanie związków między $n_{1}$ a $n_{2}$ oraz między $n_{1}$ a $n_{0}$, łącznie z prawidłową identyfikacją kątów (np. jak w krokach 1. i 2.). 1 pkt - poprawne zapisanie związków między $n_{1}$ a $n_{2}$ (warunku na kąt graniczny), łącznie z prawidłową identyfikacją kątów (np. jak w kroku 1.) LUB

• prawidłowe wyznaczenie współczynnika $n_{1}$ (np. jak w kroku 2.).

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

Komentarz (krok 1.)

Wykorzystamy informację o kącie granicznym i zapiszemy związek między współczynnikami załamania światła w rdzeniu i płaszczu oraz kątem granicznym dla przejścia rdzeń - płaszcz:

$\frac{\sin 90^{\circ}}{\sin \alpha_{g r}}=\frac{n_{1}}{n_{2}} \quad \rightarrow \quad \frac{1}{\sin 58^{\circ}}=\frac{n_{1}}{n_{2}}$

Komentarz (krok 2.)

Do wyznaczenia $n_{2}$ potrzebujemy znać $n_{1}$. Ten współczynnik wyznaczymy na podstawie danych kątów padania i załamania na powierzchni czoła światłowodu:

$& \frac{\sin \alpha_{0}}{\sin \alpha_{1}}=\frac{n_{1}}{n_{0}} \rightarrow$ $& \frac{\sin 65^{\circ}}{\sin \left(90^{\circ}-60^{\circ}\right)}=\frac{n_{1}}{1} \rightarrow$ $& n_{1}=\frac{\sin 65^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \approx 1,81$

Komentarz (krok 3.)

Łączymy zależności otrzymane w kroku 1. oraz kroku 2. i obliczamy $n_{2}$ :

$\frac{\sin 90^{\circ}}{\sin 58^{\circ}} \approx \frac{1,81}{n_{2}} \rightarrow n_{2} \approx 1,81 \cdot \sin 58^{\circ} \approx 1,53$

Sposób 2.

Komentarz

Zapiszemy na symbolach zależności opisane w kroku 1. i kroku 2. w sposobie 1. rozwiązania:

$\frac{1}{\sin \alpha_{g r}}=\frac{n_{1}}{n_{2}} \quad \frac{\sin \alpha_{0}}{\sin \left(90^{\circ}-\alpha_{2}\right)}=\frac{n_{1}}{1}$

Z powyższych dwóch równań wyznaczymy $n_{2}$ względem pozostałych wielkości, następnie podstawimy dane i obliczymy wartość tego współczynnika.

$& n_{2}=\frac{\sin \alpha_{0} \cdot \sin \alpha_{g r}}{\sin \left(90^{\circ}-\alpha_{2}\right)}$ $& n_{2}=\frac{\sin 65^{\circ} \cdot \sin 58^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \approx 1,54$

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda oszacowania $t$ oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką zaokrąglonego do dwóch cyfr znaczących. 2 pkt - poprawna metoda obliczenia $v_{s y g}$ oraz zapisanie związku między czasem a prędkością sygnału i długością światłowodu (np. jak w krokach 1.-3.). 1 pkt - zapisanie związku między czasem, prędkością sygnału a długością światłowodu oraz zapisanie związku trygonometrycznego między prędkością światła w światłowodzie a prędkością sygnału i kątem odbicia (np. jak w krokach 1. i 2.). LUB

• poprawna metoda wyznaczenia $v_{s y g}$ : zapisanie związku trygonometrycznego między prędkością światłą w światłowodzie a prędkością sygnału i kątem odbicia (np. jak w kroku 2.) oraz zapisanie zależności definiującej współczynnik $n_{1}$. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

RXUU5M86KKG8O

Komentarz

Zaznaczymy kąt, pod jakim odbija się promień światła w światłowodzie, oraz oznaczymy wektor $\vec{v}_{1}$ prędkości światła w rdzeniu $\left(n_{1}\right)$, a także wektor $\vec{v}_{s y g}$ prędkości rozchodzenia się sygnału w światłowodzie (w kierunku światłowodu).

Komentarz (krok 1.)

Zapiszemy związek między czasem a prędkością sygnału oraz długością światłowodu:

$t=\frac{s}{v_{s y g}}$

Komentarz (krok 2.)

Zapiszemy związek między $v_{1}$ a $v_{s y g}$ :

$v_{s y g}=v_{1} \cos 30^{\circ}$

Komentarz (krok 3.)

Zapiszemy związek między $n_{1}$ a $v_{1}$ i $c$ (definiujący $n_{1}$ ) i obliczymy prędkość sygnału w światłowodzie:

$n_{1}=\frac{c}{v_{1}} \quad \rightarrow \quad v_{1}=\frac{c}{n_{1}}$

Zatem:

$& v_{\text {syg }}=\frac{c}{n_{1}} \cos 30^{\circ}$ $& v_{\text {syg }} \approx \frac{3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1,8} \cdot \cos 30^{\circ} \approx 1,443 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Komentarz (krok 4.)

Obliczymy czas $t$ przekazania sygnału wzdłuż światłowodu:

$& t=\frac{s}{v_{s y g}}$ $& t \approx \frac{10^{5} \mathrm{~m}}{1,443 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}} \approx 0,6930 \cdot 10^{-3} \mathrm{~s} \approx 0,69 \mathrm{~ms}$

Zasady oceniania

4 pkt - poprawna metoda obliczenia $I_{22}$ oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką. 3 pkt - zapisanie zależności równoważnych $I_{2}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} I_{1}, I_{22}=4 I_{2}$ (np. jak w krokach 1.-3.) łącznie z prawidłowym podstawieniem danych.

2 pkt - zapisanie zależności równoważnej $I_{2}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} I_{1}$ oraz zauważenie, że w odległości $r_{2}$ od każdego z głośników zachodzi interferencja konstruktywna i amplitudy się dodadzą (np. jak w krokach 1. i 2.) LUB

• zapisanie zależności równoważnej $\frac{A_{22}^{2}}{A_{2}^{2}}=\frac{I_{22}}{I_{2}}$ oraz zapisanie zależności równoważnej $I_{2}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} I_{1}$ (np. jak w krokach 3. i 1.).

• zapisanie zależności równoważnej $I_{22}=4 I_{2}$ (np. jak w krokach 2. i 3.).

Uwaga! Zapisanie, że natężenie fali wypadkowej jest sumą natężeń od obu głośników jest błędem i jest sprzeczne z kryterium za 2 pkt.

1 pkt - wykorzystanie zależności natężenia fali kulistej od odległości od źródła i zapisanie wyrażenia, z prawidłową identyfikacją wielkości z danymi, pozwalającego wyznaczyć $I_{2}$ (np. jak w kroku 1.) LUB

• wykorzystanie proporcjonalności natężenia fali do kwadratu amplitudy fali i zapisanie wyrażenia pozwalającego wyznaczyć $I_{22}$ ze stosunku amplitud oraz $I_{2}$ (np. jak w kroku 3.) LUB

• zauważenie, że w odległości $r_{2}$ od każdego z głośników zachodzi interferencja konstruktywna i amplitudy się dodadzą, oraz zapisanie $A_{22}=2 A_{2}$ (np. jak w kroku 2.). 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Wprowadzimy oznaczenia wielkości, których nie wymieniono w treści zadania: $I_{2}$ - natężenie dźwięku pochodzące od jednego głośnika, określone w punkcie $P$. $A_{2}$ - amplituda fali dźwiękowej pochodzącej od jednego głośnika, określona w punkcie $P$. $A_{22}$ - amplituda wypadkowej fali dźwiękowej pochodzącej od dwóch głośników, określona w punkcie $P$.

Komentarz (krok 1.)

Wyznaczymy $I_{2}$ korzystając z zależności natężenia fali kulistej od odległości od źródła:

$I \sim \frac{1}{r^{2}}$

$& \frac{I_{2}}{I_{1}}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} \rightarrow I_{2}=\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} I_{1}$ $& I_{2}=\frac{1^{2} \mathrm{~m}^{2}}{2,5^{2} \mathrm{~m}^{2}} 0,1 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}}=0,016 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}}$

Komentarz (krok 2.)

Stwierdzamy - zgodnie z warunkiem interferencji konstruktywnej - że gdy działają oba głośniki (zgodnie w fazie), to amplituda fali wypadkowej w punkcie odległym o $r_{2}$ od każdego z głośników jest sumą amplitud fal pochodzących od każdego głośnika osobno (drogi obu fal są równe).

Uwaga: Natężenie fali wypadkowej nie jest zwykłą sumą natężeń fal pochodzących osobno od obu głośników!

Zapiszemy, że:

$A_{22}=A_{2}+A_{2}=2 A_{2}$

Komentarz (krok 3.)

Wykorzystamy proporcjonalność natężenia fali do kwadratu amplitudy tej fali:

$I \sim A^{2}$

$& \frac{I_{22}}{I_{2}}=\frac{A_{22}^{2}}{A_{2}^{2}} \quad \xrightarrow{\text { krok } 2}$ $& \frac{I_{22}}{I_{2}}=\frac{\left(2 A_{2}\right)^{2}}{A_{2}^{2}} \quad \rightarrow \quad I_{22}=4 I_{2}$

Komentarz (krok 4.)

Obliczamy $I_{22}$ :

$& I_{22}=4 I_{2} \xrightarrow{\text { krok } 1}$ $& I_{22}=4 \frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} I_{1} \rightarrow$ $& I_{22}=4 \cdot 0,016 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}}=0,064 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}}$

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda obliczenia natężenia światła po przejściu przez polaryzatory oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką (np. jak w kroku 3.). 2 pkt - zapisanie zależności równoważnej $\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{E_{1}^{2}}{E_{2}^{2}}$ oraz prawidłowe wyrażenie wartości $E_{2}$ amplitudy wektora natężenia pola elektrycznego poprzez $E_{1}$ (np. jak w krokach 1. i 2.). 1 pkt - wykorzystanie proporcjonalności natężenia fali do kwadratu amplitudy fali i zapisanie wyrażenia równoważnego wyrażeniu $\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{E_{1}^{2}}{E_{2}^{2}}$ (np. jak w kroku 1.) LUB

• poprawne wyrażenie wartości $E_{2}$ amplitudy wektora natężenia pola elektrycznego poprzez $E_{1}$ (np. jak w kroku 2.). 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Amplituda fali elektromagnetycznej, to amplituda zmian wektora natężenia pola elektrycznego:

$A=E$

Wykorzystamy proporcjonalność natężenia fali do kwadratu jej amplitudy:

$I \sim A^{2} \quad \text { czyli } \quad I \sim E^{2} \quad \text { zatem: }$

$\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{E_{1}^{2}}{E_{2}^{2}} \quad \rightarrow \quad I_{2}=\frac{E_{2}^{2}}{E_{1}^{2}} I_{1}$

Komentarz (krok 2.)

Wyrazimy wartość $E_{2}$ amplitudy wektora natężenia pola elektrycznego poprzez $E_{1}$ :

$\frac{E_{2}}{E_{1}}=\cos 60^{\circ}$

Komentarz (krok 3.)

Obliczymy wartość liczbową $I_{2}$ :

$I_{2}=\cos ^{2} 60^{\circ} \cdot I_{1} \quad \rightarrow \quad I_{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2} \cdot 20 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}}=5 \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}}$

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda ustalenia biegu wiązki ultradźwięków od granicy powietrze - woda oraz zaznaczenie rysunku C. Uwaga! Jeżeli zdający stosuje poprawną metodę ustalenia biegu wiązki ultradźwięków od granicy powietrze - woda oraz zapisze w sposób jednoznaczny, który rysunek przedstawia opisaną sytuację, albo zapisze jednoznacznie, że zachodzi całkowite odbicie od granicy ośrodków i nie zaznaczy rysunku, to otrzymuje 3 pkt. 2 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta granicznego dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze - woda oraz podanie prawidłowej wartości tego kąta, np. zapisy równoważne poniższym:

$\frac{\sin \alpha_{g}}{\sin 90^{\circ}}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}} \quad \text { oraz } \quad \alpha_{g} \approx 13,6^{\circ}$

LUB

• poprawna metoda obliczenia sinusa kąta granicznego dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze - woda oraz podanie prawidłowej wartości sinusa tego kạta, oraz stwierdzenie/zapisanie, że kąt padania (lub sinus tego kąta) jest większy od kąta granicznego, np. zapisy równoważne poniższym:

$& \frac{\sin \alpha_{g}}{\sin 90^{\circ}}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}} \quad \text { oraz } \quad\left(\sin \alpha_{g} \approx 0,2345 \quad \text { zatem } \quad \alpha_{g}<45^{\circ}\right)$ $& \quad \text { albo }$ $& \frac{\sin \alpha_{g}}{\sin 90^{\circ}}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}} \quad \text { oraz } \quad\left(\sin \alpha_{g} \approx 0,2345\right)<\left(\sin 45^{\circ} \approx 0,7071\right)$ $& L U B$

• poprawna metoda obliczenia kąta załamania dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze - woda oraz podanie wartości sinusa kąta załamania większej od jedności, oraz stwierdzenie, że nie istnieje taki kąt, np. zapisy równoważne poniższym:

$\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \alpha_{w}}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}} \quad \text { oraz } \quad\left(\sin \alpha_{w}>1 \quad \text { nie istnieje taki kąt } \alpha_{w}\right)$

1 pkt - poprawne zapisanie warunku (z uwzględnieniem wartości prędkości dźwięku), z którego można obliczyć kąt graniczny dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze - woda, np. zapisy równoważne poniższym:

$\frac{\sin \alpha_{g}}{\sin 90^{\circ}}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}$

LUB

• zapisanie warunku (z uwzględnieniem wartości prędkości dźwięku i miary kąta padania) wynikającego z prawa załamania fali, np. zapisy równoważne poniższym:

$\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \alpha_{w}}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

Prędkość dźwięku w powietrzu jest mniejsza od prędkości dźwięku w wodzie. Z tego wynika, że istnieje kąt graniczny $\alpha_{g}$ padania dla wiązki ultradźwięków biegnącej od strony powietrza, powyżej którego nastąpi całkowite odbicie od granicy ośrodków powietrze - woda.

Wyznaczymy kąt graniczny dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze - woda. Zapiszemy warunek (wynikający z prawa załamania fali) dla kąta granicznego w tym przypadku:

$\frac{\sin \alpha_{g}}{\sin 90^{\circ}}=\frac{v_{p}}{v_{w}} \quad \rightarrow \quad \frac{\sin \alpha_{g}}{1}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}} \quad \rightarrow \quad \sin \alpha_{g} \approx 0,2345$

Obliczymy kąt graniczny przy użyciu kalkulatora naukowego:

$\sin \alpha_{g} \approx 0,2345 \quad \text { dla } \quad \alpha_{g} \approx 13,6^{\circ}$

Porównamy kąt padania $\alpha_{p}=45^{\circ} \mathrm{z}$ kątem granicznym:

$\alpha_{p}>\alpha_{g}\left(45^{\circ}>13,6^{\circ}\right)$

Z powyższego wynika, że nastąpi całkowite odbicie od granicy powietrze - woda.

Prawidłowe zaznaczenie

C

Sposób 2.

Prędkość dźwięku w powietrzu jest mniejsza od prędkości dźwięku w wodzie. Z tego wynika, że istnieje kąt graniczny $\alpha_{g}$ padania dla wiązki ultradźwięków biegnącej od strony powietrza, powyżej którego nastąpi całkowite odbicie od granicy ośrodków powietrze - woda.

Wyznaczymy sinus kąta granicznego dla przejścia dźwięku przez granicę powietrze - woda. Zapiszemy warunek (wynikający z prawa załamania fali) dla sinusa kąta granicznego w tym przypadku:

$\frac{\sin \alpha_{g}}{\sin 90^{\circ}}=\frac{v_{p}}{v_{w}} \quad \rightarrow \quad \frac{\sin \alpha_{g}}{1}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}} \quad \rightarrow \quad \sin \alpha_{g} \approx 0,2345$

Porównamy sinus kąta padania $\alpha_{p}=45^{\circ} \mathrm{z}$ sinusem kąta granicznego:

$\left(\sin 45^{\circ} \approx 0,7071 \text { oraz } \sin \alpha_{g} \approx 0,2345\right) \quad \text { zatem } \sin 45^{\circ}>\sin \alpha_{g}$

Ponieważ w przedziale od $0^{\circ}$ do $90^{\circ}$ sinus jest funkcją rosnącą, to:

$\sin 45^{\circ}>\sin \alpha_{g} \quad \rightarrow \quad\left(\alpha_{p}=45^{\circ}\right)>\alpha_{g}$

To oznacza, że nastąpi całkowite odbicie od granicy powietrze - woda.

Prawidłowe zaznaczenie

C

Sposób 3.

Zapiszemy warunek wynikający z prawa załamania fali na granicy ośrodków powietrze woda. Z tego warunku wyznaczymy sinus kąta załamania.

Kąt padania wiązki od strony powietrza oznaczymy jako $\alpha_{p}$, a kąt załamania wiązki w wodzie oznaczymy jako $\alpha_{w}$.

$\frac{\sin \alpha_{p}}{\sin \alpha_{w}}=\frac{v_{p}}{v_{w}} \quad \rightarrow \quad \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \alpha_{w}}=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}} \quad \rightarrow \quad \frac{0,707}{\sin \alpha_{w}} \approx \frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{1450 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}$

Zatem:

$\sin \alpha_{w} \approx 3,02 \quad \sin \alpha_{w}>1 \quad \text { NIEMOŻLIWE }$

Ponieważ nie istnieje kąt, dla którego sinus jest większy od jedynki, to nie istnieje w tym przypadku kąt $\alpha_{w}$ załamania w wodzie. Z tego wynika, że wiązka ultradźwięków nie wniknie do wody, tylko całkowicie odbije się od granicy powietrze - woda.

Prawidłowe zaznaczenie

C

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia natężenia fali kulistej w punkcie $X$ oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z prawidłową jednostką:

$I_{X} \approx 3,2 \cdot 10^{-5} \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~s} \cdot \mathrm{~m}^{2}} \quad \text { lub } \quad I_{X} \approx 3,2 \cdot 10^{-5} \frac{\mathrm{~W}}{\mathrm{~m}^{2}} \quad \text { lub } \quad I_{X} \approx 3,2 \cdot 10^{-5} \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~s}^{3}}$

1 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na natężenie fali kulistej w odległości $r_{X}$ od źródła z uwzględnieniem symboli wielkości podanych w zadaniu lub poprzez podstawienie wartości liczbowych, np. zapisy równoważne poniższym:

$I_{X}=\frac{E}{\Delta t \cdot 4 \pi r_{X}^{2}} \quad \text { lub } \quad I_{X}=\frac{40 \mathrm{~mJ}}{1 \mathrm{~s} \cdot 4 \pi \cdot 10^{2} \mathrm{~m}^{2}}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Skorzystamy z definicji natężenia fali oraz z warunku zadania, że fala kulista rozchodzi się tak samo we wszystkich kierunkach i nie jest pochłaniana. Zatem energia przechodząca w jednostce czasu przez dowolną sferę ze źródłem fali w jej środku, jest taka sama. Zatem:

$I=\frac{E}{\Delta t \cdot S} \quad \rightarrow \quad I_{X}=\frac{E}{\Delta t \cdot 4 \pi r_{X}^{2}}$

Obliczymy natężenie fali w punkcie $X$ :

$I_{X}=\frac{40 \mathrm{~mJ}}{1 \mathrm{~s} \cdot 4 \pi \cdot 10^{2} \mathrm{~m}^{2}}=\frac{10}{\pi} \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-2} \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~s} \cdot \mathrm{~m}^{2}} \approx 3,2 \cdot 10^{-5} \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~s} \cdot \mathrm{~m}^{2}}$

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda ustalenia, czy w punkcie $A$ nastąpi wzmocnienie czy osłabienie interferencyjne (tzn. poprawne obliczenie długości fali i zastosowanie warunków na wzmocnienie/osłabienie) oraz zapisanie poprawnej odpowiedzi:

W punkcie A nastąpi osłabienie interferencyjne

2 pkt - poprawna metoda obliczenia długości fali, tzn. zapisanie związku między długością fali a jej prędkością i częstotliwością z poprawnie podstawionymi wartościami liczbowymi (lub zastosowanymi symbolami) oraz zapisanie / wykorzystanie / sprawdzenie warunków na maksymalne wzmocnienie i maksymalne osłabienie interferencyjne, np. zapisy równoważne poniższym:

$& 340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}=\lambda \cdot 850 \mathrm{~Hz} \quad \text { oraz }$ $& r_{2}-r_{1}=\frac{2 n \pm 1}{2} \lambda(\text { osłabienie }) \quad r_{2}-r_{1}=n \lambda \quad \text { (wzmocnienie) }$

albo (obliczenie różnicy dróg fal jako krotności połowy lub pełnej długości fali)

$\lambda=0,4 \mathrm{~m} \quad \text { oraz } \quad\left(11,5 \mathrm{~m}-10,5 \mathrm{~m}=1=\frac{5}{2} \cdot 0,4 \mathrm{~m} \quad \text { lub } \quad \frac{11,5}{0,4}-\frac{10,5}{0,4}=\frac{5}{2}\right)$

albo (obliczenie różnicy faz jako krotności $\pi$ lub $2 \pi$ )

$\lambda=0,4 \mathrm{~m} \quad \text { oraz } \quad 2 \pi \cdot \frac{11,5 \mathrm{~m}}{0,4 \mathrm{~m}}-2 \pi \frac{10,5 \mathrm{~m}}{0,4 \mathrm{~m}}=5 \pi(=2,5 \cdot 2 \pi)$

albo (określenie faz docierających do punktu $A$ )

$\begin{array}{lll} r_{1}=26 \lambda+\frac{1}{4} \lambda\leftrightarrow\phi_{1}=26 \cdot 2 \pi+\frac{\pi}{2}$ $r_{2}=28 \lambda+\frac{3}{4} \lambda\leftrightarrow\phi_{2}=28 \cdot 2 \pi+\frac{3 \pi}{2} \end{array}$

LUB

• poprawna metoda obliczenia okresu fali oraz poprawna metoda obliczenia obu czasów dotarcia ustalonej fazy fali od każdego z głośników do punktu $A$ oraz zapisanie / wykorzystanie / sprawdzenie warunków na maksymalne wzmocnienie i maksymalne osłabienie interferencyjne, zapisanych poprzez okres i czasy, np. zapisy równoważne poniższym:

$T=\frac{1}{850} \mathrm{~s} \quad \text { oraz } \quad t_{1}=\frac{r_{1}}{v_{d}} \quad \text { oraz } \quad t_{2}=\frac{r_{2}}{v_{d}} \quad \text { oraz } \quad \frac{t_{2}}{T}-\frac{t_{1}}{T}=2,5$

1 pkt - poprawna metoda obliczenia długości fali, tzn. zapisanie związku między długością fali a jej prędkością i częstotliwością z poprawnie podstawionymi wartościami liczbowymi (lub zastosowanymi symbolami), np. zapisy równoważne poniższym: $340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}=\lambda \cdot 850 \mathrm{~Hz}$

LUB

• zapisanie (może być słowne) / wykorzystanie / sprawdzenie warunków na maksymalne wzmocnienie i maksymalne osłabienie interferencyjne (z długością fali $\lambda$ i odległościami $r_{2}$ i $r_{1}$ lub z fazami i odległościami lub z czasami i okresem), np. zapisy równoważne poniższym:

$\begin{array}{lll} \text { jeśli }r_{2}-r_{1}=\frac{2 n \pm 1}{2} \lambda\text { to nastąpi maksymalne osłabienie }$ $\text { jeśli }r_{2}-r_{1}=n \lambda\text { to nastąpi maksymalne wzmocnienie }$ $& \text { albo } & \end{array}$

$\begin{array}{ll} \text { jeśli }\frac{2 \pi}{\lambda} r_{2}-\frac{2 \pi}{\lambda} r_{1}=(2 n \pm 1) \cdot \pi$ $\text { jeśli }\text { to nastąpi maksymalne osłabienie }$ $\lambdar_{2}-\frac{2 \pi}{\lambda} r_{1}=n \cdot 2 \pi \end{array} \text { to nastąpi maksymalne wzmocnienie }$

Uwaga! Zapisanie warunków $z$ samymi fazami (np. $\phi_{2}-\phi_{1}=(2 n \pm 1) \cdot \pi$ ), bez użycia wzoru na fazę, jest niewystarczające do spełnienia tego kryterium.

albo (opis słowny)

Jeśli do punktu A dotrą fale przeciwne w fazie, to nastąpi maksymalne osłabienie Jeśli do punktu A dotrą fale zgodne w fazie, to nastąpi maksymalne wzmocnienie albo

$\begin{array}{lll} \text { jeśli }t_{2}-t_{1}=\frac{2 n \pm 1}{2} T\text { to nastąpi maksymalne osłabienie }$ $\text { jeśli }t_{2}-t_{1}=n T\text { to nastąpi maksymalne wzmocnienie } \end{array}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (zastosowanie warunku z różnicą odległości)

Zapiszemy warunki na maksymalne wzmocnienie interferencyjne oraz maksymalne osłabienie interferencyjne fali w punkcie $A$.

Jeśli $r_{1}$ i $r_{2}$ są odległościami od punktu $A$ do - odpowiednio - pierwszego (G1) i drugiego (G2) źródła fali oraz $\lambda$ jest długością fali, to:

$\begin{array}{lll} \text { jeśli }r_{2}-r_{1}=\frac{2 n \pm 1}{2} \lambda\text { to nastąpi maksymalne osłabienie w } A$ $\text { jeśli }r_{2}-r_{1}=n \lambda\text { to nastąpi maksymalne wzmocnienie w } A \end{array}$

Powyższe warunki zastosujemy dla danych zadania. Obliczymy długość fal dźwiękowych wysyłanych z głośników G1 i G2:

$v_{d}=\lambda f \quad \rightarrow \quad \lambda=\frac{v_{d}}{f} \quad \rightarrow \quad \lambda=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{850 \frac{1}{\mathrm{~s}}}=0,4 \mathrm{~m}$

Sprawdzimy - zgodnie z podanymi warunkami - czy w punkcie $A$ zachodzi maksymalne (możliwe dla tego punktu) osłabienie czy wzmocnienie interferencyjne.

W tym celu obliczymy różnicę odległości punktu $A$ od głośników G1 i G2 i wyrazimy ją poprzez krotność długości fali lub krotność połowy długości fali.

$& r_{2}-r_{1}=11,5 \mathrm{~m}-10,5 \mathrm{~m}=1 \mathrm{~m}$ $& r_{2}-r_{1}=\frac{5}{2} \cdot 0,4 \mathrm{~m}=\frac{5}{2} \lambda$

Różnica odległości punktu $A$ od głośników G1 i G2 wyraża się poprzez nieparzystą krotność połowy długości fali. Zgodnie z podanymi warunkami w punkcie $A$ nastąpi maksymalne (możliwe dla tego punktu) osłabienie interferencyjne.

Sposób 2. (zastosowanie warunku z różnicą faz)

Zapiszemy warunki na maksymalne wzmocnienie interferencyjne oraz maksymalne osłabienie interferencyjne fali w punkcie $A$.

Jeśli $\phi_{1}$ i $\phi_{2}$ są fazami fal docierających do punktu $A$ - odpowiednio - od pierwszego (G1) i od drugiego (G2) źródła fali, to:

$\begin{array}{ll} \text { jeśli }\left|\phi_{2}-\phi_{1}\right|=(2 n \pm 1) \cdot \pi\text { to nastąpi maksymalne osłabienie }$ $\text { jeśli }\left|\phi_{2}-\phi_{1}\right|=n \cdot 2 \pi\text { to nastąpi maksymalne wzmocnienie } \end{array}$

Użyjemy wzorów do wyznaczenia obu faz. Rozważamy fazy fal docierających do punktu $A$ w chwili $t$. Różnica faz źródeł G1 i G2 wynosi zero. Zatem:

$& \phi_{1}=\frac{2 \pi}{T} t-\frac{2 \pi}{\lambda} r_{1} \quad \text { oraz } \quad \phi_{2}=\frac{2 \pi}{T} t-\frac{2 \pi}{\lambda} r_{2} \rightarrow$ $& \left|\phi_{2}-\phi_{1}\right|=\frac{2 \pi}{\lambda} r_{2}-\frac{2 \pi}{\lambda} r_{1}=2 \pi\left(\frac{r_{2}}{\lambda}-\frac{r_{1}}{\lambda}\right)$

Obliczymy długość fal dźwiękowych wysyłanych z głośników G1 i G2:

$v_{d}=\lambda f \quad \rightarrow \quad \lambda=\frac{v_{d}}{f} \quad \rightarrow \quad \lambda=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{850 \frac{1}{\mathrm{~s}}}=0,4 \mathrm{~m}$

Podstawimy długość fali do wzoru na różnicę faz

$\left|\phi_{2}-\phi_{1}\right|=2 \pi\left(\frac{11,5 \mathrm{~m}}{0,4 \mathrm{~m}}-\frac{10,5 \mathrm{~m}}{0,4 \mathrm{~m}}\right)=2 \pi \cdot \frac{1}{0,4}=2 \pi \cdot \frac{5}{2}=5 \pi$

Różnica faz docierających do punktu $A$ jest równa nieparzystej krotności $\pi$. Zgodnie z podanymi warunkami w punkcie $A$ nastąpi maksymalne (możliwe dla tego punktu) osłabienie interferencyjne.

Sposób 3. (zastosowanie warunku z różnicą faz)

Jeśli $\phi_{1}$ i $\phi_{2}$ są fazami fal docierających do punktu $A$ - odpowiednio - od pierwszego (G1) i od drugiego (G2) źródła fali, to:

• w punkcie $A$ nastąpi maksymalne wzmocnienie interferencyjne, gdy fazy docierających fal będą zgodne

• w punkcie $A$ nastąpi maksymalne osłabienie interferencyjne, gdy fazy docierających fal będą przeciwne.

Zatem zbadamy, jakie fazy docierają od źródeł G1 i G2 do punktu $A$ w wybranej chwili $t$. Założymy dla uproszczenia rozważań, że faza początkowa źródeł w chwili $t$ wynosi 0 . Zbadamy, jak zmieni się faza wzdłuż każdej z dróg. Zauważmy, że na drodze równej długości fali $\lambda$ następuje zmiana fazy fali o $2 \pi$ :

$\lambda \leftrightarrow 2 \pi$

czyli:

$\lambda=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{850 \frac{1}{\mathrm{~s}}}=0,4 \mathrm{~m} \quad \leftrightarrow \quad 2 \pi$

Zatem:

$& r_{1}=10,5 \mathrm{~m}=26,25 \lambda=26 \lambda+\frac{1}{4} \lambda \quad \leftrightarrow \quad \phi_{1}=26 \cdot 2 \pi+\frac{1}{4} \cdot 2 \pi=26 \cdot 2 \pi+\frac{\pi}{2}$ $& r_{2}=11,5 \mathrm{~m}=28,75 \lambda=28 \lambda+\frac{3}{4} \lambda \quad \leftrightarrow \quad \phi_{2}=28 \cdot 2 \pi+\frac{3}{4} \cdot 2 \pi=28 \cdot 2 \pi+\frac{3 \pi}{2}$

Do punktu $A$ od głośnika G1 dotrze fala o fazie $\frac{\pi}{2}$, a od głośnika G2 dotrze fala o fazie $\frac{3}{2} \pi$. Zatem dotrą fale o przeciwnych fazach. Nastąpi maksymalne osłabienie interferencyjne.

Sposób 4. (zastosowanie warunku z różnicą czasów)

Zapiszemy warunki na maksymalne wzmocnienie interferencyjne oraz maksymalne osłabienie interferencyjne fali w punkcie $A$.

Załóżmy, że $t_{1} \mathrm{i} t_{2}$ są czasami, w jakich dotrą ustalone fazy fal - odpowiednio - od pierwszego i drugiego głośnika do punktu $A$. Jeśli $r_{1}$ i $r_{2}$ są odległościami od punktu $A$ do odpowiednio - pierwszego (G1) i drugiego (G2) źródła fali oraz $\lambda$ jest długością fali, to:

$\begin{array}{lll} \text { jeśli }v_{d} t_{2}-v_{d} t_{1}=\frac{2 n \pm 1}{2} v_{d} T\text { to nastąpi maksymalne osłabienie } \mathrm{w} A$ $\text { jeśli }v_{d} t_{2}-v_{d} t_{1}=n v_{d} T\text { to nastąpi maksymalne wzmocnienie } \mathrm{w} A \end{array}$

Powyższe warunki zapiszemy w przekształconej postaci:

$\begin{array}{ll} \text { jeśli }\frac{t_{2}}{T}-\frac{t_{1}}{T}=\frac{2 n \pm 1}{2}$ $\text { jeśli }\text { to nastąpi maksymalne osłabienie w } A$ $\frac{t_{2}}{T}-\frac{t_{1}}{T}=n\text { to nastąpi maksymalne wzmocnienie w } A \end{array}$

Obliczymy $t_{1}$ i $t_{2}$ oraz $T$ :

$t_{1}=\frac{r_{1}}{v_{d}}=\frac{10,5}{340} \mathrm{~s} \approx 0,03088 \mathrm{~s} \quad t_{2}=\frac{r_{2}}{v_{d}}=\frac{11,5}{340} \mathrm{~s} \approx 0,03382 \mathrm{~s} \quad T=\frac{1}{850 \mathrm{~Hz}} \approx 0,00118 \mathrm{~s}$

Zatem:

$\frac{t_{2}}{T}-\frac{t_{1}}{T} \approx \frac{0,03382 \mathrm{~s}}{0,00118 \mathrm{~s}}-\frac{0,03088 \mathrm{~s}}{0,00118 \mathrm{~s}} \approx 2,5=\frac{5}{2} \quad\left(t_{2}-t_{1}=\frac{5}{2} T\right)$

Różnica czasów dotarcia faz fal do punktu $A$ od głośników G1 i G2 wyraża się poprzez nieparzystą krotność połowy okresu. Zgodnie z podanymi warunkami w punkcie $A$ nastąpi maksymalne (możliwe dla tego punktu) osłabienie interferencyjne.

Zasady oceniania

1 pkt - narysowanie wektora $\vec{E}_{2}$ o poprawnym kierunku, poprawnym zwrocie i prawidłowej wartości. 0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

Rozwiązanie

RB1VPEPLM7OFN

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach.

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, P, P.

Zasady oceniania

Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.

A1 - narysowanie na rysunku 1. promienia biegnącego od S1 do S2 i przecinającego oś optyczną w punkcie $F_{1 P}$ oraz narysowanie bez konstrukcji promienia biegnącego za S2, oddalającego się od osi optycznej.

A2 - narysowanie na rysunku 2. promienia biegnącego od S1 do S2 i przecinającego oś optyczną w punkcie $F_{1 P}$ oraz narysowanie bez konstrukcji promienia biegnącego za S 2 , zbliżającego się do osi optycznej.

B1 - narysowanie na rysunku 1. promienia biegnącego od S1 do S2 i przecinającego oś optyczną w punkcie $F_{1 P}$ oraz narysowanie promienia biegnącego za S 2 , wyznaczonego konstrukcyjnie, oddalającego się od osi optycznej.

B2 - narysowanie na rysunku 2. promienia biegnącego od S1 do S2 i przecinającego oś optyczną w punkcie $F_{1 P}$ oraz narysowanie promienia biegnącego za S 2 , wyznaczonego konstrukcyjnie, zbliżającego się do osi optycznej.

Schemat punktowania

4 pkt - spełnienie warunku B1 oraz warunku B2. 3 pkt - spełnienie warunku B1 oraz warunku A2 LUB

• spełnienie warunku B2 oraz warunku A1

2 pkt - spełnienie warunku B1 LUB

• spełnienie warunku B2

LUB

• spełnienie warunków A1 oraz A2.

1 pkt - spełnienie warunku A1 LUB

• spełnienie warunku A2.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Sposób 1.

W konstrukcji wystarczy użyć jednego promienia charakterystycznego soczewki S2 (promienie narysowane niebieską kreska przerywaną).

R1J8ST44P2U8E

Rysunek 1.

R198UZSDTJVVO

Rysunek 2.

Uwaga! Zamiast rozpatrywać wiązkę promieni wybiegającą z punktu na soczewce S1 można rozpatrywać inne wiązki, np. promienie równoległe (w tym jakiś charakterystyczny), które po przejściu przez S2 skupiają się w punkcie lecącym w płaszczyźnie ogniska soczewki (zobacz sposób 2. rozwiązania).

Sposób 2.

Korzystamy z faktu, że wiązka promieni równoległych podających na soczewkę po przejściu przez nią skupi się w punkcie leżącym w płaszczyźnie ogniska tej soczewki.

W konstrukcji wystarczy użyć jednego promienia charakterystycznego soczewki S2 (promienie narysowane niebieską kreska przerywaną).

RVE3NDSXXC5LU

Rysunek 1.

R45ORLCLHVHFE

Rysunek 2.

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach. 1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, P, P.

Zasady oceniania

4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości prędkości ambulansu oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką: $v \approx 31 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$ 3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia i zapisanie jednego równania, z którego można bezpośrednio wyznaczyć wartość prędkości ambulansu - metoda zawiera: wykorzystanie wzorów Dopplera (albo metody jak w sposobie 3. rozwiązania) z poprawnie zidentyfikowanymi częstotliwościami oraz zastosowanie związku falowego, oraz wykorzystanie warunku zadania, np.:

$\text { metoda } \quad \rightarrow \quad 1,2=\frac{v_{d}+v}{v_{d}-v}$ $\text { albo }$ $\text { metoda } \quad \rightarrow \quad \frac{1}{11}=\frac{v}{v_{d}}$

2 pkt - zapisanie wzorów Dopplera z poprawnym zidentyfikowaniem $f_{A}, f_{B}$ (albo $\Delta f, f_{0}$ ), v, $v_{d}$ oraz wyprowadzenie ze związku falowego (lub zapisanie bez wyprowadzenia) adekwatnych zależności między częstotliwościami a długościami fal, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left(\left\{\begin{array} { l } { f _ { A } = f _ { 0 } \cdot \frac { v _ { d } } { v _ { d } - v } }$ ${ f _ { B } = f _ { 0 } \cdot \frac { v _ { d } } { v _ { d } + v } } \end{array} \quad \text { lub } \left\{\begin{array}{l} f_{A} \approx f_{0} \cdot\left(1+\frac{v}{v_{d}}\right)$ $f_{B} \approx f_{0} \cdot\left(1-\frac{v}{v_{d}}\right) \end{array} \quad \text { oraz } \quad \frac{f_{A}}{f_{B}}=\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}\right.\right.\right.$

$\frac{|\Delta f|}{f_{0}} \approx \frac{v}{v_{d}} \quad \text { oraz } \quad \frac{|\Delta f|}{f_{0}} \approx \frac{|\Delta \lambda|}{\lambda_{0}}$

albo (bezpośrednie zapisanie wzorów Dopplera z długościami fal)

$\left\{\begin{array} { l } { \lambda _ { A } = \lambda _ { 0 } \cdot ( 1 - \frac { v } { v _ { d } } ) }$ ${ \lambda _ { B } = \lambda _ { 0 } \cdot ( 1 + \frac { v } { v _ { d } } ) } \end{array} \quad \text { lub } \quad \left\{\begin{array}{l} \lambda_{A} \approx \lambda_{0} \cdot \frac{v_{d}}{v_{d}+v}$ $\lambda_{B} \approx \lambda_{0} \cdot \frac{v_{d}}{v_{d}-v} \end{array} \quad \text { lub } \quad \frac{|\Delta \lambda|}{\lambda_{0}} \approx \frac{v}{v_{d}}\right.\right.$

LUB

• zapisanie wzorów na długości fal dźwiękowych docierających do $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$ oraz zastosowanie związku falowego między okresem, długością fali w układzie źródła i prędkością dźwięku, np. zapisy równoważne poniższym:

$\begin{array}{ll} \left(\lambda_{A}=\lambda_{0}-v T, \lambda_{B}=\lambda_{0}+v T\right)\text { oraz }$ $L U Bv_{d}=\frac{\lambda_{0}}{T} \end{array}$

• poprawne wyprowadzenie wartości wyrażenia $\frac{|\Delta \lambda|}{\lambda_{0}}$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left\{\begin{array}{l} \lambda_{A}=\lambda_{0}-|\Delta \lambda|$ $\lambda_{B}=\lambda_{0}+|\Delta \lambda| \end{array} \quad \text { oraz } \quad \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}=1,2 \quad \rightarrow \quad \frac{|\Delta \lambda|}{\lambda_{0}}=\frac{1}{11}\right.$

1 pkt - zapisanie wzorów Dopplera z poprawnym zidentyfikowaniem $f_{A}, f_{B}$ (albo $\Delta f, f_{0}$ ), $v$ i $v_{d}$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left\{\begin{array} { l } { f _ { A } = f _ { 0 } \cdot \frac { v _ { d } } { v _ { d } - v } }$ ${ f _ { B } = f _ { 0 } \cdot \frac { v _ { d } } { v _ { d } + v } } \end{array} \quad \text { albo } \quad \left\{\begin{array}{l} f_{A} \approx f_{0} \cdot\left(1+\frac{v}{v_{d}}\right)$ $f_{B} \approx f_{0} \cdot\left(1-\frac{v}{v_{d}}\right) \end{array} \quad \text { albo } \quad \frac{|\Delta f|}{f_{0}} \approx \frac{v}{v_{d}}\right.\right.$

LUB

• wyprowadzenie ze związku falowego (lub zapisanie bez wyprowadzenia) zależności między częstotliwościami a długościami fal:

$\frac{f_{A}}{f_{B}}=\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}} \quad \text { albo } \quad \frac{|\Delta f|}{f_{0}} \approx \frac{|\Delta \lambda|}{\lambda_{0}}$

LUB

• zapisanie wzorów na długości fal dźwiękowych docierających do $\mathcal{A}$ i $\mathcal{B}$, jako odpowiednio różnicy i sumy długości fali źródła spoczywającego i drogi przebytej przez źródło w czasie okresu, np. zapisy równoważne poniższym:

$\lambda_{A}=\lambda_{0}-v T, \quad \lambda_{B}=\lambda_{0}+v T$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwagi dodatkowe

1. Dotyczy rozwiązania sposobem 3a). Jeżeli zdający przyjmie błędną (lub błędnie obliczy) wartość ilorazu $\frac{|\Delta \lambda|}{\lambda_{0}}$ i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie zadania do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 pkt.

2. Jeżeli z zapisów zdającego jednoznacznie wynika, że przyjał przeciwny zwrot ruchu ambulansu oraz wszystkie dalsze zależności są zgodne z tym założeniem, oraz doprowadza konsekwentnie rozwiązanie do końca, to otrzymuje 3 pkt.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (z wykorzystaniem dokładnych wzorów Dopplera)

Zapiszemy wzory Dopplera na częstotliwość $f_{A}$, jaką rejestruje $\mathcal{A}$, gdy ambulans zbliża się do niego oraz na częstotliwość $f_{B}$, jaką rejestruje $\mathcal{B}$, gdy ambulans oddala się od niego. Ze wzorów tych wyznaczymy iloraz rejestrowanych częstotliwości:

$\text { 1) }\left\{\begin{array}{l} f_{A}=f_{0} \cdot \frac{v_{d}}{v_{d}-v}$ $f_{B}=f_{0} \cdot \frac{v_{d}}{v_{d}+v} \end{array} \quad \rightarrow \quad \text { 2) } \frac{f_{A}}{f_{B}}=\frac{v_{d}+v}{v_{d}-v}\right.$

gdzie $v$ oznacza wartość prędkości ambulansu, $v_{d}$ oznacza wartość prędkości dźwięku. Ze związku falowego wyprowadzimy wzór na iloraz długości fal. Prędkość dźwięku nie zależy od ruchu źródła dźwięku w ośrodku, zatem:

$\text { 3) }\left\{\begin{array}{lll} v_{d}=f_{A} \lambda_{A}$ $v_{d}=f_{B} \lambda_{B} \end{array} \quad \rightarrow \quad \text { 4) } \frac{f_{A}}{f_{B}}=\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}\right.$

gdzie $\lambda_{A}$ i $\lambda_{B}$ są odpowiednio długościami fali dźwiękowej docierającej do $\mathcal{A}$ i fali dźwiękowej docierającej do $\mathcal{B}$.

Wykorzystamy warunek zadania:

$\text { 5) } \frac{f_{A}}{f_{B}}=\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}=1,2$

Wartość ilorazu 5) podstawiamy w miejsce lewej strony równania 2). Otrzymane w ten sposób równanie przekształcimy, podstawimy dane i obliczymy prędkość ambulansu.

$& \text { 6) } 1,2=\frac{v_{d}+v}{v_{d}-v} \rightarrow 1,2 v_{d}-1,2 v=v_{d}+v \quad \rightarrow \quad 0,2 v_{d}=2,2 v$ $& \text { 7) } v=\frac{v_{d}}{11} \quad \rightarrow \quad \text { 8) } v=\frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{11} \approx 30,9 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 31 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Sposób 2. (z wykorzystaniem przybliżonych wzorów Dopplera)

Zapiszemy przybliżone wzory Dopplera na częstotliwość $f_{A}$, jaką rejestruje $\mathcal{A}$, gdy ambulans zbliża się do niego, oraz na częstotliwość $f_{B}$, jaką rejestruje $\mathcal{B}$, gdy ambulans oddala się od niego. Z tych wzorów wyznaczymy iloraz częstotliwości:

$\text { 1) }\left\{\begin{array}{l} f_{A} \approx f_{0} \cdot\left(1+\frac{v}{v_{d}}\right)$ $f_{B} \approx f_{0} \cdot\left(1-\frac{v}{v_{d}}\right) \end{array} \quad \rightarrow \quad \text { 2) } \quad \frac{f_{A}}{f_{B}}=\frac{v_{d}+v}{v_{d}-v}\right.$

Ciąg dalszy rozwiązania jest taki sam, jak w sposobie 1., w punktach 3)-8).

Sposób 3. (bez użycia wzorów Dopplera)

Oznaczymy jako $\lambda_{0}$ długość fali, jaka byłaby emitowana z syreny ambulansu, który nie porusza się. Ponieważ ambulans porusza się w kierunku obserwatora $\mathcal{A}$, to porusza się także w kierunku powierzchni falowej wysłanej do obserwatora $\mathcal{A}$ (ambulans „goni” wysyłane przez siebie fale w kierunku $\mathcal{A}$ ). Zatem kolejna powierzchnia falowa, jaką wyśle syrena ambulansu po czasie jednego okresu (swoich drgań) w kierunku $\mathcal{A}$, będzie bliżej poprzednio wysłanej powierzchni o odległość $s=v T$. Z drugiej strony ambulans oddala się od powierzchni falowej wysłanej w kierunku obserwatora $\mathcal{B}$. Zatem kolejna powierzchnia falowa, jaką wyśle syrena ambulansu po czasie jednego okresu w kierunku obserwatora $\mathcal{B}$, będzie dalej od poprzednio wysłanej powierzchni o odległość $s=v T$. Stąd otrzymujemy:

$\text { 1) }\left\{\begin{array}{lll} \lambda_{A}=\lambda_{0}-v T\rightarrow\text { 2) } \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}=\frac{\lambda_{0}+v T}{\lambda_{0}-v T}$ $\lambda_{B}=\lambda_{0}+v T& \end{array}\right.$

Ze związku falowego (dla fali wysłanej z nieruchomej syreny ambulansu) otrzymujemy:

$\text { 3) } \begin{array}{lll} v_{d}=\frac{\lambda_{0}}{T}\rightarrow\text { 4) } \lambda_{0}=v_{d} T \end{array}$

Na podstawie równań 2) i 4) otrzymujemy:

$\text { 5) } \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}=\frac{v_{d} T+v T}{v_{d} T-v T}=\frac{v_{d}+v}{v_{d}-v} \quad \rightarrow \quad \text { 6) } \quad v=\frac{\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}-1}{\frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}+1} v_{d}$

Z warunku zadania mamy:

$\text { 7) } \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}=1,2$

Zależność 7) podstawimy do równania 6) i obliczymy prędkość ambulansu:

$v=\frac{1,2-1}{1,2+1} \cdot 340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 30,9 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 31 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Sposób 3a. (metoda „mieszana”)

Zastosujemy przybliżony wzór Dopplera oraz przybliżoną zależność między parametrami fali i zmianami tych parametrów:

1. $\frac{|\Delta f|}{f_{0}} \approx \frac{v}{v_{d}} \quad$ oraz

2. $\frac{|\Delta f|}{f_{0}} \approx \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{0}} \rightarrow$

3. $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_{0}} \approx \frac{v}{v_{d}}$

Z warunku zadania wyznaczymy $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_{0}}$. Oznaczymy jako $\lambda_{0}$ długość fali, jaka byłaby emitowana z syreny ambulansu, który nie porusza się. Ponieważ ambulans porusza się w kierunku obserwatora $\mathcal{A}$, to kolejna powierzchnia falowa, jaką wyśle syrena ambulansu po czasie jednego okresu (swoich drgań) w kierunku $\mathcal{A}$, będzie bliżej poprzednio wysłanej powierzchni o odległość $|\Delta \lambda|=\lambda_{0}-\lambda_{A}$. Z drugiej strony, kolejna powierzchnia falowa, jaką wyśle syrena ambulansu po czasie jednego okresu w kierunku obserwatora $\mathcal{B}$, będzie dalej od poprzednio wysłanej powierzchni o odległość $|\Delta \lambda|=\lambda_{B}-\lambda_{0}$. Stąd otrzymujemy: 4) $\left\{\begin{array}{l}\lambda_{A}=\lambda_{0}-|\Delta \lambda|$ $\lambda_{B}=\lambda_{0}+|\Delta \lambda|\end{array}\right.$

Uwzględnimy warunek zadania i wyznaczymy $\frac{\Delta \lambda}{\lambda_{0}}$ :

$\text { 5) } 1,2=\frac{\lambda_{0}+|\Delta \lambda|}{\lambda_{0}-|\Delta \lambda|} \quad \rightarrow \quad \text { 6) } \frac{\Delta \lambda}{\lambda_{0}} \approx \frac{1}{11}$

Na podstawie równań 3) i 6) otrzymujemy: 7) $\frac{1}{11} \approx \frac{v}{v_{d}} \rightarrow$ 8) $v=\frac{1}{11} \cdot 340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 31 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

B1

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie

D

Zasady oceniania

1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, P

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości prędkości sondy oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką. 1 pkt - poprawne zastosowanie przybliżonego wzoru na efekt Dopplera w przypadku oddalającego się źródła fali oraz prawidłowa identyfikacja wielkości występujących w tym wzorze (tzn. podstawienie danych do wzoru albo zapisanie obok wartości wielkości występujących we wzorze) LUB

• poprawne zastosowanie ścisłego wzoru na efekt Dopplera w przypadku oddalającego się źródła fali oraz prawidłowa identyfikacja wielkości występujących w tym wzorze (tzn. podstawienie danych do wzoru albo zapisanie obok wartości wielkości występujących we wzorze) LUB

• poprawne zastosowanie przybliżonego lub ścisłego wzoru na efekt Dopplera w przypadku oddalającego się źródła fali oraz prawidłowe przekształcenie tego wzoru i wyprowadzenie wzoru pozwalającego obliczyć prędkość sondy. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga dodatkowa 1.

Gdy zdający zastosuje przybliżony wzór na efekt Dopplera w wersji z wartością bezwzględną:

$\frac{|\Delta f|}{f_{\mathrm{z} r}} \approx \frac{v}{c}$

to w rozwiązaniu nie wymaga się obliczenia/określenia częstotliwości odbieranej przez obserwatora (zobacz sposób 1. rozwiązania).

Uwaga dodatkowa 2.

Przybliżony wzór na efekt Dopplera, gdy źródło się oddala, zdający może zapisać w równoważnych (równoważnie przekształconych) postaciach. Poniżej kilka z nich:

$\begin{array}{llll} f_{o b} \approx f_{\dot{z} r}\left(1-\frac{v}{c}\right)\text { albo }\frac{f_{\dot{z} r}-f_{o b}}{f_{\dot{z} r}} \approx \frac{v}{c}\text { albo }$ $f_{\dot{z} r}-|\Delta f| \approx f_{\dot{z} r}\left(1-\frac{v}{c}\right)\text { albo }\frac{|\Delta f|}{f_{\dot{z} r}} \approx \frac{v}{c}\text { albo }$ $f_{o b} \approx f_{\dot{z} r}\left(\frac{c-v}{c}\right)\text { albo }v \approx\left(1-\frac{f_{o b}}{f_{\dot{z} r}}\right) c\text { albo }$ $f_{o b} c \approx f_{\dot{z} r}(c-v)\text { albo }v \approx c-c \frac{f_{o b}}{f_{\dot{z} r}} & \end{array}$

Ponadto zdający może wykorzystać fakt, że $c=\lambda_{\text {ź } r} f_{\text {źr }}$. W takiej sytuacji wzór na efekt Dopplera może być zapisany w postaci „mieszanej” (z częstotliwością i długością fali):

$c-v \approx \lambda_{\dot{z} r} f_{o b}$

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (z zastosowaniem przybliżonego wzoru Dopplera)

Sonda kosmiczna porusza się względem Ziemi z prędkością o wartości v dużo mniejszej od prędkości światła: $v \ll c$, a zatem możemy zastosować przybliżony wzór na efekt Dopplera dla fali świetlnej:

$\frac{|\Delta f|}{f_{\dot{z} r}} \approx \frac{v}{c} \quad \rightarrow \quad v \approx \frac{|\Delta f|}{f_{\dot{z} r}} \cdot c$

Zatem:

$v \approx \frac{750 \cdot 10^{3} \mathrm{~Hz}}{3 \cdot 10^{9} \mathrm{~Hz}} \cdot 3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \rightarrow v \approx 750 \cdot 10^{2} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}=75000 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}=75 \frac{\mathrm{~km}}{\mathrm{~s}}$

Uwaga!

Wzór $\frac{|\Delta f|}{f_{\text {źr }}} \approx \frac{v}{c}$ jest słuszny zarówno w przypadku, gdy źródło oddala się od obserwatora (wtedy: $\frac{f_{\text {źr }}-f_{\text {ob }}}{f_{\text {źr }}} \approx \frac{v}{c}$ ) jak i w przypadku, gdy źródło zbliża się do obserwatora (wtedy: $\frac{f_{o b}-f_{\dot{z} r}}{f_{\dot{z} r}} \approx \frac{v}{c}$ ).

Sposób 2. (z zastosowaniem ścisłego wzoru Dopplera)

Sonda kosmiczna oddala się od Ziemi, zatem zastosujemy wzór na efekt Dopplera dla fali elektromagnetycznej w przypadku, gdy źródło fali oddala się (częstotliwość fali odbieranej przez obserwatora jest mniejsza od częstotliwości źródła fali):

$f_{o b}=f_{\bar{z} r} \sqrt{\frac{c-v}{c+v}}$

Powyższy wzór przekształcimy i wyznaczymy $v$ :

$& \frac{f_{o b}^{2}}{f_{z r}^{2}}=\frac{c-v}{c+v}$ $& f_{o b}^{2} c+f_{o b}^{2} v=f_{z r}^{2} c-f_{z r}^{2} v$ $& f_{o b}^{2} v+f_{z r}^{2} v=f_{z r}^{2} c-f_{o b}^{2} c$ $& v=\frac{f_{z r}^{2}-f_{o b}^{2}}{f_{o b}^{2}+f_{z r}^{2}} \cdot c$ $& \text { oraz }$ $& f_{o b}=f_{z r}-|\Delta f|=3000000 \mathrm{kHz}-750 \mathrm{kHz}=2999250 \mathrm{~Hz}$ $& v=\frac{3^{2}-2,99925^{2}}{3^{2}+2,99925^{2}} \cdot 3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 0,00025 \cdot 3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}=75000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

Sposób 3. (z zastosowaniem przybliżonego wzoru Dopplera i wzoru na długość fali)

Przybliżony wzór na efekt Dopplera, gdy źródło się oddala, możemy zapisać w postaci:

$v \approx c-c \frac{f_{o b}}{f_{\mathrm{z} r}}=c-\lambda_{\mathrm{z} r} f_{o b} \quad \text { gdzie } \quad \lambda_{\mathrm{z} r}=\frac{c}{f_{\mathrm{z} r}}$

Wykonamy obliczenia pośrednie:

$& \lambda_{\mathrm{z} r}=\frac{c}{f_{\mathrm{z} r}}=\frac{3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{3 \cdot 10^{9} \frac{1}{\mathrm{~s}}}=0,1 \mathrm{~m}$ $& f_{o b}=f_{\mathrm{z} r}-|\Delta f|=3,000000 \cdot 10^{9} \frac{1}{\mathrm{~s}}-0,000750 \cdot 10^{9} \frac{1}{\mathrm{~s}}=2,999250 \cdot 10^{9} \frac{1}{\mathrm{~s}}$

Otrzymane wartości podstawimy do pierwszego wzoru:

$v \approx 3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}-0,1 \mathrm{~m} \cdot 2,999250 \cdot 10^{9} \frac{1}{\mathrm{~s}}=0,00075 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}=75000 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie

D

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna konstrukcja obrazu $A^{\prime} B^{\prime}$ przedmiotu $A B$ za pomocą promieni przechodzących przez środek i dolną część soczewki. 1 pkt - poprawna konstrukcja obrazu $A^{\prime}$ punktu $A$ za pomocą promieni przechodzących przez środek i dolną część soczewki LUB

• poprawna konstrukcja obrazu $B^{\prime}$ punktu $B$ za pomocą promieni przechodzących przez środek i dolną część soczewki. 0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

Pełne rozwiązanie

ROGJ399JDK8ER

Zadanie 8.2. (0‑3)

Powiększenie obrazu $A^{\prime} B^{\prime}$ (na ekranie) w stosunku do przedmiotu $A B$ (czyli iloraz $\frac{\left|A^{\prime} B^{\prime}\right|}{|A B|}$ długości obrazu i przedmiotu) jest równe $p$.

Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć ogniskową f soczewki w zależności od powiększenia $p$ oraz od odległości $x$ przedmiotu od soczewki. Zapisz przekształcenia oraz podaj w poniższej ramce otrzymaną postać tego wzoru.

$f=$

R1NDULMR8725V

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na ogniskową $f$ soczewki w zależności od $x$ i $p$ oraz zapisanie prawidłowej postaci tego wzoru. 2 pkt - poprawne zapisanie równania soczewki wyrażonego za pomocą wielkości: $x, p, f$, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\frac{1}{x}+\frac{1}{p x}=\frac{1}{f}$

1 pkt - poprawne zapisanie równania soczewki (z uwzględnieniem odpowiednich znaków) oraz poprawne zapisanie wyrażenia na powiększenie obrazu, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f} \quad \text { oraz } \quad\left(p=\frac{y}{x} \quad \text { albo } \quad p=\frac{\left|A^{\prime} B^{\prime}\right|}{|A B|}\right)$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

$f=\left(\frac{p}{p+1}\right) x$

Zapiszemy równanie soczewki skupiającej (z uwzględnieniem odpowiednich znaków), która wytwarza obraz rzeczywisty ( $y$ oznacza odległość obrazu $A^{\prime} B^{\prime}$ od soczewki):

$\text { 1) } \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{f}$

Powiększenie $p$ obrazu $A^{\prime} B^{\prime}$ przedmiotu $A B$ oznacza, że:

$\text { 2) } p=\frac{\left|A^{\prime} B^{\prime}\right|}{|A B|}$

Z podobieństwa trójkątów $A^{\prime} B^{\prime} O$ i $A B O$ wynika, że $\frac{y}{x}=\frac{\left|A^{\prime} B^{\prime}\right|}{|A B|}$, zatem:

$\text { 3) } p=\frac{y}{x}$

W równaniu 1) uwzględnimy równanie 3). Następnie wykonamy przekształcenia i wyznaczymy $f$ :

$\text { 4) } \frac{1}{x}+\frac{1}{p x}=\frac{1}{f} \quad \rightarrow \quad \text { 5) } \frac{p+1}{p x}=\frac{1}{f} \quad \rightarrow \quad \text { 6) } f=\left(\frac{p}{p+1}\right) x$

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

A 1

Zasady oceniania

4 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości głośnika oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką $v \approx 68 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$. 3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia oraz zapisanie związku $1,5 \approx \frac{v_{d}+v}{v_{d}-v}$ (lub w postaci równoważnej z prawidłowo zidentyfikowanymi prędkościami), tzn.: wykorzystanie wzorów Dopplera (albo metody jak w sposobie 3. rozwiązania) z poprawnie zidentyfikowanymi częstotliwościami oraz zastosowanie związku falowego oraz obliczenie ilorazu częstotliwości odbieranych przez mikrofony na podstawie obrazu powierzchni fazowych. 2 pkt - obliczenie ilorazu częstotliwości odbieranych przez mikrofony na podstawie obrazu powierzchni fazowych i związku falowego: $\frac{f_{1}}{f_{2}} \approx 1,5$ LUB

• poprawne wyprowadzenie wzoru $\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}=\frac{v_{d}+v}{v_{d}-v}$ (lub równoważnego), tzn.: wykorzystanie wzorów Dopplera z poprawnie zidentyfikowanymi częstotliwościami oraz zastosowanie związku falowego albo zastosowanie metody jak w sposobie 3. rozwiązania. 1 pkt - zapisanie wzorów Dopplera z poprawnym zidentyfikowaniem $f_{1}$ oraz $f_{2}$ LUB

• wyprowadzenie lub zapisanie związku $\frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$ (lub równoważnego) LUB

• obliczenie ilorazu długości fal na podstawie obrazu powierzchni fazowych: $\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} \approx 1,5$ LUB

• zapisanie wzorów na długości fali dźwiękowej w kierunku mikrofonów M1 i M2, np.: $\lambda_{1}=\lambda_{0}-v T, \lambda_{2}=\lambda_{0}+v T$ 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (z wykorzystaniem dokładnych wzorów Dopplera) Prędkość głośnika obliczymy na podstawie stosunku długości fal, określonego z obrazu powierzchni falowych oraz wyznaczonego ze wzorów Dopplera i związku falowego.

Zapiszemy wzory Dopplera na częstotliwość $f_{1}$, jaką rejestruje mikrofon M 1 , gdy głośnik zbliża się do niego oraz na częstotliwość $f_{2}$, jaką rejestruje mikrofon M 2 , gdy głośnik oddala się od niego. Ze wzorów tych wyznaczymy iloraz częstotliwości:

$\text { 1) }\left\{\begin{array}{l} f_{1}=f_{0} \cdot \frac{v_{d}}{v_{d}-v}$ $f_{2}=f_{0} \cdot \frac{v_{d}}{v_{d}+v} \end{array} \quad \rightarrow \quad \text { 2) } \quad \frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{v_{d}+v}{v_{d}-v}\right.$

gdzie $v$ jest wartością prędkości, z jaką głośnik zbliża się do M1 i jednocześnie oddala się od M2. Ze związków falowych wyprowadzimy wzór na iloraz długości fal: 3) $\left\{\begin{array}{l}v_{d}=f_{1} \lambda_{1}$ $v_{d}=f_{2} \lambda_{2}\end{array} \rightarrow\right.$ 4) $\frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}$ gdzie $\lambda_{1} \mathrm{i} \lambda_{2}$ są odpowiednio długościami fali dźwiękowej docierającej do M1 i fali dźwiękowej docierającej do M2. Zmierzymy długości fal na rysunku i obliczymy ich iloraz (równy ilorazowi długości fal w rzeczywistości). Długości fal mierzymy wzdłuż prostej $l$ między powierzchniami fazowymi (można zmierzyć dokładniej - np. na 4 długościach): 5) $\lambda_{1 R y s} \approx \frac{3,2 \mathrm{~cm}}{4} \approx 0,8 \mathrm{~cm} \quad \lambda_{2 R y s} \approx \frac{4,75 \mathrm{~cm}}{4} \approx 1,2 \mathrm{~cm}$ 6) $\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}=\frac{\lambda_{2 \text { Rys }}}{\lambda_{1 \text { Rys }}} \approx \frac{1,2 \mathrm{~cm}}{0,8 \mathrm{~cm}} \approx \frac{1,2}{0,8} \approx 1,5$

Wartość ilorazu 6) (długości fal) podstawiamy w miejsce prawej strony równania 4):

$\text { 7) } \frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} \approx 1,5$

Wartość ilorazu 7) (długości częstotliwości) podstawiamy w miejsce lewej strony równania 2). Otrzymane w ten sposób równanie przekształcimy, podstawimy dane i obliczymy prędkość głośnika:

$& \text { 8) } 1,5 \approx \frac{v_{d}+v}{v_{d}-v} \rightarrow 1,5 v_{d}-1,5 v \approx v_{d}+v \quad \rightarrow \quad 0,5 v_{d} \approx 2,5 v$ $& \text { 9) } \left.v \approx \frac{v_{d}}{5} \quad \rightarrow \quad 10\right) \quad v \approx \frac{340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{5} \approx 68 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Sposób 2. (z wykorzystaniem przybliżonych wzorów Dopplera)

Prędkość głośnika obliczymy na podstawie stosunku długości fal, określonego z obrazu powierzchni falowych oraz wyznaczonego ze wzorów Dopplera i związku falowego.

Z obrazu powierzchni falowych wnioskujemy, że prędkość głośnika jest znacznie mniejsza od prędkości dźwięku. Dlatego użyjemy przybliżonych wzorów Dopplera. Zapiszemy przybliżone wzory Dopplera na częstotliwość $f_{1}$, jaką rejestruje mikrofon M 1 , gdy głośnik zbliża się do niego oraz na częstotliwość $f_{2}$, jaką rejestruje mikrofon M 2 , gdy głośnik oddala się od niego. Ze wzorów tych wyznaczymy iloraz częstotliwości:

$\text { 1) }\left\{\begin{array}{ll} f_{1} \approx f_{0} \cdot\left(1+\frac{v}{v_{d}}\right)$ $f_{2} \approx f_{0} \cdot\left(1-\frac{v}{v_{d}}\right) \end{array} \quad \rightarrow \quad \text { 2) } \quad \frac{f_{1}}{f_{2}}=\frac{v_{d}+v}{v_{d}-v}\right.$

Ciąg dalszy rozwiązania jest taki sam, jak w sposobie 1.

Sposób 3. (bez użycia wzorów Dopplera)

Prędkość głośnika obliczymy na podstawie stosunku długości fal, określonego z obrazu powierzchni falowych oraz związku falowego.

Niech $\lambda_{1} \mathrm{i} \lambda_{2}$ będą długościami fali dźwiękowej docierającej odpowiednio do mikrofonów M1 i M2. Oznaczymy też jako $\lambda_{0}$ długość fali, jaka byłaby emitowana z nieruchomego głośnika. Ponieważ głośnik porusza się w kierunku mikrofonu M1, to porusza się także w kierunku powierzchni falowej wysłanej do tego mikrofonu (głośnik „goni” wysyłane przez siebie fale w kierunku M1). Zatem kolejna powierzchnia falowa, jaką wyśle głośnik po czasie jednego okresu (swoich drgań) w kierunku M1, będzie bliżej poprzednio wysłanej powierzchni o odległość $s=v T$. Z drugiej strony głośnik oddala się od powierzchni falowej wysłanej w kierunku mikrofonu M2. Zatem kolejna powierzchnia falowa, jaką wyśle głośnik po czasie jednego okresu w kierunku M2, będzie dalej od poprzednio wysłanej powierzchni o odległość $s=v T$. Stąd otrzymujemy:

1. $\left\{\begin{array}{l}\lambda_{1}=\lambda_{0}-v T$ $\lambda_{2}=\lambda_{0}+v T\end{array} \rightarrow\right.$

2. $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\frac{\lambda_{0}-v T}{\lambda_{0}+v T}=\frac{1-\frac{v T}{\lambda_{0}}}{1+\frac{v T}{\lambda_{0}}}$

Ze związku falowego otrzymamy: 3) $v_{d}=\frac{\lambda_{0}}{T}$ 4) $\frac{1}{v_{d}}=\frac{T}{\lambda_{0}}$

Na podstawie równań 2) i 4) otrzymujemy: 5) $\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}=\frac{1-\frac{v}{v_{d}}}{1+\frac{v}{v_{d}}}$ 6) $v=\frac{\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}-1}{\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}+1} v_{d}$

Zmierzymy na rysunku długości fal. lloraz długości fal w rzeczywistości i na rysunku jest taki sam, zatem:

$\text { 7) } \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}}=\frac{\lambda_{2 R y s}}{\lambda_{1 R y s}} \approx \frac{1,2 \mathrm{~cm}}{0,8 \mathrm{~cm}} \approx \frac{1,2}{0,8} \approx 1,5$

Zależność 7) podstawimy do równania 6) i obliczymy prędkość głośnika:

$v=\frac{1,5-1}{1,5+1} \cdot 340 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}=68 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie

D

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Rozwiązanie

A

Zasady oceniania

4 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta granicznego dla materiału pryzmatu oraz kąta $\alpha_{3}$, prawidłowe wyniki liczbowe, porównanie obu kątów oraz zapisanie poprawnego wniosku: Promień światła nie wyjdzie przez powierzchnię BC. 3 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta granicznego dla materiału pryzmatu i prawidłowy wynik liczbowy: $\alpha_{g} \approx 36,8^{\circ}$ oraz zapisanie związku pozwalającego obliczyć $\alpha_{3}$ : $60^{\circ}+\left(90^{\circ}-\alpha_{2}\right)+\left(90^{\circ}-\alpha_{3}\right)=180^{\circ}$. 2 pkt - poprawna metoda obliczenia współczynnika załamania światła dla materiału pryzmatu i prawidłowy wynik liczbowy: $n \approx 1,67$ LUB

• poprawna metoda obliczenia kąta granicznego dla materiału pryzmatu i prawidłowy wynik liczbowy: $\alpha_{g} \approx 36,8^{\circ}$

LUB

• zapisanie związku $\frac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=n$ oraz związku pozwalającego obliczyć $\alpha_{g}$ : $\sin \alpha_{g}=\frac{1}{n}$ (zapis może być w postaci jednego równania: $\sin \alpha_{g}=\frac{\sin \alpha_{2}}{\sin \alpha_{1}}$ ) oraz zapisanie związku pozwalającego obliczyć $\alpha_{3}: 60^{\circ}+\left(90^{\circ}-\alpha_{2}\right)+\left(90^{\circ}-\alpha_{3}\right)=180^{\circ}$. 1 pkt - zapisanie strategii rozwiązania polegającej na porównaniu kąta $\alpha_{3}$ z kątem granicznym $\alpha_{g}$ dla materiału pryzmatu LUB

• zapisanie związku $\frac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=n$ oraz poprawne obliczenie co najmniej jednego kąta lub wartości jednego z sinusów LUB

• zapisanie związku $\frac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=n$ oraz związku pozwalającego obliczyć $\alpha_{3}$ : $60^{\circ}+\left(90^{\circ}-\alpha_{2}\right)+\left(90^{\circ}-\alpha_{3}\right)=180^{\circ}$ LUB

• zapisanie związku $\frac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=n$ oraz związku pozwalającego obliczyć $\alpha_{g}$ : $\sin \alpha_{g}=\frac{1}{n}$ (zapis może być w postaci jednego równania: $\sin \alpha_{g}=\frac{\sin \alpha_{2}}{\sin \alpha_{1}}$ ). 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Żeby rozstrzygnąć, czy promień wyjdzie na zewnątrz pryzmatu przez powierzchnię $B C$, należy ustalić, czy kąt $\alpha_{3}$ jest większy, czy mniejszy od kąta granicznego $\alpha_{g}$ dla materiału pryzmatu. Jeśli okaże się, że $\alpha_{3}>\alpha_{g}$, to nastąpi całkowite wewnętrzne odbicie od powierzchni $B C$, a jeśli $\alpha_{3}<\alpha_{g}$, to promień przejdzie na zewnątrz pryzmatu. Żeby ustalić tę relację, należy obliczyć $\alpha_{3}$.

1. Obliczymy katy $\alpha_{1}$ oraz $\alpha_{2}$. W tym celu na podstawie rysunku obliczymy tangensy tych kątów i następnie użyjemy kalkulatora naukowego:

$\begin{array}{ll} \operatorname{tg} \alpha_{1}=\frac{15}{19} \approx 0,790\xrightarrow{\text { kalkulator naukowy }} \quad \alpha_{1} \approx 38,3^{\circ}$ $\operatorname{tg} \alpha_{2}=\frac{10}{25}=0,4\xrightarrow{\text { kalkulator naukowy }} \quad \alpha_{2} \approx 21,8^{\circ} \end{array}$

2. Obliczymy współczynnik załamania światła ( $n$ ) dla materiału pryzmatu i następnie kąt graniczny ( $\alpha_{g}$ ):

$\begin{array}{ll} \frac{\sin \alpha_{1}}{\sin \alpha_{2}}=n\rightarrow \quad n \approx \frac{\sin 38,3^{\circ}}{\sin 21,8^{\circ}} \approx 1,67$ $\sin \alpha_{g}=\frac{1}{n} \approx 0,599\xrightarrow{\text { kalkulator naukowy } \quad \alpha_{g} \approx 36,8^{\circ}} \end{array}$

3. Obliczymy kąt $\alpha_{3}$. W tym celu wykorzystamy podstawowe związki geometryczne:

$& \Varangle A C B+\left(90^{\circ}-\alpha_{2}\right)+\left(90^{\circ}-\alpha_{3}\right)=180^{\circ}$ $& 60^{\circ}+\left(90^{\circ}-\alpha_{2}\right)+\left(90^{\circ}-\alpha_{3}\right)=180^{\circ} \rightarrow 60^{\circ}-21,8^{\circ}-\alpha_{3}=0$ $& \alpha_{3}=38,2^{\circ}$

4. Porównujemy kąty i formułujemy wniosek:

$\alpha_{3}>\alpha_{g}$

Promień światła nie wyjdzie przez powierzchnię BC, tylko ulegnie całkowitemu wewnętrznemu odbiciu.

Zasady oceniania

2 pkt - poprawna konstrukcja kierunku i zwrotu siły $\vec{F}_{\text {św }}$, z jaką impuls światła działa na ośrodek w punkcie $G$ : tzn. prawidłowe wyznaczenie kierunku i zwrotu wektora różnicy pędów oraz narysowanie i podpisanie wektora przeciwnego (do wektora różnicy pędów). 1 pkt - poprawna konstrukcja kierunku i zwrotu siły, z jaką ośrodek działa na impuls światła w punkcie $G$ : (tzn. wystarczy prawidłowe wyznaczenie kierunku i zwrotu wektora różnicy pędów). 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Najpierw wyznaczymy kierunek i zwrot siły $\vec{F}_{o s}$, z jaką materia ośrodka działa na impuls światła w punkcie $G$. Wykorzystamy korpuskularną naturę światła oraz fakt, o którym mówi II zasada dynamiki, że zmiana wektora pędu podzielona przez czas jest równa sile. Zatem wektor różnicy pędów impulsu światła ma kierunek i zwrot taki sam jak wektor siły (oddziaływania materii ośrodka na impuls światła):

Skoro $\quad \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}=\vec{F}_{o \text { ś }} \quad$ to $\quad \vec{p}_{2}-\vec{p}_{1} \propto \vec{F}_{o \text { ś }}$

Następnie skorzystamy z III zasady dynamiki: siła, z jaką impuls światła działa na punkt materii ośrodka, ma kierunek i zwrot przeciwny do siły, z jaką punkt materii ośrodka działa na impuls światła:

$\vec{F}_{\hat{s} w}=-\vec{F}_{o s}$

[Konstrukcję na rysunku oznaczono kolorem fioletowym i kolorem zielonym.]

R159JRA8GH9PT