4. Podzielność wielomianów

ReuZY7X65wt3d

W zbiorze liczb całkowitych mamy zdefiniowaną relację podzielności. Mówimy, że liczba całkowita $a$ jest podzielna przez liczbę całkowitą $b \neq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba całkowita $c$ taka, że $a = b \cdot c$ . Działanie mnożenia jest określone także dla wielomianów, więc analogicznie można spróbować określić relację podzielności wielomianów.

Twoje cele

Zapoznasz się z pojęciem podzielności wielomianów.
Obliczysz iloraz wielomianów w niektórych przypadkach.
Odkryjesz zależności między stopniami wielomianów i stopniem ich ilorazu.

Podzielność wielomianów

Definicja: Podzielność wielomianów

Wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ .

Możemy wtedy powiedzieć, że wielomian $Q (x)$ jest ilorazem wielomianu $W (x)$ przez wielomian $P (x)$ , natomiast o wielomianie $P (x)$ , że jest dzielnikiem wielomianu $W (x)$ .

W niektórych przypadkach do znalezienia dzielników wielomianu można wykorzystać wzory skróconego mnożenia.

Przykład 1

Wielomian $W (x) = x^{6} - 1$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} - 1$ .
Ilorazem tych wielomianów jest wielomian $Q (x) = x^{4} + x^{2} + 1$ .

Wielomian $W (x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} + 1$ .
Ilorazem jest wielomian $Q (x) = x^{2} + 1$ .

Zauważmy, że jeżeli $W (x)$ jest wielomianem zerowym, to jest wielomianem podzielnym przez dowolny niezerowy wielomian $P (x)$ . Ilorazem jest wtedy wielomian zerowy.

stopień wielomianu

Własność: stopień wielomianu

Jeżeli niezerowy wielomian $W (x)$ stopniastopień wielomianu jednej zmiennejstopnia $n$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ stopnia $k$ , to $k \leq n$ , a iloraz $W (x)$ przez $P (x)$ jest wielomianem stopnia $n - k$ .

Przykład 2

Dany jest wielomian drugiego stopnia $W (x) = 3 x^{2} + x - 4$ , czyli trójmian kwadratowy.

Zapiszmy wielomian w postaci iloczynowej: $W (x) = (3 x + 4) (x - 1)$ .
Wyznaczmy wielomiany, przez które wielomian $W (x)$ jest podzielny.

Rrw7FvSILQOcj

Wielomiany stopnia drugiego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wielomiany stopnia drugiego: np. przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery (wtedy ilorazem jest wielomian stopnia zerowego Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden) czy też przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, osiem (ilorazem jest Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka).
Ogólnie: wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery jest podzielny przez wszystkie wielomiany drugiego stopnia postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, W nawias, x, zamknięcie nawiasu dla k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wielomian stopnia zerowego Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka.

, Wielomiany stopnia pierwszego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, nawias, trzy x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu dla k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.
Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest również podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, trzy x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu.

, Wielomiany stopnia zerowego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia zerowego postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, przecinek, k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu.

Wielomiany stopnia drugiego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wielomiany stopnia drugiego: np. przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery (wtedy ilorazem jest wielomian stopnia zerowego Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden) czy też przez P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, sześć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, dwa x, plus, osiem (ilorazem jest Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka).
Ogólnie: wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery jest podzielny przez wszystkie wielomiany drugiego stopnia postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, W nawias, x, zamknięcie nawiasu dla k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wielomian stopnia zerowego Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka.

, Wielomiany stopnia pierwszego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, nawias, trzy x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu dla k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.
Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest również podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia pierwszego, które można zapisać w postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, razy, nawias, x, minus, jeden, zamknięcie nawiasu. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, trzy x, plus, cztery, zamknięcie nawiasu.

, Wielomiany stopnia zerowego

Wielomian W nawias, x, zamknięcie nawiasu jest podzielny przez wszystkie wielomiany stopnia zerowego postaci P nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, k, przecinek, k, nie równa się, zero. Ilorazem jest wtedy wielomian Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, k, koniec ułamka, razy, nawias, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, minus, cztery, zamknięcie nawiasu.

Przykład 3

Dany jest wielomian $W (x) = x^{4} + x^{3} + 5 x^{2} + 2 x + 6$ . Wiadomo, że jest on podzielnypodzielność wielomianówpodzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} + x + 3$ . Jak wyznaczyć iloraz tych wielomianów?

R1WZSExmcnrsY

krok 1 Wiemy, że iloraz Q nawias, x, zamknięcie nawiasu będzie wielomianem drugiego stopnia. Możemy więc zapisać Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c., krok 2 Zatem zgodnie z definicją podzielności wielomianów W nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, czyli
x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, plus, sześć, równa się, nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, zamknięcie nawiasu., krok 3 Obliczmy iloczyn P nawias, x, zamknięcie nawiasu, razy, Q nawias, x, zamknięcie nawiasu:
nawias, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, x, plus, trzy, zamknięcie nawiasu, nawias, a x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, b x, plus, c, zamknięcie nawiasu, równa się, a x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, nawias, a, plus, b, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, nawias, trzy a, plus, b, plus, c, zamknięcie nawiasu, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus plus, nawias, trzy b, plus, c, zamknięcie nawiasu, x, plus, trzy c., krok 4 Z równości wielomianów mamy:
nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, a, równa się, jeden, koniec równania, drugie równanie, a, plus, b, równa się, jeden, koniec równania, trzecie równanie, trzy a, plus, b, plus, c, równa się, pięć, koniec równania, czwarte równanie, trzy b, plus, c, równa się, dwa, koniec równania, piąte równanie, trzy c, równa się, sześć, koniec równania, koniec układu równań, ., krok 5 Wobec tego a, równa się, jeden, przecinek, b, równa się, zero, przecinek, c, równa się, dwa, czyli
Q nawias, x, zamknięcie nawiasu, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa.

Przykład 4

Wiadomo, że wielomian $W (x) = 3 x^{3} + p x^{2} + q x + 42$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} - 4 x - 21$ . Jaką wartość mają parametry $p$ i $q$ ?

Szukamy ilorazu wielomianu stopnia trzeciego przez wielomian stopnia drugiego - ilorazem będzie więc wielomian stopnia pierwszego - zapiszmy go jako $Q (x) = a x + b$ .

$W (x) = P (x) \cdot Q (x)$ , czyli

$3 x^{3} + p x^{2} + q x + 42 = (x^{2} - 4 x - 21) (a x + b) =$
$= a x^{3} + (b - 4 a) x^{2} + (- 21 a - 4) x - 21 b$ .

Korzystając z równości wielomianów mamy $\{\begin{cases} a = 3 \\ - 21 b = 42 \\ p = b - 4 a \\ q = - 21 a - 4 b \end{cases}$ .

Po obliczeniach $a = 3$ i $b = - 2$ , czyli $p = - 2 - 12 = - 14$ , a $q = - 63 + 8 = - 55$ .

Przykład 5

Wiadomo, że wielomian $W (x) = 24 x^{3} - 10 x^{2} - 47 x + 12$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = 2 x - 3$ . Wyznaczmy iloraz tych wielomianów wyłączając $P (x)$ przed nawias:

Zapiszmy wielomian $W (x)$ w postaci sumy składników będących wielokrotościami wielomianu $P (x)$ .
$W (x) = 24 x^{3} - 36 x^{2} + 26 x^{2} - 39 x - 8 x + 12$ .

Wyłączmy teraz odpowiednie czynniki przed nawias.
$W (x) = 12 x^{2} (2 x - 3) + 13 x (2 x - 3) - 4 (2 x - 3)$ .

Teraz wyłączając $2 x - 3$ możemy wyznaczyć szukany iloraz.
$W (x) = (2 x - 3) (12 x^{2} + 13 x - 4)$ .

Ilorazem wielomianów $W (x)$ przez $P (x)$ jest wielomian $12 x^{2} + 13 x - 4$ .

Polecenie 1

Weź udział w grze, a następnie rozwiąż polecenie 2.

Rozwiąż quiz składający się z trzech częśći.

Część pierwsza składa się z czterech pytań jednokrotnego wyboru.

RDpfeud3ZNdIJ

RGByatfluiOjn

R1H2yNnXjWSRX

RKVLNzOPcTPb4

Część druga. Oceń prawdziwość poniższych zdań.

R180t1ykRzKbw

R12sGE1wN7aXt

RmkWfSRRNhint

RN5zbo8mZAkxY

RcS1XvOlabPaI

R1Hr1wDKaX6Uf

RuaMvgbWTb9tO

R1BtuGwTctjiU

Poziom trzeci składa się z pytań jednokrotnego wyboru.

R18YdbvOb9fBR

R1Uyu6yTC2n7T

R1CIAWrO7xJqU

RzOOLbnoESYya

RmhKr5fNP2AzS1

Polecenie 2

Wielomian $W (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = (x^{2} + 1) (2 x^{2} - 3)$ . Ponadto wiadomo,że $W (1) = 2$ . Wyznacz wartości parametrów $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ .

$a = - 2$ , $b = 0$ , $c = 1$ , $d = 0$ , $e = 3$ .

R1LMYOw4hxbYj1

Ćwiczenie 1

RdYfSHjkB79Qp1

Ćwiczenie 2

R10NxIlTMjVCH2

Ćwiczenie 3

R6kxEjsXjvxbr2

Ćwiczenie 4

RriDeSil9h61r2

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

R15yAai1J87sT

R1Ym3nuFZEnf6

Ćwiczenie 7

R3up3aAUiAAeV

R44vb98IC8jmG3

Ćwiczenie 8

Słownik

podzielność wielomianów

wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$

stopień wielomianu jednej zmiennej

$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

gdzie $a_{0}, a_{1}, \dots a_{n} \in ℝ$ , $a_{n} \neq 0$

liczba $n$ odpowiadająca najwyższemu wykładnikowi potęgi o podstawie $x$ ,

jeżeli $W (x) = a_{0}$ i $a_{0} \neq 0$ , to wielomian jest stopnia $0$
jeżeli $W (x) = 0$ , to jest wielomianem zerowym i nie ma określonego stopnia

stopień wielomianu $W (x)$ możemy oznaczać symbolem $st (W (x))$ lub $deg (W (x))$

3. Równość wielomianów

5. Dzielenie wielomianu przez wielomian

4. Podzielność wielomianów

Słownik