To ciekawe

Przyzwyczajeni jesteśmy do klasycznego wzoru opisującego związek między prędkością cząstki a energią ruchu, nazywaną energię kinetyczną, w postaci $E_{kin}=\frac{mv^{2}}{2}$. Wzór ten można wyprowadzić, wyznaczając pracę wykonaną przy rozpędzaniu ciała przez wypadkową sił zewnętrznych działających na ciało. Jaki uzyskuje się wzór, jeżeli siłę opiszemy klasycznym wzorem w tak zwanej postaci uogólnionej $\overrightarrow{F}=\frac{\overrightarrow{\Delta p}}{\Delta t}$, ale pęd występujący we wzorze opiszemy wzorem relatywistycznym $\overrightarrow{p}=\frac{m\overrightarrow{v}}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}$? Dowiesz się tego w tym e‑materiale.

Warto przeczytać

Albert Einstein wyprowadził wzór na relatywistyczną energię kinetycznąPęd relatywistycznyrelatywistyczną energię kinetyczną jako pracę wykonaną przy rozpędzaniu ciała przez wypadkową sił zewnętrznych. Uwzględniając efekty wynikające z dużych prędkości ciała, otrzymał zależność:

gdzie $E_{kin}$ to energia kinetyczna ciała, $m$ – masa ciała, $v$ – prędkość ciała, $c$ – prędkość światła w próżni. We wzorze tym pojawiła się wielkość $mc^{2}$ niezależna od prędkości ciała, związana z masą ciała. Wielkość tę Einstein zinterpretował jako energię wynikającą z masy ciała i niezależną od jego ruchu i oddziaływań. Energia ta została nazwana energią spoczynkową.

Wzór relatywistyczny na energię kinetyczną nie bardzo przypomina klasyczny wzór na energię kinetyczną $E_{kin}=\frac{mv^{2}}{2}$.

R1IO1NyNHgxKI

Rys. 1. Zdjęcie poglądowe przedstawia fragment wielkiego zderzacza hadronów (LHC). Wygląda to jak betonowy korytarz z wielką metalową kolorową rurą z podłączeniami.

Jednak przekształcając wzór (1) i stosując przybliżenie dla małych prędkości możemy otrzymać postać, którą bardzo dobrze znasz z wcześniejszej nauki. Oto wyprowadzenie:

Sprowadzając do wspólnego mianownika wyrażenie w nawiasie, otrzymujemy:

Następnie mnożąc licznik i mianownik przez wyrażenie $1+\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}$otrzymamy:

Po kolejnych przekształceniach i skróceniu $c^{2}$

Dla $v\ll c$, wyrażenie $\left(\frac{v}{c}\right)^{2}$ niewiele różni się od zera, możemy to wyrażenie pominąć i wówczas w mianowniku pozostaje 2. Zatem otrzymamy:

czyli wzór klasyczny na energię kinetyczną.

Z przedstawionego wyprowadzenia wynika że, wzór klasyczny jest przybliżeniem wzoru relatywistycznego dla prędkości obiektu dużo mniejszych od prędkości świata w próżni. Zatem dla typowych prędkości, z jakimi mamy do czynienia na co dzień, energię kinetyczną zupełnie poprawnie opisuje klasyczny wzór, do którego się przyzwyczailiśmy.

Postawmy pytanie: jaka jest graniczna prędkość, powyżej której konieczne staje się stosowanie wzoru relatywistycznego? Oczywiście zależy to od dokładności interesujących nas obliczeń. Sprawdźmy, jaka będzie różnica w wyniku obliczeń energii kinetycznej przy podstawieniu wartości liczbowych do wzoru relatywistycznego i do wzoru klasycznego na przykład dla wartości $v=0,1c$.

Wyrazimy w procentach różnicę otrzymanych wyników. W tym celu obliczamy wartość wyrażenia:

gdzie $E_{rel}$ – to energia kinetyczna obliczona na podstawie wzoru relatywistycznego, $E_{klas}$ – energia kinetyczna obliczona ze wzoru klasycznego. Podstawiając odpowiednie wyrażenia otrzymujemy:

Dla $v=0,1c$ otrzymujemy wartość 0,00756. Czyli przy prędkości ciała równej 10% prędkości światła otrzymujemy różnicę miedzy wynikami uzyskanymi na podstawie wzoru relatywistycznego i wzoru klasycznego na energie kinetyczną o wartości poniżej 1%.

Dla ilustracji wpływu prędkości ciała na energię kinetyczną na Rys. 2. przedstawione zostały wykresy zależności energii kinetycznej od prędkości dla dwóch sposobów obliczenia energii kinetycznej: ze wzoru klasycznego: $E_{kin}=\frac{mv^{2}}{2}$ i ze wzoru relatywistycznego

R1FpN4z5eCvxQ

Rys. 2. Rysunek przedstawia wykres zależności energii kinetycznej od prędkości. Pokazano prostokątny układ współrzędnych z pionową osią bezjednostkową przedstawiającą ile razy większa jest dana energia kinetyczna od energii spoczynkowej. Oś ta jest oznaczona ułamkiem, w którego liczniku znajduje się wielka litera E z indeksem dolnym małe k, a w mianowniku znajduje się mała litera m i mała litera c wzięta do kwadratu. Oś ta zawiera wartości od zera do pięciu z podziałką co jeden. Pozioma oś współrzędnych przedstawia prędkość jako wielokrotność prędkości światła i jest oznaczona małą literą v. Zawiera ona wartości od zera do jeden z podziałką co zero przecinek dwa. W układ ten wrysowano dwie funkcje narysowane czarnym kolorem. Pierwsza rośnie bardzo powoli ze wzrostem prędkości i odpowiada energii kinetycznej opisanej następującym wzorem: wielka litera E z indeksem dolnym małe k równa się ułamkowi, w którego liczniku znajduje się mała litera m oraz mała litera v wzięta do kwadratu, a w mianowniku liczba dwa. Druga rośnie tym szybciej, im większa jest prędkość dążąc do nieskończoności gdy prędkość dąży do prędkości światła i odpowiada energii kinetycznej opisanej następującym wzorem: wielka litera E z indeksem dolnym małe k równa się małej literze m i małej literze c podniesionej do kwadratu pomnożonym przez nawias, wewnątrz którego znajduje się ułamek, od którego odjęto liczbę jeden. W liczniku tego ułamka znajduje się liczba jeden, a w mianowniku znajduje się pierwiastek, pod którym od liczby jeden odjęto małą literę v podniesioną do kwadratu podzieloną przez małą literę c podniesioną do kwadratu.

Wykres pokazuje, że istotne różnice w wartości energii kinetycznej obliczonej na postawie wzoru relatywistycznego i klasycznego pojawiają się przy prędkościach ciała około $0,2c$. Natomiast dla prędkości dążącej do prędkości światła, energia kinetyczna dąży do nieskończoności. Pokazuje to również, że prędkość światła jest niemożliwa do osiągnięcia przez obiekty obdarzone masą, gdyż przy prędkości światła ich energia stawałaby się nieskończenie duża. Jest zatem prędkością graniczną dla obiektów materialnych.

Słowniczek