To ciekawe

Wzór $E=mc^{2}$ jest powszechnie uznawany za najbardziej znany wzór fizyki. Nawet w popularnej książce „Krótka historia czasu”, w której Stephen Hawking nie chciał stosować wzorów matematycznych, stwierdził, że tego jednego nie może uniknąć. Co stoi za tym krótkim wzorem? Dlaczego jest tak ważny?

Warto przeczytać

RHNazB5kR6giF

Rys. 1. Zdjęcie poglądowe przedstawia młodego Alberta Einstein'a. Mężczyzna ma lekko kręcone włosy i wąsy. Pozuje do zdjęcia elegancko ubrany w dwuczęściowy garnitur z kamizelką, z grubszego materiału w kratkę. Całość dopełnia biała koszula w paski oraz ciemny krawat.

Albert Einstein (Rys. 1.) wyprowadzając wzór na relatywistyczną energię kinetyczną jako pracę wykonaną przy rozpędzaniu ciała, równą iloczynowi siły i przemieszczenia przy rozpędzaniu ciała, otrzymał zależność:

Gdzie $E_{kin}$ to energia kinetyczna ciała, $m$ – masa ciała nazywana niekiedy także masą spoczynkową, $v$ – prędkość ciała, $c$ – prędkość światła w próżni.

We wzorze tym pojawiła się wielkość $mc^{2}$ niezależna od prędkości ciała, związana z masą ciała. Wielkość tę Einstein zinterpretował jako energię wynikającą z masy ciała i niezależną od jego ruchu i oddziaływań. Została ona nazwana energią spoczynkową.

Wielkość równą sumie energii kinetycznej i spoczynkowej nazywa się energią całkowitą ciała:

Zatem energią spoczynkową ciała nazywa się energię, jaką wykazuje ciało w układzie odniesienia, w którym spoczywa. Wynika ona z masy ciała, można też powiedzieć, że przejawia się ona masą ciała. Energia ta zmienia się, gdy ciało emituje lub pochłania energię z zewnątrz, co przejawia się również zmianą jego masy.

Na przykład: jeżeli zwiększymy energię wewnętrzną ciała w wyniku ogrzewania, to wzrasta również jego masa.

Co więc wynika ze wzoru $E=mc^{2}$?

I czy odczuwamy to na co dzień?

Rozwiążmy prosty przykład rachunkowy związany z powyższym zagadnieniem.

Oszacujmy, jaki powinniśmy obserwować przyrost masy 1 kg wody przy ogrzaniu go od temperatury topnienia: 0°C, do temperatury wrzenia: 100°C. Zakładamy, że woda nie paruje w czasie ogrzewania– nie zmienia się zatem liczba cząsteczek wody.

Energię, którą musimy dostarczyć do ogrzania wody, obliczymy ze wzoru:

Gdzie:

$\Delta E$ – dostarczona energia w postaci ciepła;

$m$ – masa wody, $m$ = 1 kg;

$c$ – ciepło właściwe wody $c$ = 4190 J/(kg·K);

$\Delta T$ – zmiana temperatury ogrzanej wody, w tym przypadku $\Delta T$ = 100° = 100 K;

Stąd:

Obliczmy przyrost masy $\Delta m$ wynikający z dostarczonej energii, korzystając ze wzoru Einsteina:

Jak widać z przeprowadzonych obliczeń, nawet stosunkowo duży jak na warunki codzienne przypływ energii, nie ma praktycznie wpływu na masę ciała.

Z odkrycia Einsteina wynika, że mierzona masa ciała składa się z masy budującej je materii i zawartej w nim energii wewnętrznej. Dla układu ciał energia spoczynkowa, zatem i masa, wynika z sumy mas budujących je elementów, energii kinetycznej składników i energii oddziaływań między składnikami.

Na przykład dla najprostszego atomu – atomu wodoru, w skład energii spoczynkowej wchodzą masa jądra czyli protonu, masa elektronu, ale również energia kinetyczna elektronu i energia odziaływania między elektronem i protonem.

Łączna energia oddziaływania i kinetyczna elektronu da się opisać wzorem

Zatem energia spoczynkowa atomu wodoru może być opisana wzorem:

gdzie:

$E$ – energia spoczynkowa atomu wodoru;

$m_{p}$ – masa protonu;

$m_{e}$ – masa elektronu;

$r$ – promień orbity elektronu;

$e$ – ładunek elektronu.

Łączna energia spoczynkowa swobodnych elektronu i protonu

Energia spoczynkowa wynikająca z ruchu orbitalnego elektronu i oddziaływań między elektronem i protonem wynosi:

Jak widać również energia ruchu elektronu i odziaływań stanowi niewielką część energii spoczynkowej atomu wodoru, a zatem i jego masy. Zmniejszenie masy, wynikające z energii wiązania wynosi w tym przypadku około 10Indeks górny -6^-6%.

Ubytek masy związany z dużą wartością energii oddziaływania, jest widoczny dopiero w skali jąder atomowych. Z powodu dużej wartość siły oddziaływania jądrowegoOddziaływanie jądroweoddziaływania jądrowego, w samorzutnych reakcjach jądrowych, na przykład syntezie jądrowej, ubytek masy staje się mierzalny. W konsekwencji masa jąder atomowych jest mniejsza od sumy mas nukleonówNukleonnukleonów, które te jądra budują. Efekt ten nazywany jest deficytem lub niedoborem masy.

Na przykład jadro helu składające się z dwóch protonów i dwóch neutronów ma masę $m_{j}$ = 6,645 · 10Indeks górny -27^-27 kg. Natomiast masa dwóch protonów i dwóch neutronów $m_{n}$ = 6,696 · 10Indeks górny -27^-27 kg. Zatem różnica mas nukleonów i jądra na które się składają wynosi:

Stanowi to około 0,7% masy nukleonów tworzących jądro. Mierzalny deficyt masy pozwala obliczyć energii wiązania nukleonów w jądrach atomowych i energii wydzielanej w reakcjach jądrowych. W opisie reakcji jądrowych nie można korzystać z zasady zachowania masy, czy też energii w rozumieniu klasycznym. Zachowana jest natomiast energia całkowita w ujęciu relatywistycznym. W reakcjach tych zachowany jest również pęd i ładunek elektryczny.

Warto pamiętać, iż Słońce w każdej sekundzie zamienia ponad 4 mln ton swej masy w energię (przy czym 657 mln ton wodoru przekształcane jest w 653 mln ton helu).

W świecie cząstek elementarnych dosyć często obserwuje się przejawy związku energii spoczynkowej i masy ciała. Między innymi energia z formy promieniowania elektromagnetycznego zamienia się w formę energii spoczynkowej cząstek i odwrotnie. Zjawiska te nazywa się kreacją i anihilacją cząstek.

Słowniczek