To ciekawe

Anihilacja, w wyniku której materia i antymateria znikają, zamieniając się w promieniowanie, wydaje się czymś egzotycznym, dalekim od życia codziennego. A jednak właśnie to zjawisko wykorzystuje się w medycynie podczas badania metodą pozytonowej tomografii emisyjnej (PET). Schemat urządzenia PET pokazany jest na rysunku. Praktyczne zastosowanie zjawiska anihilacji wymaga doskonałej znajomości praw nim rządzących. Zajmiemy się tym zagadnieniem w tym e‑materiale.

RyGT4IGNCO69Y

Rys. a. Ilustracja przedstawia schemat tomografu nuklearnego. Na rysunku widać postać leżącą na wznak. Głowę skierowaną ma w prawą stronę. Głowę pacjenta otacza pierścień o znacznej średnicy tak, że uszy pacjenta znajdują się dokładnie w jego przekroju. Pod głową pacjenta widać, w powiększeniu, jak przebiega proces anihilacji wewnątrz głowy pacjenta. Narysowano zieloną kulę z dwoma mniejszymi elementami wewnątrz. Kula pierwsza mieści wewnątrz dwie małe: czerwoną e z indeksem górnym plus oraz niebieską e z indeksem górnym minus. Na prawo i lewo od nich zaznaczono czerwone strzałki opisane grecką literą gamma. Poniżej, również wewnątrz zielonej kuli, zaznaczono kwant. Promieniowanie jest symbolicznie skierowane w postaci czarnych przerywanych linii na głowę pacjenta i jest na niej skupiane. Aparatura znajdująca się pod pierścieniem podłączona jest do miernika narysowanego w postaci szarego, pionowego prostokąta z czarnymi prostokątnymi przyciskami. Poniżej pacjenta znajduje się symbol radioaktywności w postaci kółka podzielonego na sześć części pokolorowane co druga na żółto, a co druga na czarno. Po prawej stronie, u dołu ilustracji widoczny jest rysunek szarego monitora, na którym na czarnym tle wyświetla się schematyczny obraz ludzkiego mózgu.

Warto przeczytać

Każda cząstka elementarna posiada swoją antycząstkę. Antycząstka ma taką samą masę jak cząstka, ale przeciwny ładunek. Gdy cząstka i antycząstka spotkają się, następuje anihilacja – obie cząstki znikają, a ich energia całkowita zamienia się na energię promieniowania elektromagnetycznego. We Wszechświecie nie obserwuje się występowania skupisk antymaterii, ale pojedyncze antycząstki wciąż powstają, nawet w naszym otoczeniu. W promieniowaniu kosmicznym docierającym do Ziemi zdarzają się kwanty gamma o bardzo dużej energii, które mogą spowodować kreację pary cząstka – antycząstka.

Zjawisko kreacji pary elektron – pozyton polega na zamianie fotonu promieniowania gamma na dwie cząstki - elektron i antyelektron, zwany pozytonem. Pozyton ma masę identyczną z masą elektronu. Ładunki elektronu i pozytonu mają taka samą wartość $e$ (ładunek elementarny), są jednak przeciwnych znaków. Ładunek elektronu jest ujemny, -$e$, a pozytonu dodatni, +$e$.

Zjawisko kreacji par nie może zajść w próżni, nie pozwala na to zasada zachowania pęduPędpędu i energii. Musi wziąć w nim udział dodatkowe ciało, które odbiera część energii i pędu fotonu. Najczęściej jest to jądro atomowe. Kreacja par zachodzi więc, gdy foton promieniowania gamma przechodzi przez materię. Foton o wysokiej energii zderza się z jądrem atomowym. W zderzeniu tym foton traci całą swą energię i jej kosztem powstaje para cząstek – elektron i pozyton. Jądro atomowe, które brało udział w zderzeniu, nie ulega zmianie, odbiera tylko pewną część energii i pędu. A co stało się z fotonem? Skoro oddał całą energię, to po prostu zniknął. Natomiast pojawiły się dwie nowe cząstki, które wcześniej nie istniały: elektron i pozyton. Oczywiście w tym procesie muszą pozostać spełnione podstawowe zasady zachowania: zasada zachowania energii, pędu, a także ładunku. Kreacja pary elektron – pozyton przedstawiona jest schematycznie na Rys. 1.

RlqlgdABcfVDf

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest zamalowany na czarno okrąg symbolizujący jądro atomowe. Na jądro z lewej strony pada foton narysowany w postaci poziomej, falistej czarnej strzałki. Po prawej stronie atomu widoczne są dwie czarne strzałki. Jedna z nich skierowana jest w prawo i w górę i podpisana, jako pozyton, a druga skierowana jest w prawo i w dół i podpisana, jako elektron.

Łatwo wykazać, że całkowity ładunek elektryczny jest zachowany. Przed kreacją pary mamy foton o zerowym ładunku, po kreacji elektron o ładunku -$e$ i pozyton o ładunku +$e$. Suma ładunków powstałych cząstek wynosi zero.

Energia fotonu, $E=h\nu$, zamienia się na energie spoczynkowe elektronu i pozytonu $2m{c}^2$, energię kinetyczną elektronu $E_{ke}$ oraz pozytonu $E_{kp}$.

Zasadę zachowania energii możemy zapisać równaniem:

W procesie tworzenia par energia przekazana jądru jest zaniedbywalna, ponieważ jądro ma dużo większą masę od masy elektronu. Wiemy z codziennego doświadczenia, że gdy piłka odbija się od obiektu o znacznie większej masie, na przykład od ciężarówki, energię przekazaną ciężarówce można zaniedbać.

Z powyższego równania można wyznaczyć minimalną energię fotonu, który spowoduje kreację pary elektron – pozyton. Energii musi wystarczyć na utworzenie elektronu i pozytonu o energiach spoczynkowych sumujących się do $2m{c}^2$. W skrajnym przypadku energie kinetyczne utworzonych cząstek równe są zero. Graniczna energia fotonu (wyrażona w elektronowoltachElektronowolt (eV)elektronowoltach) wynosi więc

Fotony o energiach przekraczających tę wartość leżą w zakresie promieniowania gamma. Prawdopodobieństwo kreacji pary elektron–pozyton silnie rośnie wraz z energią fotonu.

Proces odwrotny do kreacji par elektron–pozyton to anihilacja, która zachodzi, gdy elektron i pozyton spotkają się. Podczas anihilacji elektron i pozyton znikają, a pojawia się promieniowanie w postaci fotonów gamma. Podczas anihilacji co najmniej energia spoczynkowa elektronu i pozytonu zamienia się w energię promieniowania elektromagnetycznego.

Gdy pozyton pojawi się w materii, szybko natrafi na elektron, z którym przyciągają się siłami elektrycznymi.

Zasada zachowania pędu mówi, że całkowity pęd zamkniętego układu zawsze pozostaje stały. W wyniku anihilacji nie może powstać pojedynczy foton, bo każdy foton unosi pęd

Aby całkowity pęd po anihilacji pozostał równy zeru, musza powstać dwa fotony o pędach o równej wartości i przeciwnie skierowanych (Rys. 2.). Kierunki emisji fotonów są przypadkowe, ale zawsze kąt między kierunkami emisji cząstek wynosi 180°.

R530y7NjB3r7h

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest, obok siebie, elektron narysowany w postaci niebieskiej kulki i pozyton, przedstawiony jako pomarańczowa kulka po prawej stronie od elektronu. Spomiędzy elektronu i pozytonu wychodzą dwie czerwone pofalowane strzałki. Jedna z nich biegnie w górę i w lewo a druga w dół i w prawo. Każda z nich podpisana jest jako foton. Obrazek przedstawia emisję fotonów w przypadku zderzenia pozytonu i elektronu.

Związek energii fotonu z jego pędem opisuje wzór

Zatem skoro wartości pędów fotonów są jednakowe, równe muszą być ich energie.

Obliczmy energie fotonów powstałych w wyniku anihilacji pary elektron – pozyton. Skorzystamy z zasady zachowania energii. Energia spoczynkowa elektronu, a także pozytonu, wynosi 0,51 MeV. Całkowita energia, która zamienia się na energię promieniowania wynosi więc 2·0,51 MeV = 1,02 MeV. Energia ta rozdzielona jest równo między dwa fotony. Każdy z nich unosi energie równą 0,51 MeV.

W zjawisku anihilacji również całkowity ładunek elektryczny jest zachowany. Przed anihilacją mamy elektron o ładunku -$e$ i pozyton o ładunku +$e$, których suma ładunków wynosi zero. Powstają dwa fotony o zerowym ładunku, więc i po anihilacji całkowity ładunek też jest zerowy.

Słowniczek