Strefa wyzwań

R1G4XXT4EHGSD

Ćwiczenie 1

RXNH9F5738ZS3

Ćwiczenie 2

R1C566412DCJF

Ćwiczenie 3

RL4TNQ1CZU8ET

Ćwiczenie 4

Ćwiczenie 5

Pewna wydawczyni przygotowała kosztorys druku najnowszej książki poczytnego autora. Założyła, że druk 10 000 egzemplarzy będzie kosztował 35 000 złotych. Po analizie pozostałych kosztów doszła do wniosku, że jej obliczenia mogą być obarczone błędem względnym o wartości 17%. Po ich przekroczeniu koszt druku byłby za wysoki do szacowanej sprzedaży. Wysłała zapytanie do czterech drukarni. Otrzymała następujące wyliczenia:

pierwsza drukarnia: 40 000 złotych;
druga drukarnia: 33 000 złotych;
trzecia drukarnia: 45 000 złotych, ale przy założeniu, że minimalny drukowany nakład wynosi 12 000 egzemplarzy;
czwarta drukarnia 45 000 złotych.

Które drukarnie mieszczą się w założonych kosztach? Wydawczyni jest skłonna zwiększyć nakład i proporcjonalnie do niego budżet.

RNHPSAXS161FK

W założonych kosztach mieści się pierwsza, druga oraz trzecia drukarnia.

Obliczenia:

Pierwsza drukarnia: $\frac{|40000 - 35000|}{40000} \cdot 100 % = \frac{5000}{40000} \cdot 100 % = \frac{5}{40} \cdot 100 % = \frac{1}{8} \cdot 100 % = \frac{100 %}{8} = 12, 5 %$

Druga drukarnia: nie musimy wykonywać obliczeń, ponieważ drukarnia zaproponowała kwotę niższą niż zakładana.

Trzecia drukarnia: najpierw musimy sprawdzić, ile wynosiłby budżet dla 12 000 egzemplarzy (x).

$x = \frac{12000 \cdot 35000}{10000} = \frac{420000000}{10000} = 42000$

Budżet dla 12 000 egzemplarzy wynosiłby 42 000 złotych. Możemy obliczyć wartość błędu względnego.

$\frac{|45000 - 42000|}{45000} \cdot 100 % = \frac{3000}{42000} \cdot 100 % = \frac{3}{42} \cdot 100 % = \frac{300 %}{42} = 7, 1 %$

Czwarta drukarnia: $\frac{|45000 - 35000|}{45000} \cdot 100 % = \frac{10000}{45000} \cdot 100 % = \frac{10}{45} \cdot 100 % = \frac{2}{9} \cdot 100 % = \frac{200 %}{9} = 22, 2 %$

Ćwiczenie 6

Napisz program zaokrąglający podaną liczbę x tak, aby błąd względny nie przekroczył ustalonej wartości krytycznej bladKrytyczny.

Przetestuj działanie programu zaokrąglając liczbę 0,054256, dopóki błąd względny nie przekroczy wartości 5%.

Specyfikacja:

Dane:

x - zaokrąglana wartość; liczba rzeczywista z przedziału [0, 1]
bladKrytyczny - wartość krytyczna; liczba rzeczywista z przedziału [0, 100]

Wynik:

Program zwraca na standardowe wyjście zaokrągloną liczbę.

R1ZXOuvvBS3kZ

Twoje zadanie: Program ma zaokrąglać podaną liczbę, dopóki błąd względny nie przekroczy ustalonej wartości.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double zaokraglenie(double liczba, int poPrzecinku) {

}

int main() {
	double x = 0.054256;
	double bladKrytyczny = 5;
}

Przykładowe rozwiązanie zadania:

Linia 1. kratka include otwórz nawias ostrokątny iostream zamknij nawias ostrokątny. Linia 2. kratka include otwórz nawias ostrokątny cmath zamknij nawias ostrokątny. Linia 3. using namespace std średnik. Linia 5. double zaokraglenie otwórz nawias okrągły double liczba przecinek int poPrzecinku zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 6. return round otwórz nawias okrągły liczba asterysk otwórz nawias okrągły pow otwórz nawias okrągły 10 przecinek poPrzecinku zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły prawy ukośnik otwórz nawias okrągły pow otwórz nawias okrągły 10 przecinek poPrzecinku zamknij nawias okrągły zamknij nawias okrągły średnik. Linia 7. zamknij nawias klamrowy. Linia 9. int main otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 10. double xZaokraglony przecinek bladBezwzgledny przecinek bladWzgledny średnik. Linia 11. double x znak równości 0 kropka 054256 średnik. Linia 12. double bladKrytyczny znak równości 5 średnik. Linia 14. for otwórz nawias okrągły int i znak równości 1 średnik i otwórz nawias ostrokątny znak równości 6 średnik i plus plus zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 15. xZaokraglony znak równości zaokraglenie otwórz nawias okrągły x przecinek 6 minus i zamknij nawias okrągły średnik. Linia 16. bladBezwzgledny znak równości fabs otwórz nawias okrągły x minus xZaokraglony zamknij nawias okrągły średnik. Linia 17. bladWzgledny znak równości otwórz nawias okrągły bladBezwzgledny prawy ukośnik x zamknij nawias okrągły asterysk 100 średnik. Linia 19. if otwórz nawias okrągły bladWzgledny zamknij nawias ostrokątny bladKrytyczny zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 20. xZaokraglony znak równości zaokraglenie otwórz nawias okrągły x przecinek 7 minus i zamknij nawias okrągły średnik. Linia 21. break średnik. Linia 22. zamknij nawias klamrowy. Linia 23. zamknij nawias klamrowy. Linia 25. cout otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny xZaokraglony średnik. Linia 27. return 0 średnik. Linia 28. zamknij nawias klamrowy.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

double zaokraglenie(double liczba, int poPrzecinku) {
	return round(liczba*(pow(10,poPrzecinku)))/(pow(10,poPrzecinku));
}

int main() {
	double xZaokraglony, bladBezwzgledny, bladWzgledny;
	double x = 0.054256;
	double bladKrytyczny = 5;

	for(int i = 1; i <= 6; i++) {
		xZaokraglony = zaokraglenie(x, 6 - i);
		bladBezwzgledny = fabs(x - xZaokraglony);
		bladWzgledny = (bladBezwzgledny / x) * 100;

		if(bladWzgledny > bladKrytyczny) {
			xZaokraglony = zaokraglenie(x, 7 - i);
			break;
		}
	}
    
	cout << xZaokraglony;
    
	return 0;
}

Ćwiczenie 7

Korzystając ze zdefiniowanej w programie stałej PIERWIASTEK_Z_2, sprawdź, z dokładnością do ilu miejsc po przecinku należy wypisać jej przybliżenie, aby błąd względny między wartością pierwotną a przybliżoną wynosił mniej niż 0,01%. Wypisz wyznaczoną liczbę cyfr.

Przykład:

Błąd względny między przybliżeniem pierwiastka z liczby 2 do dwóch cyfr po przecinku a wartością 1,41421356237 wynosi:

\frac{1, 41421356237 - 1, 41}{1, 41421356237} \cdot 100 % = 0, 29794385247 %

Potrzeba zatem przybliżenia do dwóch cyfr po przecinku, aby błąd względny wyniósł mniej niż 0,3%.

R1J8SA6dk2b9h

W wybranym edytorze wykorzystaj kod do rozwiązania zadania.

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double bladWzgledny(double x0, double x) {

// tu uzpełnij swój kod

}

double przyblizenie(double wartosc, int liczbaCyfr) {

// tu uzpełnij swój kod

}

int main() {
    const double PIERWIASTEK_Z_2 = 1.41421356237;
    int liczbaCyfr = 0;

// tu uzpełnij swój kod

    return 0;
}

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double bladWzgledny(double x0, double x) {
    return fabs(x - x0) / x;
}

double przyblizenie(double wartosc, int liczbaCyfr) {
    double potega10 = pow(10, liczbaCyfr);
    double przyblizenie = potega10 * wartosc;
    int przyblizenie10 = (int) przyblizenie;
    return przyblizenie10 / potega10;
}

int main() {
    const double PIERWIASTEK_Z_2 = 1.41421356237;
    int liczbaCyfr = 0;

    while (bladWzgledny(przyblizenie(PIERWIASTEK_Z_2, liczbaCyfr), PIERWIASTEK_Z_2) > 0.0001) {
        liczbaCyfr++;
    }

    cout << liczbaCyfr << endl;
    return 0;
}

Ćwiczenie 8

Liczba Eulera może być zdefiniowana przez sumę następującego szeregu:

e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + . . .

Sprawdź, dla jakiego $n$ błąd względny wyznaczonego przybliżenia liczby $e$ będzie mniejszy niż 0,0000005. Jako wartość dokładną przyjmij stałą matematyczną M_E. Wypisz minimalną wartość $n$ .

RYS4zweZtd0V3

W wybranym edytorze wykorzystaj kod do rozwiązania zadania.

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double bladWzgledny(double x0, double x) {

// uzupełnij program

}

double wyznaczE(int n) {

// uzupełnij program

}

int main() {
    double bladOczekiwany = 0.0000005;
    int n = 0;

// uzupełnij program

    return 0;
}

Linia 1. kratka include otwórz nawias ostrokątny iostream zamknij nawias ostrokątny. Linia 2. kratka include otwórz nawias ostrokątny cmath zamknij nawias ostrokątny. Linia 4. using namespace std średnik. Linia 6. double blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły double x0 przecinek double x zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 7. return fabs otwórz nawias okrągły x minus x0 zamknij nawias okrągły prawy ukośnik x średnik. Linia 8. zamknij nawias klamrowy. Linia 10. double wyznacz podkreślnik e otwórz nawias okrągły int n zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 11. double e znak równości 0 kropka 0 średnik. Linia 12. double next znak równości 1 kropka 0 średnik. Linia 13. for otwórz nawias okrągły int i znak równości 0 średnik i otwórz nawias ostrokątny n średnik plus plus i zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 14. if otwórz nawias okrągły i wykrzyknik znak równości 0 zamknij nawias okrągły. Linia 15. next asterysk znak równości 1 kropka 0 prawy ukośnik i średnik. Linia 16. e plus znak równości next średnik. Linia 17. zamknij nawias klamrowy. Linia 18. return e średnik. Linia 19. zamknij nawias klamrowy. Linia 21. int main otwórz nawias okrągły zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 22. double blad podkreślnik oczekiwany znak równości 0 kropka 0000005 średnik. Linia 23. int n znak równości 0 średnik. Linia 25. while otwórz nawias okrągły blad podkreślnik wzgledny otwórz nawias okrągły wyznacz podkreślnik e otwórz nawias okrągły n zamknij nawias okrągły przecinek M podkreślnik E zamknij nawias okrągły zamknij nawias ostrokątny blad podkreślnik oczekiwany zamknij nawias okrągły otwórz nawias klamrowy. Linia 26. plus plus n średnik. Linia 27. zamknij nawias klamrowy. Linia 29. cout otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny n otwórz nawias ostrokątny otwórz nawias ostrokątny endl średnik. Linia 30. return 0 średnik. Linia 31. zamknij nawias klamrowy.

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

double blad_wzgledny(double x0, double x) {
    return fabs(x - x0) / x;
}

double wyznacz_e(int n) {
    double e = 0.0;
    double next = 1.0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        if (i != 0)
            next *= 1.0/i;
        e += next;
    }
    return e;
}

int main() {
    double blad_oczekiwany = 0.0000005;
    int n = 0;

    while (blad_wzgledny(wyznacz_e(n), M_E) > blad_oczekiwany) {
        ++n;
    }

    cout << n << endl;
    return 0;
}

Zaokrąglanie liczby rzeczywistej w granicy błędu względnego