Nowy dokument

Zasady oceniania

1 pkt - powołanie się na porównanie momentów sił w sytuacji statycznej (lub równoważny mu warunek równowagi kołowrotu), obliczenie i porównanie momentów sił oraz poprawne stwierdzenie, że ciężarek o masie $m_{1}$ zacznie się wznosić.

0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Przykładowe pełne rozwiązanie:

Żeby stwierdzić, w którą stronę zacznie obracać się kołowrót, należy porównać momenty sił napięcia sznurków. Gdy kołowrót utrzymujemy nieruchomo (działając dodatkowym momentem siły), to siły napięcia sznurków są równe co do wartości odpowiednim siłom ciężkości ciężarków. Zatem momenty tych sił są w takiej sytuacji równe - odpowiednio -

$T_{1}=Q_{1} R_{1}=m_{1} g R_{1} \approx 0,981 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} \quad T_{2}=Q_{2} R_{2}=m_{2} g R_{2} \approx 1,18 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m}$

$T_{1}<T_{2}$

Moment siły napięcia sznurka, na którym wisi ciężarek o masie $m_{2}$, jest większy. Zatem gdy zniknie moment siły równoważący układ, to ciężarek o masie $m_{2}$ zacznie opadać, a ciężarek o masie $m_{1}$ zacznie się wznosić (pomimo że jest cięższy).

Zasady oceniania

4 pkt - poprawna metoda obliczenia przyśpieszenia $a_{1}$ oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką (np. jak w krokach 1.-4.).

3 pkt - poprawne rozwiązanie układu równań, z którego można wyznaczyć przyśpieszenie kątowe na podstawie danych w zadaniu ( np. jak w kroku 3.).

2 pkt - poprawne zapisanie trzech równań ruchu, łącznie z uwzględnieniem związków między przyśpieszeniami liniowymi a przyśpieszeniem kątowym, oraz zapisanie wzoru na moment bezwładności bryły (np. jak w krokach 1. i 2.).

1 pkt - poprawne zapisanie trzech równań ruchu wyrażających drugą zasadę dynamiki: równania ruchu obrotowego bryły, równania ruchu postępowego ciężarka o masie $m_{1}$ oraz równania ruchu postępowego ciężarka o masie $m_{1}$ - łącznie z odróżnieniem przyśpieszeń liniowych obu ciężarków (np. jak w kroku 1.).

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie:

Komentarz (krok 1.)

Na walec oraz ciężarki działają sznurki siłami o wartościach $F_{1}$ i $F_{2}$. Na rysunku poniżej przedstawiono siły działające w układzie. Zgodnie z nim zapiszemy równania ruchu ciężarków oraz walca. Uwzględnimy fakt, że ciężarek $m_{2}$ opada oraz fakt, że oba ciężarki mają przeciwne przyśpieszenia:

R1R57A2O51T92

Komentarz (krok 2.)

Uwzględnimy związki między przyśpieszeniem kątowym bryły połączonych walców a przyśpieszeniami liniowymi ciężarków. Ponadto zapiszemy moment bezwładności $I$ kołowrotu jako sumę momentów bezwładności obu walców:

$\begin{aligned} > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > \left\{\begin{array}{l} > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > a_{1}=\epsilon R_{1} \\ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > a_{2}=\epsilon R_{2} > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > \end{array}\right.\end{aligned}$

$I=\frac{1}{2} M_{1} R_{1}^{2}+\frac{1}{2} M_{2} R_{2}^{2} \rightarrow I \approx 0,0614 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >$

Komentarz (krok 3.)

Z powyższych równań wyznaczymy przyśpieszenie $\epsilon$ kątowe bryły obrotowej:

$\begin{aligned} > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > \left\{\begin{array} { l } { I \epsilon = R _ { 2 } F _ { 2 } - R _ { 1 } F _ { 1 } } \\ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > { m _ { 2 } \epsilon R _ { 2 } = Q _ { 2 } - F _ { 2 } } \\ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > { m _ { 1 } \epsilon R _ { 1 } = F _ { 1 } - Q _ { 1 } } > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > \end{array} \rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} I \epsilon=R_{2} F_{2}-R_{1} F_{1} \\ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > F_{2}=Q_{2}-m_{2} \epsilon R_{2} \\ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > F_{1}=Q_{1}+m_{1} \epsilon R_{1} > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > \end{array} \rightarrow\right.\right. \\ \\ > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > I \epsilon=R_{2}\left(Q_{2}-m_{2} \epsilon R_{2}\right)-R_{1}\left(Q_{1}+m_{1} \epsilon R_{1}\right) \\ \\ I \epsilon=R_{2} m_{2} g-m_{2} \epsilon R_{2}^{2}-R_{1} m_{1} g-m_{1} \epsilon R_{1}^{2} \\ \\ \epsilon=\frac{g\left(R_{2} m_{2}-R_{1} m_{1}\right)}{I+m_{2} R_{2}^{2}+m_{1} R_{1}^{2}} > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > \end{aligned}$

Komentarz (krok 4.)

Obliczamy $a_{1}$ :

$\begin{aligned} a_{1}=\epsilon R_{1}=\frac{g R_{1}\left(R_{2} m_{2}-R_{1} m_{1}\right)}{I+m_{2} R_{2}^{2}+m_{1} R_{1}^{2}} \\ \\ a_{1} \approx \frac{9,81 \cdot 0,05 \cdot(0,12 \cdot 1-0,05 \cdot 2)}{0,0614+0,12^{2} \cdot 1+0,05^{2} \cdot 2} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}} \approx 0,12 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}} > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > \end{aligned}$

Zasady oceniania

3 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu energii kinetycznej ruchu postępowego i energii kinetycznej całkowitej oraz podanie prawidłowego wyniku w postaci ułamka zwykłego: $\frac{E_{\text {kin post }}}{E_{\text {kin calk }}}=\frac{2}{3}$ Uwaga! Akceptuje się przedstawienie wyniku w postaci równoważnej: $\frac{E_{\text {kin calk }}}{E_{\text {kin post }}}=\frac{3}{2}$

2 pkt - zapisanie energii kinetycznej całkowitej jako sumy energii kinetycznej ruchu obrotowego i energii kinetycznej ruchu postępowego oraz wykorzystanie/zapisanie wzorów na oba rodzaje energii, oraz wykorzystanie/zapisanie związku między prędkością liniową i prędkością kątową, np. zapisy równoważne poniższym:

$E_{\text {kin calk }}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2} \quad \text { oraz } \quad \omega=\frac{v}{R}$

albo $w$ jednym równaniu

$E_{\text {kin calk }}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{0}\left(\frac{v}{R}\right)^{2}$

1 pkt - zapisanie energii kinetycznej całkowitej jako sumy energii kinetycznej ruchu obrotowego i energii kinetycznej ruchu postępowego oraz wykorzystanie/zapisanie wzoru na jedną z tych energii:

$E_{\text {kin calk }}=E_{\text {kin post }}+E_{\text {kin obr }} \quad \text { oraz } \quad\left(E_{\text {kin post }}=\frac{1}{2} m v^{2} \text { albo } \quad E_{\text {kin obr }}=\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2}\right)$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Zapiszemy wzór na całkowitą energię kinetyczną walca i wykorzystamy wzory na energię kinetyczną ruchu postępowego oraz energię kinetyczną ruchu obrotowego walca:

$E_{\text {kin calk }}=E_{\text {kin post }}+E_{\text {kin obr }} \quad \rightarrow \quad E_{\text {kin calk }}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2}$

Zastosujemy związek między prędkością liniową i prędkością kątową w przypadku toczenia się bez poślizgu oraz wzór na moment bezwładności walca:

$E_{\text {kin calk }}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2}\left(\frac{v}{R}\right)^{2}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{4} m v^{2}=\frac{3}{4} m v^{2}$

Obliczymy iloraz energii kinetycznej ruchu postępowego i energii kinetycznej całkowitej:

$\frac{E_{\text {kin post }}}{E_{\text {kin calk }}}=\frac{\frac{1}{2} m v^{2}}{\frac{3}{4} m v^{2}}=\frac{2}{3}$

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)

3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości przyśpieszenia liniowego walca oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: $a=2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}$ 2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca, oraz uwzględnienie wartości $F$ i $T$ sił $\vec{F}, \vec{T}$ w obu równaniach ruchu, oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym walca, np. zapisy równoważne poniższym:

$m a=F-T \quad \text { oraz } \quad I \cdot \frac{a}{R}=R T$

1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem osi symetrii, oraz zapisanie wartości siły wypadkowej jako $F_{w}=F-T$ lub zapisanie wzoru na moment siły tarcia $M=R T$, np. zapisy równoważne poniższym:

$\begin{array}{rcc} m a=F-T\text { oraz }I \epsilon=M \\ \text { albo } \\ m a=F_{w}\text { oraz }I \epsilon=R T \end{array}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)

3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości przyśpieszenia liniowego walca oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: $a=2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}$ 2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu (z uwzględnieniem siły $\vec{F}$ ) wyrażającego Il zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym walca, oraz uwzględnienie związku między momentem bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu a $I_{0}$, np. zapisy równoważne poniższym:

$I_{c h w} \frac{a}{R}=R F \quad \text { oraz } \quad I_{c h w}=I_{0}+m R^{2}$

1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu (z uwzględnieniem wzoru na moment siły) wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie (np. poprzez oznaczenie), że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest różny od $I_{0}$, np. zapisy równoważne poniższym: $I_{c h w} \epsilon=R F$ 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)

3 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości przyśpieszenia liniowego walca oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: $a=2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}$ 2 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy mechanicznej całkowitej i zmianie energii kinetycznej całkowitej oraz zastosowanie/wykorzystanie wyrażenia na tę pracę całkowitą (równą pracy siły $\vec{F}$ ), oraz zastosowanie/wykorzystanie w tym równaniu wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i energię kinetyczną ruchu obrotowego walca, oraz wykorzystanie związku między prędkością kątową i liniową (dla toczenia się bez poślizgu), np. zapisy równoważne poniższym:

$F s=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2} \quad \text { oraz } \quad v=\omega R$

albo w jednym równaniu

$F s=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{0} \frac{v^{2}}{R^{2}}$

LUB

• zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy mechanicznej całkowitej i zmianie energii kinetycznej całkowitej oraz zastosowanie/wykorzystanie wyrażenia na tę pracę całkowitą (równą pracy siły $\vec{F}$ ), oraz zastosowanie/wykorzystanie w tym równaniu wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i energię kinetyczną ruchu obrotowego walca, oraz wykorzystanie związku między przyśpieszeniem a drogą i prędkością w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej, np. zapisy równoważne poniższym:

$F s=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2} \quad \text { oraz } \quad 2 a s=v^{2}$

albo w jednym równaniu

$F \frac{v^{2}}{2 a}=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2}$

1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy mechanicznej całkowitej i zmianie energii kinetycznej całkowitej oraz zastosowanie/wykorzystanie wyrażenia na tę pracę całkowitą (równą pracy siły $\vec{F}$ ), oraz wyodrębnienie w tym równaniu energii kinetycznych ruchu postępowego walca i energii kinetycznej ruchu obrotowego walca, np. zapisy równoważne poniższym: $F s=\Delta E_{\text {kin post }}+\Delta E_{\text {kin obr }}$ LUB

• zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy siły wypadkowej i zmianie energii kinetycznej ruchu postępowego oraz zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy wypadkowego momentu sił i zmianie energii kinetycznej ruchu obrotowego, oraz zapisanie/wykorzystanie wyrażeń definiujących pracę siły wypadkowej i pracę wypadkowego momentu siły, np. zapisy równoważne poniższym:

$(F-T) s=\Delta E_{\text {kin post }} \quad \text { oraz } \quad R T \cdot \alpha=\Delta E_{\text {kin obr }}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (zastosowanie zasad dynamiki) Na walec w kierunku poziomym działają siły: siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła $\vec{F}$. Siła tarcia statycznego ma niezerowy moment siły względem osi obrotu walca. Zapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz dla ruchu obrotowego walca (względem osi symetrii):

$\left\{\begin{array}{l} m a=F-T \\ I_{0} \epsilon=R T \end{array}\right.$

Zastosujemy związek $a=\epsilon R$ między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym w przypadku toczenia się bez poślizgu oraz wzór na moment bezwładności walca:

$\left\{\begin{array} { l } { m a = F - T } \\ { \frac { 1 } { 2 } m R ^ { 2 } \frac { a } { R } = R T } \end{array} \rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} m a=F-T \\ \frac{1}{2} m a=T \end{array}\right.\right.$

Z powyższego układu równań wyznaczymy wartość przyśpieszenia liniowego walca:

$m a=F-\frac{1}{2} m a \quad \rightarrow \quad \frac{3}{2} m a=F \quad \rightarrow \quad a=\frac{2}{3} \frac{F}{m}$

Obliczymy wartość liczbową wartości przyśpieszenia liniowego walca:

$a=\frac{2}{3} \cdot \frac{30 \mathrm{~N}}{10 \mathrm{~kg}}=2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}$

Sposób 2. (zastosowanie metody chwilowej osi obrotu)

Rozważmy obrót walca wokół chwilowej osi obrotu. Chwilowa oś obrotu zawiera odcinek styczności walca z podłożem w danej chwili. Moment siły tarcia statycznego względem tej osi obrotu jest równy zero (ponieważ ramię tej siły jest równe zero). Moment siły względem chwilowej osi obrotu powoduje siła $\vec{F}$, która jest przyłożona do środka masy walca. Ramię tej siły jest równe $R$. W tej metodzie rozważamy tylko ruch obrotowy. Zapiszemy równanie wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu:

$I_{c h w} \epsilon=F R$

Wyznaczymy wzór na moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu (z twierdzenia Steinera):

$I_{c h w}=I_{0}+m R^{2}=\frac{1}{2} m R^{2}+m R^{2}=\frac{3}{2} m R^{2}$

Zastosujemy związek $a=\epsilon R$ między przyśpieszeniem liniowym (w przypadku metody chwilowej osi obrotu jest to przyśpieszenie styczne do chwilowego toru ruchu punktu na środku walca) a przyśpieszeniem kątowym:

$\frac{3}{2} m R^{2} \cdot \frac{a}{R}=F R$

Z powyższego układu równań wyznaczymy wartość przyśpieszenia liniowego walca:

$\frac{3}{2} m a=F \quad \rightarrow \quad a=\frac{2}{3} \frac{F}{m}$

Obliczymy wartość liczbową wartości przyśpieszenia liniowego walca:

$a=\frac{2}{3} \cdot \frac{30 \mathrm{~N}}{10 \mathrm{~kg}}=2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}$

Sposób 3. (zastosowanie twierdzenia o pracy sił i momentów sił)

Zapiszemy równanie wynikające z twierdzenia o pracy siły wypadkowej i zmianie energii kinetycznej ruchu postępowego:

$\text { 1) } \quad W_{F_{w}}=\Delta E_{\text {kin post }} \quad \rightarrow \quad \text { 1a) }(F-T) s=\frac{1}{2} m v^{2}$

Zapiszemy równanie wynikające z twierdzenia o pracy wypadkowego momentu sił i zmianie energii kinetycznej ruchu obrotowego:

$\text { 2) } \quad W_{M_{w}}=\Delta E_{k i n o b r} \rightarrow 2 \text { a) } \quad R T \cdot \alpha=\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2} \rightarrow 2 \text { b) } \quad T s=\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2}$

Gdy dodamy stronami równania 1a) i 2b) (wykorzystując związek $s=R \alpha$ ) to otrzymamy równanie wyrażające twierdzenie o pracy mechanicznej całkowitej i zmianie energii kinetycznej całkowitej (prace siły tarcia statycznego i momentu siły tarcia statycznego znoszą się - tarcie statyczne nie zwiększa ani nie zmniejsza energii całkowitej mechanicznej):

$\text { 3) } F s=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{0} \omega^{2}$

Wykorzystamy związek między prędkością kątową i liniową (dla toczenia się bez poślizgu), oraz wyrażenie na moment bezwładności walca:

$\text { 4) } \quad F s=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2}\left(\frac{v}{R}\right)^{2} \quad \rightarrow \quad 4 \text { a) } \quad F s=\frac{3}{4} m v^{2}$

Wykorzystamy związek kinematyczny między przyśpieszeniem a drogą i prędkością w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej:

$\text { 5) } v^{2}=2 a s$

Równanie 5) podstawimy do równania 4a), skąd wyznaczymy wartość przyśpieszenia:

$\text { 6) } \quad F s=\frac{3}{4} m \cdot 2 a s \quad \rightarrow \quad \text { 6a) } \quad a=\frac{2}{3} \frac{F}{m}$

Obliczymy wartość liczbową wartości przyśpieszenia liniowego walca:

$a=\frac{2}{3} \cdot \frac{30 \mathrm{~N}}{10 \mathrm{~kg}}=2 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne wpisanie wartości $v_{A}$ prędkości punktu $A$ oraz poprawne wpisanie wartości $v_{B}$ prędkości punktu $B$.

1 pkt - poprawne wpisanie wartości $v_{A}$ prędkości punktu $A$ LUB

• poprawne wpisanie wartości $v_{B}$ prędkości punktu $B$.

0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

Rozwiązanie:

$v_{A}= 5 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{~s}}$

$v_{B}=2,5 \cdot \sqrt{2} \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}$

Zasady oceniania

(dla rozwiązania sposobem 1.) 4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej $T_{x}$ siły tarcia tylko za pomocą $F$ oraz poprawna weryfikacja założenia o zwrocie siły tarcia oraz poprawne narysowanie siły tarcia. 3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej $T_{x}$ siły tarcia (zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia) tylko za pomocą $F$ oraz zapisanie prawidłowego wyniku równoważnego poniższemu:

$\left|T_{x}\right|=\frac{1}{3} F \quad \text { lub } \quad\left(T=-\frac{1}{3} F \quad \text { gdy założono } \quad T_{x}=-T\right)$

2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca, oraz zapisanie siły wypadkowej i wypadkowego momentu sił w obu równaniach ruchu zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia, oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym walca, np. zapisy równoważne poniższym:

$m a=F-T \quad \text { oraz } \quad I_{0} \cdot \frac{a}{R}=R(F+T)$

1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem osi symetrii, oraz zapisanie wartości siły wypadkowej jako $F_{w}=F-T$ lub zapisanie wzoru na wypadkowy moment sił $M=R(F+T)$, wszystko zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia (przeciwnym do zwrotu osi $x$ ), np. zapisy równoważne poniższym:

$m a=F-T\text { oraz }I_{0} \epsilon=M$

albo

$m a=F_{w}\text { oraz }I_{0} \epsilon=R(F+T)$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)

4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej $T_{x}$ siły tarcia tylko za pomocą $F$ oraz poprawna weryfikacja założenia o zwrocie siły tarcia oraz poprawne narysowanie tej siły. 3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej $T_{x}$ siły tarcia (zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia) tylko za pomocą $F$ oraz zapisanie wyniku równoważnego poniższemu:

$\left|T_{x}\right|=\frac{1}{3} F \quad \text { lub } \quad\left(T=\frac{1}{3} F \quad \text { gdy założono } \quad T_{x}=T\right)$

2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca, oraz zapisanie siły wypadkowej i wypadkowego momentu sił w obu równaniach ruchu zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia, oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym walca, np. zapisy równoważne poniższym:

$m a=F+T \quad \text { oraz } \quad I_{0} \cdot \frac{a}{R}=R(F-T)$

1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem osi symetrii, oraz zapisanie wartości siły wypadkowej jako $F_{w}=F+T$ lub zapisanie wzoru na wypadkowy moment sił $M=R(F-T)$, wszystko zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia (zgodnym ze zwrotem osi $x$ ), np. zapisy równoważne poniższym:

$m a=F+T\text { oraz }I_{0} \epsilon=M$

albo

$m a=F_{w}\text { oraz }I_{0} \epsilon=R(F-T)$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

Na walec w kierunku poziomym działają siły: siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła $\vec{F}$. Obie siły mają niezerowe momenty względem osi obrotu walca.

Przyjmiemy arbitralnie, że siła tarcia statycznego ma zwrot przeciwny do zwrotu osi $x$. Zatem przyjmiemy do równań ruchu, że:

$T_{x}=-T$

dla pewnej liczby $T$ (o której początkowo myślimy jako o wartości siły tarcia). Nasze założenie zweryfikujemy na podstawie analizy znaku wyznaczonej współrzędnej $T_{x}$ siły tarcia $\vec{T}$.

Zapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz dla ruchu obrotowego walca (względem osi symetrii). Przy założeniu, że siła tarcia ma przeciwny zwrot do siły $\vec{F}$, to wartości obu sił się odejmą, a wartości momentów obu sił się dodadzą (obie siły „kręcą” prawoskrętnie):

$\left\{\begin{array}{l} m a=F-T \\ I_{0} \epsilon=R(F+T) \end{array}\right.$

Zastosujemy związek $a=\epsilon R$ między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym w przypadku toczenia się bez poślizgu oraz wzór na moment bezwładności walca:

$\left\{\begin{array} { l } { m a = F - T } \\ { \frac { 1 } { 2 } m R ^ { 2 } \frac { a } { R } = R ( F + T ) } \end{array} \rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} m a=F-T \\ \frac{1}{2} m a=F+T \end{array}\right.\right.$

Z powyższego układu równań wyznaczymy $T$ :

$\frac{1}{2}(F-T)=F+T \quad \rightarrow \quad \frac{1}{2} F-\frac{1}{2} T=F+T \quad \rightarrow \quad-\frac{1}{2} F=\frac{3}{2} T$

Ostatecznie otrzymujemy:

$T=-\frac{1}{3} F$

Ustalenie zwrotu siły tarcia

Przeanalizujemy znak współrzędnej siły tarcia. Zweryfikujemy nasze założenie o zwrocie siły tarcia z wynikiem, który otrzymaliśmy po rozwiązaniu równań:

$\left(T_{x}=-T \quad \text { oraz } \quad T=-\frac{1}{3} F\right) \quad \rightarrow \quad T_{x}=\frac{1}{3} F$

Współrzędna $T_{x}$ siły tarcia okazała się dodatnia, zatem siła tarcia ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $x$.

Sposób 2.

Na walec w kierunku poziomym działają siły: siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła $\vec{F}$. Obie siły mają niezerowe momenty względem osi obrotu walca.

Przyjmiemy arbitralnie, że siła tarcia statycznego ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $x$. Zatem przyjmiemy do równań ruchu, że:

$T_{x}=+T$

dla pewnej liczby $T$ (o której początkowo myślimy jako o wartości siły tarcia). Nasze założenie zweryfikujemy na podstawie analizy znaku wyznaczonej współrzędnej $T_{x}$ siły tarcia $\vec{T}$.

Zapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz dla ruchu obrotowego walca (względem osi symetrii). Przy założeniu, że siła tarcia ma ten sam zwrot co siła $\vec{F}$, to wartości obu sił się dodadzą, a wartości momentów obu sił się odejmą (siła $\vec{F}$ „kręci” prawoskrętnie, a $\vec{T}$ „kręci” lewoskrętnie):

$\left\{\begin{array}{l} m a=F+T \\ I_{0} \epsilon=R(F-T) \end{array}\right.$

Zastosujemy związek $a=\epsilon R$ między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym w przypadku toczenia się bez poślizgu oraz wzór na moment bezwładności walca:

$\left\{\begin{array} { l } { m a = F + T } \\ { \frac { 1 } { 2 } m R ^ { 2 } \frac { a } { R } = R ( F - T ) } \end{array} \quad \rightarrow \quad \left\{\begin{array}{l} m a=F+T \\ \frac{1}{2} m a=F-T \end{array}\right.\right.$

Z powyższego układu równań wyznaczymy wartość $T$ siły tarcia:

$\frac{1}{2}(F+T)=F-T \quad \rightarrow \quad \frac{1}{2} F+\frac{1}{2} T=F-T \quad \rightarrow \quad \frac{3}{2} T=\frac{1}{2} F$

Ostatecznie otrzymujemy:

$T=\frac{1}{3} F$

Ustalenie zwrotu siły tarcia Przeanalizujemy znak współrzędnej siły tarcia. Zweryfikujemy nasze założenie o zwrocie siły tarcia z wynikiem, który otrzymaliśmy po rozwiązaniu równań:

$\left(T_{x}=+T \quad \text { oraz } \quad T=\frac{1}{3} F\right) \quad \rightarrow \quad T_{x}=\frac{1}{3} F$

Współrzędna $T_{x}$ siły tarcia okazała się dodatnia, zatem siła tarcia ma zwrot zgodny ze zwrotem osi $x$.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)

4 pkt - poprawna metoda (zastosowanie zasad dynamiki) wyznaczenia przyśpieszenia liniowego $a$ ciężarka poprzez $g$ oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru końcowego. 3 pkt - poprawne zapisanie kompletu równań pozwalających wyznaczyć wartość przyśpieszenia liniowego $a$, tzn. spełnienie warunku za 2 pkt oraz uwzględnienie równości wartości sił, z jakimi linka działa na ciężarek i walec, oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym, oraz zastosowanie wzorów na moment bezwładności walca i siłę grawitacji, np. zapisy równoważne poniższym:

$\frac{1}{2} m R^{2} \frac{a}{R}=R T \quad \text { oraz } \quad m a=F-T \quad \text { oraz } \quad m a=m g-F$

2 pkt - poprawne zapisanie równań ruchu wyrażających drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca oraz ruchu postępowego walca, oraz ruchu postępowego ciężarka, oraz uwzględnienie równości przyśpieszeń walca i ciężarka:

$I \epsilon=R T \quad \text { oraz } \quad m a=F_{1}-T \quad \text { oraz } \quad m a=F_{g}-F_{2}$

1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca albo ciężarka, np. zapisy równoważne poniższym:

$I \epsilon=R T \quad \text { oraz } \quad\left\{m a_{w}=F_{1}-T \quad \text { albo } \quad m a_{c}=F_{g}-F_{2}\right\}$

LUB

• poprawne zapisanie równań ruchu wyrażających drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz ciężarka, np. zapisy równoważne poniższym:

$m a_{w}=F_{1}-T \quad \text { oraz } \quad m a_{c}=F_{g}-F_{2}$

> Uwaga! W obu warunkach za 1 pkt nie musi być uwzględniona równość przyśpieszeń walca i ciężarka oraz równość sił, z jakimi linka działa na ciężarek oraz walec.

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)

4 pkt - poprawna metoda (zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej) wyznaczenia przyśpieszenia liniowego $a$ ciężarka poprzez $g$ oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru końcowego. 3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia liniowego ciężarka, tzn. spełnienie warunków za 2 pkt oraz zastosowanie wzoru na moment bezwładności walca, oraz zastosowanie związku między prędkością a przyśpieszeniem i drogą w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej

$m g h=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2} \cdot \frac{v^{2}}{R^{2}}+\frac{1}{2} m v^{2} \text { oraz } v^{2}=2 a h$

2 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego $z$ zasady zachowania energii mechanicznej oraz poprawne zastosowanie wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego walca i ciężarka, energię kinetyczną ruchu obrotowego walca i energię potencjalną ciężarka, oraz zastosowanie związku między prędkością kątową walca a prędkością liniową walca, np. zapisy równoważne poniższym:

$m g h=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I \omega^{2}+\frac{1}{2} m v^{2} \quad \text { oraz } \quad v=\omega R$

1 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej oraz wyodrębnienie w tym równaniu energii kinetycznych ruchu postępowego walca, ruchu postępowego ciężarka, ruchu obrotowego walca i energii potencjalnej ciężarka, np. zapisy równoważne poniższym:

$E_{\text {pot ciez }}=E_{\text {kin wal post }}+E_{\text {kin wal obr }}+E_{\text {kin ciez }}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązanie

Sposób 1. (z zastosowaniem równań dynamiki)

R1THRLOJS626E

Oznaczymy i opiszemy siły działające na walec i ciężarek. Na walec działa siła reakcji linki $\vec{F}_{1}$ oraz siła tarcia statycznego $\vec{T}$. Na ciężarek działa siła grawitacji $\vec{F}_{g}$ oraz siła reakcji linki $\vec{F}_{2}$. Zgodnie z przyjętym modelem zjawiska zapiszemy równania ruchu wyrażające drugą zasadę dynamiki dla ruchu postępowego ciężarka oraz ruchu postępowego i obrotowego walca. Uwzględnimy fakt, że wartości przyśpieszeń liniowych ciężarka i walca są sobie równe (linka jest nierozciągliwa), wartości sił reakcji linki działających na walec i ciężarek są sobie równe (III zasada dynamiki, masę bloczka i linki pomijamy), masy ciężarka i bloczka są sobie równe: $\left\{\begin{array}{l}I \epsilon=R T \\ m_{w} a_{w}=F_{1}-T \\ m_{c} a_{c}=F_{g}-F_{2}\end{array} \quad\right.$ oraz $\quad\left\{\begin{array}{l}F_{1}=F_{2}=F \\ a_{w}=a_{c}=a \\ m_{w}=m_{c}=m\end{array} \quad\right.$ zatem $\quad\left\{\begin{array}{l}I \epsilon=R T \\ m a=F-T \\ m a=F_{g}-F\end{array}\right.$ Uwzględnimy związek $a=\epsilon R$ (wynikający z toczenia się bez poślizgu) między przyśpieszeniem kątowym walca a przyśpieszeniem liniowym walca (i ciężarka), a ponadto wstawimy wyrażenia na moment bezwładności $I$ walca oraz siłę grawitacji: $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2} m R^{2} \frac{a}{R}=R T m a=F-T m a=m g-F\end{array}\right.$ Z powyższego układu równań wyznaczymy $a$ :

$\left\{\begin{array} { l } { \frac { m a } { 2 } = T } { m a = F - T } { m a = m g - F } \end{array} \quad \xrightarrow { 1 ) \rightarrow 2 ) } \quad \left\{\begin{array}{l} m a=F-\frac{m a}{2} m a=m g-F \end{array} \quad \xrightarrow{2)+3)} \quad 2 m a=m g-\frac{m a}{2} \quad \rightarrow\right.\right. a=\frac{2}{5} g$

Sposób 2. (z zastosowaniem zasady zachowania energii mechanicznej)

Zgodnie z przyjętym modelem zjawiska energia mechaniczna pozostaje stała podczas ruchu ciężarka i walca. W chwili początkowej energia mechaniczna układu jest równa energii potencjalnej ciężarka oraz walca. Gdy ciężarek obniży się o wysokość $h$, to energia mechaniczna układu będzie równa sumie energii kinetycznych walca i ciężarka i energii potencjalnej walca (przyjmujemy, że ciężarek po obniżeniu się o $h$ będzie miał energię potencjalną równą zero):

$E_{\text {pot wal }}+E_{\text {pot ciez }}=E_{\text {kin wal }}+E_{\text {kin ciez }}+E_{\text {pot wal }}$

Energia potencjalna walca nie zmienia się, a energia kinetyczna walca jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego środka masy i ruchu obrotowego względem środka masy, zatem:

$E_{\text {pot ciez }}=E_{\text {kin wal post }}+E_{\text {kin wal obr }}+E_{\text {kin ciez }}$

Zastosujemy wzory na wymienione powyżej energie kinetyczne:

$m g h=\frac{1}{2} m_{w} v_{w}^{2}+\frac{1}{2} I \omega^{2}+\frac{1}{2} m_{c} v_{c}^{2}$

Wykorzystamy związek kinematyczny między przyśpieszeniem a drogą i prędkością w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej, związek między prędkością kątową i liniową (dla toczenia się bez poślizgu), wyrażenie na moment bezwładności walca oraz fakt, że wartości prędkości ciężarka i walca oraz ich masy są sobie równe:

$m g h=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2} \cdot \frac{v^{2}}{R^{2}}+\frac{1}{2} m v^{2}$ $g h=\frac{5}{4} v^{2} \quad \xrightarrow{v^{2}=2 a s, s=h} \quad g h=\frac{5}{4} \cdot 2 a h \quad \rightarrow \quad a=\frac{2}{5} g$

Zasady oceniania

1 pkt - odpowiedź poprawna. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

A

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach. 1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, P, F.

Zasady oceniania

4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ilorazu wartości prędkości końcowej punktu $B$ pręta i wartości prędkości kulki oraz podanie prawidłowej wartości tego ilorazu. 3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia prędkości końcowej punktu $B$ pręta (tzn. spełnienie pierwszego warunku za 2 pkt) oraz prawidłowa postać wzoru na prędkość, tzn.: poprawna metoda wyznaczenia $v_{B} \quad \rightarrow \quad v_{B}=\sqrt{3 g l \sin \alpha_{0}}$ LUB

• poprawna metoda wyznaczenia prędkości końcowej punktu $B$ pręta (tzn. spełnienie pierwszego warunku za 2 pkt ) oraz poprawna metoda wyznaczenia prędkości końcowej kulki (tzn. spełniony drugi lub trzeci warunek za 1 pkt). 2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia prędkości końcowej punktu $B$ pręta, tzn. zapisanie zasady zachowania energii mechanicznej dla pręta z uwzględnieniem wzoru na energię kinetyczną ruchu obrotowego względem punktu $A$ (albo wzoru na energię kinetyczną ruchu obrotowego względem punktu $S$ i wzoru na energię kinetyczną ruchu postępowego) oraz wzoru na energię potencjalną uwzględniającego wysokość środka masy pręta, oraz związku między prędkością kątową pręta a prędkością liniową punktu $B$ (albo $S$ ), np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\left(\frac{1}{2}I_A\omega^2=mgh_S\quad\text{ oraz }\quad v_B=\omega l\right)\quad\text{ albo }\quad\frac{1}{2}I_A\left(\frac{v_B}{l}\right)^2=mg\left(\frac{l}{2}\right)\sin\alpha_o$

albo

$\frac{1}{2} I_{S} \omega^{2}+\frac{1}{2} m v_{S}^{2}=m g h_{S} \quad \text { oraz } \quad v_{S}=\omega \frac{l}{2}$

LUB

• poprawne zapisanie zasady zachowania energii mechanicznej dla pręta z uwzględnieniem (dającym się zidentyfikować np. poprzez oznaczenie) energii kinetycznej ruchu obrotowego względem punktu $A$ (lub ruchu obrotowego względem $S$ i ruchu postępowego) oraz wzoru na energię potencjalną uwzględniającego wysokość środka masy pręta oraz poprawna metoda wyznaczenia prędkości końcowej kulki (tzn. spełniony drugi lub trzeci warunek za 1 pkt), np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$E_{\text {kin obr } A}=m g h_{S} \quad \text { oraz }m_{k} g h_{B}=\frac{1}{2} m_{k} v_{k}^{2}$

albo

$E_{\text {kin obr } S}+E_{\text {kin post } S}=m g h_{S}\text { oraz } \quad m_{k} g h_{B}=\frac{1}{2} m_{k} v_{k}^{2}$

1 pkt - poprawne zapisanie zasady zachowania energii mechanicznej dla pręta z uwzględnieniem (dającym się zidentyfikować np. poprzez oznaczenie) energii kinetycznej ruchu obrotowego względem punktu $A$, np. zapisy (lub zapisy równoważne): $\frac{1}{2} I_{A} \omega^{2}=E_{\text {pot }} \quad$ albo $\quad E_{\text {kin obr } A}=E_{\text {pot }}$ LUB

• poprawne zapisanie zasady zachowania energii mechanicznej dla pręta z uwzględnieniem (dającym się zidentyfikować np. poprzez oznaczenie) energii kinetycznej ruchu obrotowego względem punktu $S$ i energii kinetycznej ruchu postępowego, np. zapisy (lub zapisy równoważne): $\frac{1}{2} I_{S} \omega^{2}+\frac{1}{2} m v_{S}^{2}=E_{\text {pot }} \quad$ albo $\quad E_{\text {kin obr } S}+E_{\text {kin post } S}=E_{\text {pot } S}$ LUB

• poprawne zapisanie zasady zachowania energii mechanicznej dla kulki z uwzględnieniem wzorów na energię kinetyczną kulki oraz energię potencjalną kulki, np. zapisy (lub zapisy równoważne): $m_{k} g h_{B}=\frac{1}{2} m_{k} v_{k}^{2}$ LUB

• poprawne zapisanie równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego kulki prowadzących do wyznaczenia prędkości z wyeliminowanym czasem albo zapisanie związku między prędkością a przyśpieszeniem i wysokością, np. zapisy (lub zapisy równoważne):

$\left(v_{k}=g t \quad \text { i } \quad h=\frac{1}{2} g t^{2}\right) \quad \text { albo } \quad v_{k}^{2}=2 g h$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

Skorzystamy z zasady zachowania energii podczas ruchu bryły sztywnej. Energia kinetyczna bryły jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego punktu środka masy i ruchu obrotowego względem środka masy. Energia potencjalna bryły to energia potencjalna punktu środka masy (któremu przypisujemy całą masę bryły). Zatem:

1. $E_{\text {kin obr } s}+E_{\text {kin post } s}=E_{\text {pot } s}$

Skorzystamy ze wzorów na energię kinetyczną ruchu obrotowego względem danej osi, ruchu postępowego i energię potencjalną w jednorodnym polu grawitacyjnym: 2) $\frac{1}{2} I_{S} \omega^{2}+\frac{1}{2} m v_{S}^{2}=m g h_{S} \rightarrow$ 3) $\frac{1}{2} I_{S} \omega^{2}+\frac{1}{2} m v_{S}^{2}=m g\left(\frac{l}{2}\right) \sin \alpha_{o}$

Skorzystamy ze związku między prędkością kątową $\omega$ a prędkością liniową $v_{S}$ punktu $S$ oraz ze związku między prędkością kątową $\omega$ a prędkością liniową $v_{B}$ punktu $B$ oraz ze wzoru na moment bezwładności względem punktu $S$.

$\text { 4) } \quad v_{S}=\omega \frac{l}{2} \quad \text { oraz } \quad v_{B}=\omega l \quad \text { oraz } \quad I_{S}=\frac{1}{12} m l^{2}$

Związki zapisane w punkcie 4) podstawimy do równania 3) i wykonamy przekształcenia:

$\text { 5a) } \frac{1}{2} I_{S} \omega^{2}+\frac{1}{2} m v_{S}^{2}=m g\left(\frac{l}{2}\right) \sin \alpha_{o} \rightarrow$

$\text { 5b) } \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{12} m l^{2} \omega^{2}+\frac{1}{2} m\left(\omega \frac{l}{2}\right)^{2}=m g\left(\frac{l}{2}\right) \sin \alpha_{o} \rightarrow$

$\text { 5c) } \frac{1}{6} m l^{2} \omega^{2}=m g\left(\frac{l}{2}\right) \sin \alpha_{o} \rightarrow$

$\text { 6) } \frac{1}{3} v_{B}^{2}=g l \sin \alpha_{o}$

Ostatecznie otrzymujemy wzór na prędkość końcową punktu $B$ :

$\text { 7) } v_{B}=\sqrt{3 g l \sin \alpha_{0}}$

Obliczymy prędkość końcowa kulki. Zastosujemy zasadę zachowania energii do wyznaczenia prędkości, z jaką kulka opadnie na podłoże opuszczona z wysokości początkowego położenia punktu $B$. Kulkę traktujemy jako punkt materialny, zatem:

$\text { 8) } m_{k} g h_{B}=\frac{1}{2} m_{k} v_{k}^{2} \quad \rightarrow \quad \text { 9) } g l \sin \alpha_{0}=\frac{1}{2} v_{k}^{2}$

Ostatecznie otrzymujemy wzór na prędkość końcową kulki: 10) $v_{k}=\sqrt{2 g l \sin \alpha_{0}}$

Na podstawie wzorów 7) i 10) obliczymy iloraz wartości prędkości: 11) $\frac{v_{B}}{v_{k}}=\frac{\sqrt{3 g l \sin \alpha_{0}}}{\sqrt{2 g l \sin \alpha_{0}}}=\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1,22$

Sposób 2.

Skorzystamy z zasady zachowania energii podczas ruchu bryły sztywnej. Energia kinetyczna bryły jest równa energii kinetycznej ruchu obrotowego bryły względem nieruchomego punktu $A$. Energia potencjalna bryły to energia potencjalna punktu środka masy (któremu przypisujemy całą masę bryły). Zatem:

1. $E_{\text {kin obr } A}=E_{\text {pot } S}$

Skorzystamy ze wzorów na energię kinetyczną ruchu obrotowego względem danej osi i energię potencjalną w jednorodnym polu grawitacyjnym:

$\text { 2) } \frac{1}{2} I_{A} \omega^{2}=m g h_{S} \quad \rightarrow \quad \text { 3) } \frac{1}{2} I_{A} \omega^{2}=m g\left(\frac{l}{2}\right) \sin \alpha_{o}$

Skorzystamy ze związku między prędkością kątową $\omega$ a prędkością liniową $v_{B}$ punktu $B$ oraz ze wzoru na moment bezwładności względem punktu $A$.

$\text { 4) } v_{B}=\omega l \quad \text { oraz } \quad I_{A}=\frac{1}{3} m l^{2}$

Związki zapisane w punkcie 4) podstawimy do równania 3) i wykonamy przekształcenia:

$\text { 5) } \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} m l^{2} \cdot\left(\frac{v_{B}}{l}\right)^{2}=m g\left(\frac{l}{2}\right) \sin \alpha_{o} \quad \rightarrow \quad \text { 6) } \quad \frac{1}{3} v_{B}^{2}=g l \sin \alpha_{o}$

Ostatecznie otrzymujemy wzór na prędkość końcową punktu $B$ : 7) $v_{B}=\sqrt{3 g l \sin \alpha_{0}}$

Obliczymy prędkość końcową kulki. Zastosujemy zasadę zachowania energii do wyznaczenia prędkości, z jaką kulka opadnie na podłoże opuszczona z wysokości początkowego położenia punktu $B$. Kulkę traktujemy jako punkt materialny, zatem:

$& \text { 8) } m_{k} g h_{B}=\frac{1}{2} m_{k} v_{k}^{2}$ $& \text { 10) } v_{k}=\sqrt{2 g l \sin \alpha_{0}} \quad \rightarrow \quad \text { 9) } g l \sin \alpha_{0}=\frac{1}{2} v_{k}^{2}$

Na podstawie wzorów 7) i 10) obliczymy iloraz wartości prędkości: 11) $\frac{v_{B}}{v_{k}}=\frac{\sqrt{3 g l \sin \alpha_{0}}}{\sqrt{2 g l \sin \alpha_{0}}}=\sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1,22$

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech stwierdzeniach. 1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch stwierdzeniach. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

P, P, F

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)

4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości $a$ przyśpieszenia liniowego walca W2 poprzez $g, \beta$ i $k_{2}$ oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na $a$ :

$a=\frac{\sin \beta}{1+k_{2}} g$

3 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 oraz uwzględnienie w tych równaniach poprawnych wyrażeń opisujących wartość siły wypadkowej działającej na walec W2 i wartość momentu siły działającego na W2, oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym i wzoru na moment bezwładności walca W2, oraz uwzględnienie (zob. uwaga poniżej) warunku, że siła tarcia nie osiągnȩła wartości maksymalnej, np. zapisy równoważne poniższym:

$m a=m g \sin \beta-T \quad \text { oraz } \quad k_{2} m R^{2} \frac{a}{R}=R T$

Uwaga! Spetnienie ostatniego warunku (po trzecim „oraz”) oznacza pozostawienie wartości siły tarcia T jako niewiadomej w układzie równań. Zdający nie spełnia powyższego kryterium, jeśli zapisze $T=\mu m g \cos \beta$.

LUB

• wyprowadzenie (z dynamicznych równań ruchu) i zapisanie prawidłowej postaci wzoru na $a$, pomimo błędnego określenia siły tarcia, jako takiej, która osiągnęła wartość maksymalną (tzn. z jedynym błędnym zapisem: $T=\mu m g \cos \beta$ ), np.:

$\text { (równania ruchu z błędnym zapisem } T=\mu m g \cos \beta \text { ) } \quad \rightarrow \quad a=\frac{\sin \beta}{1+k_{2}} g$

2 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 oraz uwzględnienie w tych równaniach poprawnych wyrażeń opisujących wartość siły wypadkowej działającej na walec W2 oraz wartość momentu siły działającego na W2, np. zapisy równoważne poniższym:

<span data-editor-replacement="69792cf647ecfREPL385"></span> oraz <span data-editor-replacement="69792cf647ecfREPL386"></span>
    albo
<span data-editor-replacement="69792cf647ecfREPL387"></span> oraz <span data-editor-replacement="69792cf647ecfREPL388"></span>

1 pkt - zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 (bez poprawnego rozpisania $F_{W} \mathrm{i} M_{T}$ ), np. zapisy równoważne poniższym:

$\left(m a=F_{w} \quad \text { oraz } \quad I_{2} \epsilon=M_{T}\right)$

LUB

• zapisanie poprawnego wzoru na wartość siły wypadkowej działającej na walec W2 oraz zapisanie poprawnego wzoru na moment siły tarcia działający na walec W2, np. zapisy równoważne poniższym: $F_{w}=Q_{\|}-T \quad$ oraz $\quad M_{T}=R T$ LUB

• poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu postępowego walca W2 oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia opisującego wartość siły wypadkowej działającej na walec W2, np. zapisy równoważne poniższym:

$m a=Q_{\|}-T$

LUB

• poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca W2 względem osi symetrii, oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia opisującego wartość momentu siły działającego na W2, np. zapisy równoważne poniższym:

$I_{2} \epsilon=R T$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)

4 pkt - poprawna metoda (zastosowanie zasady zachowania energii) wyznaczenia wartości $a$ przyśpieszenia liniowego walca W2 poprzez $g, \beta \mathrm{i} k_{2}$ oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na $a$ :

$a=\frac{\sin \beta}{1+k_{2}} g$

3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia liniowego walca z zasady zachowania energii, tzn. spełnienie warunków za 2 pkt oraz zastosowanie wzoru na moment bezwładności walca, oraz zastosowanie związku między prędkością a przyśpieszeniem i drogą (z wyeliminowanym czasem) w ruchu jednostajnie przyśpieszonym bez prędkości początkowej, np. zapisy równoważne poniższym:

$& m g h=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} k_{2} m R^{2} \frac{v^{2}}{R^{2}} \quad \text { oraz } \quad v^{2}=2 a s$ $& \quad \text { albo }$ $& g h=\frac{1}{2} v^{2}+\frac{1}{2} k_{2} v^{2} \quad \text { oraz } \quad v^{2}=2 a s$

2 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego $z$ zasady zachowania energii mechanicznej oraz poprawne zastosowanie wzorów na energię kinetyczną ruchu postępowego walca W2, energię kinetyczną ruchu obrotowego walca W2 i energię potencjalną walca W2, oraz zastosowanie związku między prędkością kątową walca a prędkością liniową walca, np. zapisy równoważne poniższym:

$\left(m g h=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \omega^{2} \quad \text { oraz } \quad v=\omega R\right) \quad \text { albo } \quad m g h=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \frac{v^{2}}{R^{2}}$

1 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej oraz uwzględnienie (poprzez oznaczenie) w tym równaniu energii kinetycznych ruchu postępowego walca W2, ruchu obrotowego walca W2 i energii potencjalnej walca W2, np. zapisy równoważne poniższym:

$E_{\text {pot wal }}=E_{\text {kin wal post }}+E_{\text {kin wal obr }}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)

4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości $a$ przyśpieszenia liniowego walca W2 poprzez $g, \beta$ i $k_{2}$ oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na $a$ :

$a=\frac{\sin \beta}{1+k_{2}} g$

3 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca W2 względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia (z kątem $\beta$ ) opisującego moment siły działający na W2 (względem chwilowej osi obrotu), oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym, oraz uwzględnienie związku między $I_{c h w}$ a $I_{2}$, np. zapisy równoważne poniższym:

$I_{c h w} \epsilon=R \cdot m g \sin \beta \quad \text { oraz } \quad \epsilon=\frac{a}{R} \quad \text { oraz } \quad I_{c h w}=I_{2}+m R^{2}$

albo (w jednym równaniu) $\left(I_{2}+m R^{2}\right) \frac{a}{R}=R \cdot m g \sin \beta$ 2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca W2 względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia (z kątem $\beta$ ) opisującego moment siły działający na W2 (względem chwilowej osi obrotu) oraz uwzględnienie (np. poprzez oznaczenie), że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest różny od $I_{2}$, np. zapisy równoważne poniższym:

$I_{c h w} \epsilon=R \cdot m g \sin \beta$

1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu (z oznaczeniem momentu siły ciężkości) wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowei osi obrotu (oś chwilowa musi być zidentyfikowana) oraz uwzględnienie (np. poprzez oznaczenie), że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest różny od $I_{2}$, np. zapisy równoważne poniższym:

$I_{c h w} \epsilon=M_{Q}$

LUB

• zapisanie poprawnego wzoru na moment siły względem chwilowej osi obrotu (ta oś chwilowa musi być zidentyfikowana) oraz poprawna identyfikacja siły, która powoduje moment względem chwilowej osi obrotu, np. zapisy równoważne poniższym:

$M_{Q}=R \cdot Q_{\|} \quad \text { albo } \quad M_{Q}=R \cdot m g \sin \beta$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1. (zastosowanie zasad dynamiki)

Na walec W2 działają trzy siły: siła tarcia statycznego $\vec{T}$ oraz siła reakcji równi $\vec{F}_{r}$ oraz siła ciężkości walca $\vec{Q}$. Wypadkowa ze wszystkich sił działających na walec ma kierunek wzdłuż równi i wartość opisaną wyrażeniem:

$F_{w}=m g \sin \beta-T$

Jedynie siła tarcia statycznego ma niezerowy moment względem osi obrotu walca W2:

$M_{T}=R T$

Zapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca W2 oraz dla ruchu obrotowego walca W2 (względem osi symetrii):

$\left\{\begin{array}{l} m a=m g \sin \beta-T$ $I_{2} \epsilon=R T \end{array}\right.$

Siła tarcia statycznego nie osiągnęła wartości maksymalnej, zatem pozostaje niewiadomą w powyższym układzie równań. Zastosujemy związek $a=\epsilon R$ między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym (w przypadku toczenia się bez poślizgu) oraz wzór na moment bezwładności walca W2:

$\begin{array}{lll} \left\{\begin{array}{lll} m a=m g \sin \beta-T$ $k_{2} m R^{2} \frac{a}{R}=R T\rightarrow\left\{\begin{array}{l} m a=m g \sin \beta-T$ $k_{2} m a=T \end{array}\right. \end{array} \rightarrow\right.$ $\left\{\begin{array}{lll} m a=m g \sin \beta-k_{2} m a\rightarrowa+k_{2} a=g \sin \beta$ $k_{2} m a=T \end{array}\right.$ $a=\frac{\sin \beta}{1+k_{2}} g & \end{array}$

Sposób 2. (zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej)

Zgodnie z przyjętym modelem zjawiska energia mechaniczna pozostaje stała podczas ruchu walca - siły oporów pomijamy, a siła tarcia statycznego nie zmienia całkowitej energii kinetycznej (prace siły tarcia statycznego i momentu siły tarcia statycznego znoszą się).

W chwili początkowej energia mechaniczna walca W2 jest równa jego energii potencjalnej grawitacji. Przyjmiemy, że zero energii potencjalnej jest na poziomie środka masy walca W 2 , gdy ten jest u podnóża równi. Zatem u podnóża równi energia mechaniczna walca W2 jest równa tylko jego energii kinetycznej całkowitej (ruchu postępowego i obrotowego). Zapiszemy zasadę zachowania energii mechanicznej:

$E_{\text {pot wal }}=E_{\text {kin wal post }}+E_{\text {kin wal obr }}$

Wysokość, na jakiej znajduje się środek masy walca W2 w chwili początkowej, liczona względem poziomu zera energii potencjalnej, przyjmiemy jako $h$. Zastosujemy wzory na wymienione rodzaje energii:

$\text { 1) } m g h=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \omega^{2}$

Wykorzystamy związek między prędkością kątową i liniową (dla toczenia się bez poślizgu) oraz wzór na moment bezwładności walca W2. Wyznaczymy kwadrat prędkości walca u podnóża równi: 2) $m g h=\frac{1}{2} m v^{2}+\frac{1}{2}\left(k_{2} m R^{2}\right) \cdot \frac{v^{2}}{R^{2}} \quad \rightarrow \quad g h=\frac{1}{2} v^{2}+\frac{1}{2} k_{2} v^{2}$ 3) $v^{2}=\frac{2 g h}{\left(1+k_{2}\right)}$

Wykorzystamy związek kinematyczny między przyśpieszeniem a drogą i prędkością w ruchu jednostajnie przyśpieszonym (siła wypadkowa jest stała) bez prędkości początkowej, drogę powiążemy z wysokością i kątem nachylenia równi: 4) $v^{2}=2 a s$ 5) $h=\sin \beta \cdot s$

Przyrównamy do siebie prawe strony równań 3) i 4) z uwzględnieniem związku 5):

$& \text { 6) } 2 a s=\frac{2 g \sin \beta \cdot s}{\left(1+k_{2}\right)} \rightarrow$ $& \text { 7) } a=\frac{\sin \beta}{\left(1+k_{2}\right)} g$

Sposób 3. (zastosowanie metody chwilowej osi obrotu)

Rozważmy obrót walca W2 wokół chwilowej osi obrotu. Chwilowa oś obrotu zawiera odcinek styczności walca z powierzchnią równi w danej chwili. Jedynie siła ciężkości $\vec{Q}$ walca ma niezerowy moment względem tej osi obrotu (tzn. jej składowa $\vec{Q}_{\|}$wzdłuż równi). Ramię tej siły jest równe $R$, zatem:

$\text { 1) } M_{Q}=R \cdot Q_{\|} \quad \text { gdzie } \quad Q_{\|}=m g \sin \beta$

W metodzie chwilowej osi obrotu rozważamy tylko ruch obrotowy. Zapiszemy równanie wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu:

$\text { 2a) } \left.I_{c h w} \epsilon=M_{Q} \rightarrow I_{c h w} \epsilon=R \cdot Q_{\|} \rightarrow 2 \mathrm{~b}\right) I_{c h w} \epsilon=R \cdot m g \sin \beta$

Wyznaczymy wzór na moment bezwładności walca W2 względem chwilowej osi obrotu (z twierdzenia Steinera): 3) $I_{c h w}=I_{2}+m R^{2}=k_{2} m R^{2}+m R^{2}=\left(k_{2}+1\right) m R^{2}$

Do równania 2b) podstawimy zależność 3) oraz zastosujemy związek $a=\epsilon R$ między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym (w przypadku metody chwilowej osi obrotu przyśpieszenie liniowe jest przyśpieszeniem chwilowym stycznym do chwilowego toru ruchu punktu środka masy walca W2): 4) $\left(k_{2}+1\right) m R^{2} \cdot \frac{a}{R}=R \cdot m g \sin \beta \quad \rightarrow \quad\left(k_{2}+1\right) a=g \sin \beta$ 5) $a=\frac{\sin \beta}{\left(1+k_{2}\right)} g$