Nowy dokument

Zasady oceniania

2 pkt - poprawne zaznaczenia w trzech zdaniach. 1 pkt - poprawne zaznaczenia w dwóch zdaniach. 0 pkt - odpowiedź niepoprawna lub niepełna albo brak odpowiedzi.

Pełne rozwiązanie

F, P, P.

Zasady oceniania

2 pkt - narysowanie oraz podpisanie wektora siły sprężystości $\vec{F}_{S}$, oraz wektora siły grawitacji $\vec{F}_{g}$ (zaczepionych w punkcie $P$ ) z poprawnym uwzględnieniem kierunku, zwrotu i relacji między wartościami (długościami) tych wektorów, oraz zapisanie poprawnej relacji między wartościami sił. 1 pkt - narysowanie oraz podpisanie wektora siły sprężystości $\vec{F}_{S}$, oraz wektora siły grawitacji $\vec{F}_{g}$ (zaczepionych w punkcie $P$ ) z poprawnym uwzględnieniem kierunków i zwrotów tych wektorów. Uwaga! W tym kryterium za 1 pkt nie uwzględnia się relacji między wartościami wektorów (zarówno na rysunku jak i w zapisie nierówności). 0 pkt - rozwiązanie niepoprawne albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1.)

4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: $F_{S \text { max }} \approx 1,92 \mathrm{~N}$ 3 pkt - zapisanie równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka oraz zapisanie (lub uwzględnienie w równaniu) poprawnego wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz wykorzystanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością maksymalną i okresem w ruchu drgającym, np. zapisy równoważne poniższym:

$\operatorname{ma} a_{\max }=F_{w y p \max } \quad \text { oraz } \quad F_{w y p \max }=F_{s \max }-F_{g} \quad \text { oraz } \quad a_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\max }$

albo w jednym równaniu:

$m\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\max }=F_{S \max }-F_{g}$

2 pkt - zapisanie równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka oraz zapisanie (lub uwzględnienie w równaniu) poprawnego wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym:

$\operatorname{ma} \max =F_{s \max }-F_{g}$

LUB

• zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu oraz wykorzystanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością i okresem (albo związków między prędkością a amplitudą i okresem oraz między przyśpieszeniem a amplitudą i okresem) w ruchu drgającym prostym, np. zapisy równoważne poniższym:

$F_{w y p \max }=F_{s \max }-F_{g} \quad \text { oraz } \quad a_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\max }$

albo

$F_{w y p \max }=F_{S \max }-F_{g} \quad \text { oraz } \quad\left(a_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} A \quad \text { oraz } \quad v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A\right)$

1 pkt - zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym:

$F_{w y p \max }=F_{s \max }-F_{g}$

LUB

• zapisanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością i okresem (albo związków między prędkością a amplitudą i okresem oraz między przyśpieszeniem a amplitudą i okresem) w ruchu drgającym prostym oraz identyfikacja/określenie okresu z wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:

$& a_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\max } \quad \text { oraz } \quad T=0,4 \mathrm{~s}$ $& \quad \text { albo }$ $& \left(a_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} A \quad \text { oraz } \quad v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A\right) \quad \text { oraz } T=0,4 \mathrm{~s}$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)

4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: $F_{S \text { max }} \approx 1,92 \mathrm{~N}$ 3 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), oraz zapisanie warunku równowagi sił, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między amplitudą drgań a okresem i prędkością maksymalną w ruchu drgającym prostym, np. zapisy równoważne poniższym:

$F_{S \max }=k\left(y_{0}+A\right) \text { oraz } k y_{0}=m g \text { oraz }\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m} \text { oraz } v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A$ $& \text { albo w jednym równaniu: }$ $F_{S \max }=k y_{0}+k A=m g+\left(\frac{2 \pi}{T}\right) m v_{\max }$

2 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), oraz zapisanie warunku równowagi sił, np. zapisy równoważne poniższym: $F_{S \text { max }}=k\left(y_{0}+A\right) \quad$ oraz $\quad k y_{0}=m g$ LUB

• zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym: $F_{S \text { max }}=k\left(y_{0}+A\right) \quad$ oraz $\quad\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m}$ LUB

• zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między amplitudą drgań a okresem i prędkością maksymalną w ruchu drgającym prostym, np. zapisy równoważne poniższym: $F_{S \text { max }}=k\left(y_{0}+A\right) \quad$ oraz $\quad v_{\text {max }}=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A$ 1 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań (równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), np. zapisy równoważne poniższym:

$F_{S \max }=k\left(y_{0}+A\right) \quad y_{0}-\text { wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi }$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)

4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: $F_{S \text { max }} \approx 1,92 \mathrm{~N}$ 3 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:

$F_{s \max }-F_{g}=k A \quad \text { oraz } \quad\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m} \quad \text { oraz } \quad v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A$

albo w jednym równaniu:

$F_{s \max }-F_{g}=k A=\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} m \cdot \frac{v_{\max }}{\left(\frac{2 \pi}{T}\right)}$

2 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym:

$F_{w \max }=k A \quad \text { oraz } \quad F_{w \max }=F_{s \max }-F_{g} \quad \text { oraz } \quad\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m}$

albo $w$ jednym równaniu

$& m\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} A=F_{S \max }-F_{g}$ $& \text { LUB }$

• zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:

$& F_{w \max }=k A \quad \text { oraz } \quad F_{w \max }=F_{s \max }-F_{g} \quad \text { oraz } \quad v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A$ $& \quad \text { albo w jednym równaniu }$ $& k \frac{v_{\max }}{\left(\frac{2 \pi}{T}\right)}=F_{s \max }-F_{g}$

1 pkt - zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym:

$F_{w y p \max }=F_{s \max }-F_{g}$

LUB

• zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym: $F_{w \text { max }}=k A \quad$ oraz $\quad\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m}$ LUB

• zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości i amplitudy drgania oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym: $F_{w \text { max }}=k A \quad$ oraz $\quad v_{\text {max }}=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A$ Uwaga! W drugim i trzecim kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności określenia siły wypadkowej. 0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 4. - energetycznym)

4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: $F_{S \text { max }} \approx 1,92 \mathrm{~N}$ 3 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne wykorzystanie wzorów na wszystkie rodzaje energii, oraz poprawne wykorzystanie dwóch związków spośród czterech: $v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A \operatorname{lub}\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m}$ lub $k y_{0}=m g$ lub $F_{S \text { max }}=k\left(y_{0}+A\right)$, np. zapisy równoważne poniższym: $\frac{1}{2} k\left(y_{0}+A\right)^{2}=\frac{1}{2} m v_{\text {max }}^{2}+\frac{1}{2} k y_{0}^{2}+m g A$ oraz $\left(v_{\text {max }}=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A \quad \operatorname{lub}\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m} \quad \operatorname{lub} \quad k y_{0}=m g \quad \operatorname{lub} \quad F_{s \text { max }}=k\left(y_{0}+A\right)\right)$ 2 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne wykorzystanie wzorów na wszystkie rodzaje energii, np. zapisy równoważne poniższym: $\frac{1}{2} k\left(y_{0}+A\right)^{2}=\frac{1}{2} m v_{\text {max }}^{2}+\frac{1}{2} k y_{0}^{2}+m g A$ LUB

• zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne wykorzystanie dwóch związków spośród czterech: $v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A \operatorname{lub}\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m}$ lub $k y_{0}=m g$ lub $F_{s \text { max }}=k\left(y_{0}+A\right)$, np. zapisy równoważne poniższym:

$& E_{\text {pot spr max }}=E_{\text {kin rownowagi }}+E_{\text {pot spr rownowagi }}+E_{\text {pot graw rownowagi }} \text { oraz }$ $& \left(v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A \quad \text { lub }\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m} \quad \text { lub } k y_{0}=m g \quad \text { lub } \quad F_{s \max }=k\left(y_{0}+A\right)\right)$

1 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi, np. zapisy równoważne poniższym:

$E_{\text {pot spr max }}=E_{\text {kin rownowagi }}+E_{\text {pot spr rownowagi }}+E_{\text {pot graw rownowagi }}$

Uwaga! W tym kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności wyrażenia tych energii wzorami. LUB

• zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. w chwili maksymalnego wychylenia i chwili przechodzenia ciężarka przez położenie równowagi oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym:

$E_{\text {mech max wych }}=E_{\text {mech rownowagi }} \quad \text { oraz } \quad\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m}$

LUB

• zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn. w chwili maksymalnego wychylenia i chwili przechodzenia ciężarka przez położenie równowagi oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:

$E_{\text {mech } \max w y c h}=E_{\text {mech rownowagi }} \quad \text { oraz } \quad v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A$

Uwaga! W drugim i trzecim kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności rozpisania energii mechanicznej jako sumy odpowiednich rodzajów energii, tylko w ogóle sam fakt przyrównania energii mechanicznej w danych chwilach. LUB

• zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań, np. zapisy równoważne poniższym:

$F_{s \max }=k\left(y_{0}+A\right) \quad y_{0} \text { - wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi }$

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.

Uwaga dodatkowa

Przyśpieszenie maksymalne $a_{\text {max }}$ zdający może oszacować na podstawie wykresu, tzn. jako iloraz małego przyrostu prędkości do czasu w otoczeniu $v \approx 0$, np.:

$a_{\max } \approx \frac{\Delta v}{\Delta t}(v \approx 0) \approx \frac{0,225 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{0,025 \mathrm{~s}}=9 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}$

W takiej sytuacji należy oceniać zgodnie z zasadami oceniania i równoważnie temu, jak gdyby zdający wyznaczał przyśpieszenie ze wzoru $a_{\text {max }}=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\text {max }}$. Przy takiej metodzie jako poprawny należy uznać wynik mieszczący się w przedziale od $1,8 \mathrm{~N}$ do $2,0 \mathrm{~N}$.

Przykładowe pełne rozwiązania

Sposób 1.

W najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma największą wartość i ponadto większą od wartości ciężaru ciężarka. Zatem wartość siły wypadkowej działającej na ciężarek jest równa:

$F_{w y p \max }=F_{s \max }-F_{g}$

Zapiszemy równanie wyrażające II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu i uwzględnimy wzór na siłę grawitacji:

$m a_{\max }=F_{s \max }-m g$

Zastosujemy związek między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością maksymalną i okresem w ruchu drgającym prostym:

$m\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\max }=F_{s \max }-m g$

Powyższe równanie przekształcimy, podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły sprężystości działającej na ciężarek:

$& F_{s \max }=m\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\max }+m g \rightarrow F_{s \max }=m\left(\frac{2 \pi v_{\max }}{T}+g\right)$ $& F_{s \max }=0,1 \mathrm{~kg} \cdot\left(\frac{2 \cdot 3,142 \cdot 0,6 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{0,4 \mathrm{~s}}+9,81 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}\right) \approx 1,92 \mathrm{~N}$

Sposób 2.

W najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma największą wartość, ponieważ wydłużenie $y_{\text {max }}$ sprężyny ponad długość swobodną jest wtedy największe. Wydłużenie $y_{\text {max }}$ jest równe sumie amplitudy drgań $(A)$ i wydłużenia $\left(y_{0}\right)$ sprężyny ponad jej długość swobodną, gdy znajduje się ona w położeniu równowagi sił. Zatem siła sprężystości w najniższym położeniu drgań ma wartość:

$F_{s \max }=k y_{\max }=k\left(A+y_{0}\right) \quad \rightarrow \quad F_{s \max }=k A+k y_{0}$

Zapiszemy warunek, gdy ciężarek znajduje się w położeniu równowagi sił (sprężystości i grawitacji):

$F_{s 0}=F_{g} \quad \rightarrow \quad k y_{0}=m g$

Powyższy warunek uwzględnimy w równaniu na wartość siły sprężystości w najniższym położeniu:

$F_{s \max }=k A+m g$

Do powyższego równania zastosujemy związki między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań oraz między prędkością maksymalną a okresem drgań i amplitudą w ruchu drgającym prostym:

$\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m} \quad \text { oraz } \quad v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A$

Zatem:

$F_{s \max }=m\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} \cdot \frac{v_{\max }}{\left(\frac{2 \pi}{T}\right)}+m g=m\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\max }+m g$

Do powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły sprężystości działającej na ciężarek:

$F_{s \max }=0,1 \mathrm{~kg} \cdot\left(\frac{2 \cdot 3,142 \cdot 0,6 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{0,4 \mathrm{~s}}+9,81 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}\right) \approx 1,92 \mathrm{~N}$

Sposób 3.

W najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma największą wartość i ponadto większą od wartości ciężaru ciężarka. Zatem wartość siły wypadkowej działającej na ciężarek jest równa:

$F_{w y p \max }=F_{s \max }-F_{g}$

Siła wypadkowa powoduje drgania harmoniczna, a zatem siła wypadkowa jest siłą harmoniczną, czyli jej wartość jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi. Zatem w maksymalnym wychyleniu mamy:

$k A=F_{s \max }-m g$

Do powyższego równania zastosujemy związki między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań oraz między prędkością maksymalną a okresem drgań i amplitudą w ruchu drgającym prostym:

$\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\frac{k}{m} \quad \text { oraz } \quad v_{\max }=\left(\frac{2 \pi}{T}\right) A$

Zatem:

$m\left(\frac{2 \pi}{T}\right)^{2} \cdot \frac{v_{\max }}{\left(\frac{2 \pi}{T}\right)}=F_{s \max }-m g$

Do powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły sprężystości działającej na ciężarek:

$F_{s \max }=0,1 \mathrm{~kg} \cdot\left(\frac{2 \cdot 3,142 \cdot 0,6 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{0,4 \mathrm{~s}}+9,81 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}\right) \approx 1,92 \mathrm{~N}$

Sposób 4. (rozwiązanie energetyczne)

Skorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej układu. Przyrównamy energię mechaniczną układu w chwili maksymalnego rozciągnięcia sprężyny do energii mechanicznej w chwili przechodzenia ciężarka przez położenie równowagi. Poziom zera energii potencjalnej grawitacji przyjmiemy w miejscu ciężarka, gdy sprężyna jest maksymalnie rozciągnięta - wtedy także energia kinetyczna jest równa zero. Zapiszemy równanie:

$E_{\text {pot spr max }}=E_{\text {kin rownowagi }}+E_{\text {pot spr rownowagi }}+E_{\text {pot graw rownowagi }}$

Wykorzystamy wzory na energię potencjalną sprężystości, energię potencjalną grawitacji oraz energię kinetyczną:

$\frac{1}{2} k\left(y_{0}+A\right)^{2}=\frac{1}{2} m v_{\max }^{2}+\frac{1}{2} k y_{0}^{2}+m g A$

Przekształcimy i uprościmy powyższe równanie:

$& \frac{1}{2} k y_{0}^{2}+\frac{1}{2} 2 k y_{0} A+\frac{1}{2} k A^{2}=\frac{1}{2} m v_{\max }^{2}+\frac{1}{2} k y_{0}^{2}+m g A \rightarrow$ $& k y_{0} A+\frac{1}{2} k A^{2}=\frac{1}{2} m v_{\max }^{2}+m g A$

Przekształcimy lewą stronę równania, aby wykorzystać wzór na maksymalną wartość siły sprężystości: $F_{s \text { max }}=k\left(y_{0}+A\right)$. Kolejno:

$& k y_{0} A+k A^{2}-\frac{1}{2} k A^{2}=\frac{1}{2} m v_{\max }^{2}+m g A$ $& A k\left(y_{0}+A\right)-\frac{1}{2} k A^{2}=\frac{1}{2} m v_{\max }^{2}+m g A$ $& A F_{s \max }-\frac{1}{2} k A^{2}=\frac{1}{2} m v_{\max }^{2}+m g A$ $& F_{s \max }=\frac{1}{2} k A+\frac{1}{2} m \frac{v_{\max }^{2}}{A}+m g$

Do otrzymanego równania zastosujemy związki:

$\omega^{2}=\frac{k}{m} \quad \text { oraz } \quad v_{\max }=\omega A \quad \text { gdzie } \quad \omega=\frac{2 \pi}{T}$

Zatem:

$F_{S \max }=\frac{1}{2} \omega^{2} m \cdot \frac{v_{\max }}{\omega}+\frac{1}{2} m \cdot \omega v_{\max }+m g=\frac{1}{2} m \omega v_{\max }+\frac{1}{2} m \omega v_{\max }+m g$ $F_{s \max }=m \omega v_{\max }+m g=m\left(\frac{2 \pi}{T}\right) v_{\max }+m g$

Do powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły sprężystości działającej na ciężarek:

$F_{s \max }=0,1 \mathrm{~kg} \cdot\left(\frac{2 \cdot 3,142 \cdot 0,6 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}}}{0,4 \mathrm{~s}}+9,81 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}^{2}}\right) \approx 1,92 \mathrm{~N}$