Implementacja algorytmu w języku C++

Napiszmy program realizujący algorytm wyznaczania miejsca zerowego funkcji $f(x)$ w przedziale <1,3> z dokładnością do trzech miejsc po przecinku.

Na początek dołączamy niezbędne biblioteki. W trakcie pisania programu będziemy korzystali z funkcji fabs umożliwiającej obliczenie wartości bezwzględnejwartość bezwzględnawartości bezwzględnej wyrażenia. Dołączamy bibliotekę cmathcmathcmath, dzięki której będziemy mogli użyć tej funkcji.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

Tworzymy definicję funkcji o nazwie funkcja. Jej rolą jest obliczenie i zwrócenie wartości analizowanej funkcji w punkcie x zgodnie z wcześniej podanym wzorem.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

W programie zdefiniujemy kolejną funkcję będącą pochodną funkcji, której miejsce zerowe chcemy wyznaczyć. Pochodna funkcji $f(x)$ ma następujący wzór:

W programie nadajemy jej nazwę pochodna.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

double pochodna(double x) {
	return 3 * x * x - 5;
}

Możemy przejść do zdefiniowania funkcji realizującej kolejne przybliżenia. Jej przyjmowanymi parametrami są: punkt startowy xIndeks dolny 11 wartość błędu bezwzględnego ex oraz dokładność ey, czyli maksymalna różnica pomiędzy kolejnymi przybliżeniami, przy której możemy zakończyć algorytm.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

double pochodna(double x) {
	return 3 * x * x - 5;
}

double metodaStycznych(double x1, double ex, double ey) {
}

Tworzymy zmienną xIndeks dolny 22 typu double. To w niej będą przechowywane kolejne przybliżenia. Na początek przypisujemy jej wartość xIndeks dolny 11.

W pętli do..while przypisujemy zmiennej x1 wartość x2. W tym momencie wartość zapisana w zmiennej xIndeks dolny 22 staje się nowym punktem startowym. Następnie zgodnie z przedstawionym wcześniej wzorem obliczamy miejsce zerowe i zapisujemy do zmiennej x2. Jeżeli różnica pomiędzy kolejnymi przybliżeniami (wartość bezwzględna, którą obliczamy funkcją fabs()) jest większa od dokładności przyjmowanej jako parametr, przechodzimy na początek pętli i ponawiamy obliczenia. W przeciwnym wypadku wychodzimy z pętli i na koniec zwracamy wartość zmiennej x2, czyli przybliżoną wartość miejsca zerowego funkcji. Wykonywanie pętli kończymy również w przypadku, gdy wartość funkcji dla podanego argumentu jest mniejsza lub równa dokładności, oznacza to również, że znaleźliśmy miejsce zerowe z zadowalającą dokładnością.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

double pochodna(double x) {
	return 3 * x * x - 5;
}

double metodaStycznych(double x1, double ex, double ey) {
	double x2 = x1;

	do {
		x1 = x2;
		x2 = x1 - funkcja(x1) / pochodna(x1);
	} while (fabs(x2 - x1) > ex && funkcja(x2) > ey);

	return x2;
}

Na koniec w głównej funkcji programu main() wywołujemy funkcję metodaStycznych z punktem startowym 3 i przybliżeniem oraz błędem bezwzględnym równymi 0,001. Wynik tego wywołania, pomnożony przez 1000, zapisujemy w zmiennej typu całkowitego przyblizenie. Dzięki temu wynik zostanie zaokrąglony do części całkowitej i w momencie, gdy do zmiennej wynik zapiszemy przybliżenie podzielone przez 1000, otrzymamy zaokrąglenie do części tysięcznej.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double funkcja(double x) {
	return x * x * x - 5 * x;
}

double pochodna(double x) {
	return 3 * x * x - 5;
}

double metodaStycznych(double x1, double ex, double ey) {
	double x2 = x1;

	do {
		x1 = x2;
		x2 = x1 - funkcja(x1) / pochodna(x1);
	} while (fabs(x2 - x1) > ex && funkcja(x2) > ey);

	return x2;
}

int main() {
	int przyblizenie = metodaStycznych(3, 0.0001, 0.0001) * 1000;
	double wynik = przyblizenie / 1000.0;

	cout << wynik << endl;

	return 0;
}

Wynikiem przedstawionego programu i jednocześnie miejscem zerowym funkcji $f\left(x\right)=x^3-5x$ w przedziale <1,3> jest $x=2,236$.

Pamiętaj, że zbieżnośćzbieżnośćzbieżność nie zawsze musi zachodzić. Jeżeli źle dobierzemy punkt startowy, algorytm stycznej nie zwróci wyniku. W takim wypadku program może np. nigdy się nie kończyć, ponieważ w każdej iteracji będzie  się oddalał od znalezienia miejsca zerowego.

Słownik