Zanim przystąpimy do implementacji algorytmu konwersji liczb z systemu dwójkowego na dziesiętny, przypomnijmy, w jaki sposób dokonywane jest takie przekształcenie. Przeanalizujmy przykład zamiany liczby zapisanej w systemie dwójkowym (binarnym) na system dziesiętny, czyli o podstawie $10$. Ułatwi to późniejsze zaimplementowanie algorytmu w języku C++.

Dokonamy konwersji liczby $1011$ z systemu dwójkowego na dziesiętny.

Jak rozwiązalibyśmy to zadanie, gdybyśmy mieli do dyspozycji kartkę i długopis?

R1TfcDsUYaSBP

Ilustracja. Wiersz pierwszy: 1011 indeks dolny nawias 2 zamknięcie nawiasu koniec indeksu dolnego równa się nawias zamknięcie nawiasu, indeks dolny nawias 10 zamknięcie nawiasu koniec indeksu dolnego, wiersz drugi: $1·2^0+1·2^1+0·2^2+1·2^3=$; wiersz trzeci: 1 plus 2 plus 0 plus 8 równa się 11

Konwersja polega na mnożeniu kolejnych bitów (zaczynając od najmłodszego bitunajmłodszy bitnajmłodszego bitu i kończąc na najstarszym bicienajstarszy bitnajstarszym bicie) przez wagę pozycji, czyli kolejne potęgi liczby $2$ (zaczynając od potęgi zerowej). Po zsumowaniu iloczynów częściowych otrzymamy wynik – liczbę zapisaną w systemie dziesiętnym.

Oto wynik końcowy wraz z odpowiednim zapisem:

Komputerowa realizacja w języku C++

Teraz zastanówmy się, jak zaimplementować omówiony algorytm przy użyciu języka programowania C++.

Algorytm zamiany liczby z systemu binarnego na system dziesiętny zapiszemy w ciele funkcji o nazwie konwertujBinDec(). Zwróci ona zmienną typu całkowitego (int) – będzie to liczba przekształcona do postaci dziesiętnej. Jako argument funkcja przyjmie liczbę zapisaną w systemie binarnym i przechowywaną w zmiennej typu string liczbaBin. Dlaczego użyjemy zmiennej typu string? W tym przypadku łatwiej będzie użyć właśnie tego typu zmiennej – podczas konwersji potrzebna jest znajomość wartości liczbowych poszczególnych cyfr, nie zaś całej liczby.

#include <string>

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;

int konwertujBinDec(string liczbaBin) {

}

Następnie zadeklarujmy kilka zmiennych:

• int wynik – zmienna, w której będziemy sumować kolejne iloczyny częściowe powstałe wskutek mnożenia wag przez bity. Będzie to wartość zwracana przez funkcję konwertujBinDec(),

• int waga – będzie przyjmować kolejne wagi bitów, czyli kolejne potęgi liczby $2$,

• int bit – do niej zapiszemy konkretny bit konwertowanej liczby.

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std

int konwertujBinDec(string liczba_bin) {
	int wynik = 0;
	int waga = 1;
	int bit = 0;
}

Zmienna waga na początku przyjmuje wartość $1$, ponieważ wagą najmłodszego bitu jest $2^0$, czyli $1$.

Napiszmy teraz pętlę typu for, w której kolejne bity, zaczynając od najmłodszego, będą mnożone przez odpowiadające im wagi.

int konwertujBinDec(string liczbaBin) {
	int wynik = 0;
	int waga = 1;
	int bit = 0;

	for (int i = liczbaBin.length() - 1; i >= 0; i--) {
		bit = liczbaBin[i] - '0';
		wynik = wynik + bit * waga;
		waga = waga * 2;
	}

	return wynik;
}

Omówmy teraz poszczególne fragmenty kodu.

• int bit = liczbaBin[i] - '0' → w zmiennej typu int zapisujemy zmienną typu string i odejmujemy od niej liczbę odpowiadającą w kodzie ASCII znakowi zera. Dzięki temu w zmiennej bit zostaje zapisana liczba $0$ lub $1$. Zmienna liczbaBin[i] w kodzie ASCII to znak '$0$' lub '$1$' (ponieważ tylko takie liczby mogą pojawić się w systemie binarnym), a odpowiadające tym znakom liczby to, kolejno, $48$ i $49$. Oznacza to, że jeżeli liczbaBin[i] będzie znakiem '$1$', zostanie wykonane działanie $49-48$, czyli zmienna bin przyjmie wartość liczbową $1$. Jeżeli natomiast liczbaBin[i] będzie znakiem '$0$', wykonane zostanie działanie $48-48$, a zmienna bin przyjmie wartość liczbową $0$,

• wynik = wynik + bit * waga → dodajemy kolejne iloczyny częściowe,

• waga = waga * 2 → aby uzyskać wagę kolejnej pozycji, mnożymy aktualną wagę razy podstawę systemu, czyli $2$.

Napiszmy kod, który umożliwi użytkownikowi wpisanie własnej liczby w celu wykonania konwersji do systemu dziesiętnego. Skorzystamy ze strumienia cin. Przeanalizujmy poniższy fragment kodu:

string liczbaTest;

cin >> liczbaTest;

Oczywiście musimy zadeklarować zmienną liczbaTest, do której zapisana zostanie informacja podana przez użytkownika.

Kolejnym krokiem będzie wywołanie funkcji konwertujBinDec() dla argumentu liczbaTest i wypisanie wyniku (czyli liczby przekształconej do postaci dziesiętnej). W tym przypadku posłużymy się strumieniem cout.

Oto kod całego programu:

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdlib>
using namespace std;

int konwertujBinDec(string liczbaBin) {
	int wynik = 0;
	int waga = 1;
	int bit = 0;

	for (int i = liczbaBin.length() - 1; i >= 0; i--) {
		bit = liczbaBin[i] - '0';
		wynik = wynik + bit * waga;
		waga = waga * 2;
	}

	return wynik;
}

int main() {
	string liczbaTest;
    
	cin >> liczbaTest;
	cout << konwertujBinDec(liczbaTest);

	return 0;
}

Konwersja części ułamkowej

Konwersja części ułamkowej z systemu binarnego na dziesiętny przebiega bardzo podobnie do przekształcania części całkowitej. Mnożymy kolejne bity przez wagi pozycji, jednak tym razem są one kolejnymi potęgami odwrotności podstawy systemu, czyli liczby $2$.

Posłużmy się przykładem:

RduAzhfvp5X3c

Ilustracja. Wiersz pierwszy: 0,1101 indeks dolny nawias 2 zamknięcie nawiasu koniec indeksu dolnego równa się nawias zamknięcie nawiasu indeks dolny nawias 10 zamknięcie nawiasu koniec indeksu dolnego, wiersz drugi: $1·2^{-1}+1·2^{-2}+0·2^{-3}+1·2^{-4}=$;wiersz trzeci: 0,5 plus 0,25 plus 0 plus 0,0625 równa się 0,8125

Mnożymy kolejne bity (zaczynając od bitu umieszczonego skrajnie po lewej stronie) przez wagę pozycji, czyli przez kolejne odwrotności potęgi liczby $2$ (zaczynając od $2^{-1}$). Następnie sumujemy iloczyny częściowe. Tak otrzymany wynik jest ułamkiem zapisanym w systemie dziesiętnym.

Słownik