Nowy dokument - Fizyka relatywistyczna i jądrowa. Ćwiczenia podsumowujące

Informator o egzaminie maturalnym z fizyki od roku szkolnego 2024/2025

Ćwiczenie 1

Zadanie 25. Jądro technetu

W diagnostyce i terapii medycznej stosuje się m.in. jądrowe promieniowanie gamma z zakresu niskich energii. Źródłem takiego promieniowania są procesy zachodzące w jądrach izotopów pierwiastków promieniotwórczych. Jednym z takich procesów, które wykorzystuje się w medycynie, jest przejście jądra technetu ${ }_{43}^{99 \mathrm{~m}} \mathrm{Tc}$ ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego ${ }^{99} \mathrm{Tc}$ (lewy górny indeks ${ }^{\mathrm{m}}$ oznacza stan wzbudzony). W tym procesie jest emitowany kwant gamma.

Czas połowicznego rozpadu (w tym przypadku przejścia do stanu podstawowego) wzbudzonych jąder technetu wynosi $T=6 \mathrm{~h}$ . Masa jądra technetu ${ }^{99} \mathrm{Tc}$ w stanie podstawowym wynosi $m=164,23768 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}$ .

Jądra wzbudzonego technetu ${ }_{43}^{99 \mathrm{~m}} \mathrm{Tc}$ otrzymuje się m.in. w wyniku przemiany $\beta^{-}$ , której podlegają jądra izotopu molibdenu ${ }^{99} \mathrm{Mo} . \mathrm{W}$ innej metodzie jądra wzbudzonego technetu ${ }_{43}^{99 \mathrm{~m}}$ Tc otrzymuje się w wyniku ostrzeliwania wiązką rozpędzonych protonów tarczy z izotopu molibdenu ${ }^{100} \mathrm{Mo}$ . Gdy jeden proton uderzy w jądro ${ }^{100} \mathrm{Mo}$ , to dochodzi do reakcji jądrowej, której produktami są jądro ${ }_{43}^{99 \mathrm{~m}} \mathrm{Tc}$ oraz dwie pewne cząstki elementarne.

Zadanie 25.1. (0‑3)

Zapisz równania reakcji/przemian jądrowych 1.-3., opisanych w informacji do zadania 25. Uwzględnij liczby atomowe oraz liczby masowe jąder, oznaczenie stanu wzbudzonego jądra, oznaczenie fotonu oraz liczbę cząstek elementarnych.

Reakcja przemiany jądra technetu ze stanu wzbudzonego do stanu podstawowego.
Reakcja przemiany $\beta^{-}$ , w wyniku której $z$ jądra ${ }^{99}$ Mo powstaje jądro technetu $w$ stanie wzbudzonym.
Reakcja jądrowa zderzenia protonu z jądrem ${ }^{100} \mathrm{Mo}$ , w wyniku której powstaną jądro technetu w stanie wzbudzonym i dwie cząstki elementarne.

Pełne rozwiązanie

${ }_{43}^{99 \mathrm{~m}} \mathrm{Tc} \rightarrow{ }_{43}^{99} \mathrm{Tc}+\mathrm{Y}$
${ }_{42}^{99} \mathrm{Mo} \rightarrow{ }_{43}^{99 \mathrm{~m}} \mathrm{Tc}+\mathrm{e}^{-}+\widetilde{\mathrm{v}}_{\mathrm{e}}$

Uwaga: Zapis antyneutrina w reakcji nie jest wymagany, a elektron można zapisać jako $β^{-}$ .

${ }_{1}^{1} p+{ }_{42}^{100} M o \rightarrow{ }_{43}^{99 m} T c+2{ }_{0}^{1} n$

Ćwiczenie 2

Zadanie 25.2. (0‑2)

Obserwowano próbkę zawierającą jądra technetu ${ }_{43}^{99 \mathrm{~m}} \mathrm{Tc}$ w stanie wzbudzonym. Oblicz, jaka część z początkowej liczby wzbudzonych jąder technetu w próbce przejdzie do stanu podstawowego po czasie $t=2 \mathrm{~h}$ (licząc od pewnej chwili początkowej). Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz

Zastosujemy statystyczne prawo rozpadu promieniotwórczego. Obliczymy, jaka część liczby jąder wzbudzonych pozostanie w próbce po czasie $t$ . Oznaczymy przez $N_{0}$ liczbę jąder wzbudzonych w chwili początkowej, a przez $N(t)$ - liczbę jąder wzbudzonych pozostających w próbce po czasie $t$ od chwili początkowej:

$N(t)=N_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

$N(t)=N_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{2 \mathrm{~h}}{6 \mathrm{~h}}} \quad \rightarrow \quad \frac{N(t)}{N_{o}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$

Obliczenie potęgi wykonujemy na kalkulatorze naukowym:

$\frac{N(t)}{N_{o}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,79$

Komentarz

Liczba jąder wzbudzonych $N_{r}(t)$ , która przeszła do stanu podstawowego po czasie $t$ , wynosi:

$N_{r}(t)=N_{0}-N(t)$

a zatem:

$\frac{N_{r}(t)}{N_{o}}=\frac{N_{0}-N(t)}{N_{o}}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0,21$

Ćwiczenie 3

Zadanie 25.3. (0‑3)

Podczas przejścia jądra technetu ze stanu wzbudzonego ${ }^{99 \mathrm{~m}} \mathrm{Tc}$ do stanu podstawowego ${ }^{99}$ Tc został wyemitowany - z tego jądra - kwant gamma o długości fali $\lambda=8,69 \mathrm{pm}$ .

Oblicz masę $\boldsymbol{m}_{\mathbf{m}}$ jądra technetu ${ }^{\mathbf{9 9 m}} \mathbf{T c}$ w stanie wzbudzonym. Pomiń efekt związany z odrzutem jądra przy emisji kwantu. Wynik podaj zaokrąglony do ośmiu cyfr znaczących. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Zapiszemy zasadę zachowania energii dla układu jądro - foton z uwzględnieniem energii spoczynkowych jąder technetu (wzór Einsteina) i energii fotonu. Energię kinetyczną jądra po emisji fotonu pominiemy:

$m_{\mathrm{m}} c^{2}=m c^{2}+E_{\gamma}$

Komentarz (krok 2.)

W powyższym wzorze zastosujemy wzór Plancka na energię fotonu, następnie podstawimy odpowiednie wartości liczbowe do uzyskanego wyrażenia:

$m_{\mathrm{m}} c^{2}=m c^{2}+\frac{h c}{\lambda} \quad \rightarrow \quad m_{\mathrm{m}}=m+\frac{h}{c \lambda}$ $m_{\mathrm{m}}=164,23768 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}+\frac{6,63 \cdot 10^{-34} \mathrm{~J} \cdot \mathrm{~s}}{3 \cdot 10^{8}(\mathrm{~m} / \mathrm{s}) \cdot 8,69 \cdot 10^{-12} \mathrm{~m}}$

Komentarz (krok 3.)

Wykonujemy obliczenia, a wynik zaokrąglamy do ośmiu cyfr znaczących:

$m_{\mathrm{m}} \approx 164,23768 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}+0,254 \cdot 10^{-30} \mathrm{~kg}$ $m_{\mathrm{m}} \approx 164,23768 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}+0,00025 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg} \approx 164,23793 \cdot 10^{-27} \mathrm{~kg}$

Ćwiczenie 4

Zadanie 28. Energia całkowita, spoczynkowa i kinetyczna cząstki

Cząstka o masie $m$ porusza się w układzie inercjalnym z prędkością o wartości v. Energię kinetyczną cząstki oznaczymy jako $E_{k}$ , jej energię spoczynkową oznaczymy jako $E_{0}$ , a energię całkowitą cząstki oznaczymy przez $E$ .

Zadanie 28.1. (0‑2)

Wykaż, że jeżeli energia spoczynkowa cząstki jest znacznie mniejsza od energii kinetycznej:

$E_{0} \ll E_{k}$

to cząstka porusza się z prędkością bliską prędkości światła, tzn.: $\frac{v}{c} \approx 1$

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

Komentarz (krok 1.)

Skorzystamy ze wzorów na energię całkowitą i spoczynkową:

$E=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad E_{0}=m c^{2}$

Zapiszemy związek między tymi energiami:

$E=\frac{E_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}$

Z powyższego równania wyznaczymy iloraz $v / c$ i dalej zbadamy, jak on zależy od energii całkowitej oraz energii kinetycznej.

$\frac{E}{E_{0}}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}} \quad \rightarrow \quad \frac{v}{c}=\sqrt{1-\left(\frac{E_{0}}{E}\right)^{2}}$

Komentarz (krok 2.)

Następnie przeprowadzimy analizę otrzymanego wzoru. Wykorzystamy założenie zadania oraz związek między energią całkowitą a energią kinetyczną:

$\qquad E_{0} \ll E_{k} \Leftrightarrow \frac{E_{0}}{E_{k}} \approx 0 \quad \text { oraz } \quad E=E_{k}+E_{0}$ $\text { Jeżeli } \quad \frac{E_{0}}{E_{k}} \approx 0 \quad \text { to także } \quad \frac{E_{0}}{E_{k}+E_{0}}=\frac{E_{0}}{E} \approx 0$

Dlatego:

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\left(\frac{E_{0}}{E}\right)^{2}} \approx \sqrt{1-0^{2}} \approx 1$

Sposób 2.

Komentarz (krok 1.)

Skorzystamy ze wzorów na energię całkowitą i spoczynkową:

$E=\frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} \quad E_{0}=m c^{2}$

Zapiszemy iloraz $E_{0} / E$ :

$\frac{E_{0}}{E}=\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}$

Komentarz (krok 2.)

Następnie przeprowadzimy analizę powyższego wzoru. Wykorzystamy założenie zadania oraz związek między energią całkowitą a energią kinetyczną:

$E_{0} \ll E_{k} \quad \text { oraz } \quad E=E_{k}+E_{0}$

Ponieważ $E_{0} \ll E_{k}$ , to także $E_{0} \ll E$ , gdyż $E$ jest sumą $E_{0}$ i $E_{k}$ . W takiej sytuacji pierwiastek w powyższym wzorze musi być bliski 0 , co oznacza, że iloraz $v / c$ jest bliski 1.

Ćwiczenie 5

Zadanie 28.2. (0‑3)

Elektron został rozpędzony w polu elektrycznym napięciem $U=8,0 \cdot 10^{5} \mathrm{~V}$ . Pomiń wpływ innych pól na ruch elektronu oraz przyjmij, że elektron poruszał się w próżni, a jego prędkość początkowa wynosiła 0 . Przyjmij do obliczeń masę elektronu równą $m=9,1 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg}$ oraz wartość bezwzględną ładunku elementarnego równą $e=1,6 \cdot 10^{-19} \mathrm{C}$ .

Oblicz prędkość, jaką elektron uzyskał w polu elektrycznym. Zapisz obliczenia.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Komentarz (krok 1.)

Na początku musimy rozstrzygnąć, czy będziemy stosowali wzory mechaniki klasycznej, czy mechaniki relatywistycznej. Wzory mechaniki klasycznym moglibyśmy zastosować, gdyby energia kinetyczna elektronu okazała się znacznie mniejsza od energii spoczynkowej elektronu. Dlatego najpierw obliczymy energię spoczynkową elektronu.

$E_{0}=m c^{2} \quad \rightarrow \quad E_{0}=9,1 \cdot 10^{-31} \mathrm{~kg} \cdot\left(3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}\right)^{2} \approx 8,2 \cdot 10^{-14} \mathrm{~J}$

Następnie obliczymy energię kinetyczną elektronu. Zastosujemy związek między energią kinetyczną, którą uzyskał elektron w polu elektrycznym, a pracą siły elektrycznej działającej na ten elektron:

$\Delta E_{k}=W_{E} \quad \text { gdzie } \quad W_{E}=e U$ $E_{k}-0=e U \quad \rightarrow \quad E_{k}=1,6 \cdot 10^{-19} \mathrm{C} \cdot 8,0 \cdot 10^{5} \mathrm{~V}=12,8 \cdot 10^{-14} \mathrm{~J}$

Komentarz (krok 2.)

Energia kinetyczna elektronu jest porównywalna z jego energią spoczynkową, a nawet jest od niej większa. Dlatego prędkość elektronu obliczymy ze wzoru relatywistycznego na energię całkowitą. W tym celu najpierw obliczymy energię całkowitą jako sumę energii kinetycznej i spoczynkowej.

$E=E_{k}+E_{0} \quad \rightarrow \quad E \approx 21 \cdot 10^{-14} \mathrm{~J}$

Do obliczenia prędkości elektronu wykorzystamy związek między energią całkowitą a prędkością elektronu:

$\frac{E}{E_{0}}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}$

Komentarz (krok 3.)

Z powyższego wzoru wyznaczymy prędkość elektronu i obliczymy jej wartość.

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\left(\frac{E_{0}}{E}\right)^{2}}$ $v\approx \sqrt{1-\left(\frac{8,2}{21}\right)^{2}} \cdot 3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 0,92 \cdot 3 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \approx 2,8 \cdot 10^{8} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Uwaga!

Zastosowanie wzoru klasycznego na energię kinetyczną ( $E_{k}=\frac{1}{2} m v^{2}$ ) byłoby w tym przypadku błędne i doprowadziłoby do wyniku $v \approx 5,3 \cdot 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ , w którym prędkość elektronu byłaby większa od prędkości światła (co jest niemożliwe).