• Sprowadzisz wielomian do postaci iloczynowej przez grupowanie i wyłączanie wspólnych czynników przed nawias.

• Sprowadzisz wielomiany do postaci iloczynowej wykorzystując wzory skróconego mnożenia.

Zapiszemy w postaci iloczynowej wielomianpostać iloczynowa wielomianupostaci iloczynowej wielomian $W\left(x\right)=3x^3-2x^2+9x-6$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że można rozdzielić wielomian na dwie grupy tak, by w każdej uzyskać w nawiasie czynnik $3x-2$
$W\left(x\right)=x^2\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$.

Zatem $W\left(x\right)=\left(3x-2\right)\left(x^2+3\right)$ i uzyskane czynniki są już nierozkładalne.

Można zauważyć inną metodę grupowania, prowadzącą oczywiście do tego samego rezultatu
$W\left(x\right)=3x^3+9x-2x^2-6$.

Tym razem wspólnym czynnikiem w obu grupach będzie $x^2+3$
$W\left(x\right)=3x\left(x^2+3\right)-2\left(x^2+3\right)$.

Po wyłączeniu wspólnego czynnika uzyskamy taki sam rozkład, jak poprzednio
$W\left(x\right)=\left(x^2+3\right)\left(3x-2\right)$.

Zapiszemy w postaci iloczynowej wielomian $W\left(x\right)=x^3+\left(\sqrt{3}+5\right)x^2+\left(5\sqrt{3}-6\right)x-6\sqrt{3}$.

Rozwiązanie

Przekształćmy wielomian dążąc do uzyskania po pogrupowaniu wspólnego czynnika $x+\sqrt{3}$.

$W\left(x\right)=x^3+x^2\sqrt{3}+5x^2+5x\sqrt{3}-6x-6\sqrt{3}$

$W\left(x\right)=x^2\left(x+\sqrt{3}\right)+5x\left(x+\sqrt{3}\right)-6\left(x+\sqrt{3}\right)$

Uzyskujemy postać iloczynową
$W\left(x\right)=\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x^2+5x-6\right)$,
przy czym czynnik drugiego stopnia możemy jeszcze rozłożyć
$W\left(x\right)=\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x+6\right)\left(x-1\right)$.

Zapiszemy w postaci iloczynowej wielomian $W\left(x\right)=4x^3-13x-6$.

Rozwiązanie

Zapiszmy składnik $-13x$ tak, by można było pogrupować wielomian na dwie grupy ze wspólnym czynnikiem
$W\left(x\right)=4x^3-x-12x-6$.

Zauważmy, że po wyłączeniu wspólnych czynników przed nawias dzięki użyciu wzoru skróconego mnożenia będzie możliwe zapisanie wielomianu $W\left(x\right)$ w postaci iloczynowej.

$W\left(x\right)=x\left(4x^2-1\right)-6\left(2x+1\right)$

$W\left(x\right)=x\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)-6\left(2x+1\right)$

$W\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(x\left(2x-1\right)-6\right)$

Drugi nawias możemy rozłożyć na postać iloczynową tak, jak robiliśmy to w przypadku funkcji kwadratowej
$W\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(2x^2-x-6\right)$,
$W\left(x\right)=\left(2x+1\right)\left(2x+3\right)\left(x-2\right)$.

Zapiszemy w postaci iloczynowej wielomian $W\left(x\right)=2x^3-7x^2+14x-16$.

Rozwiązanie

Uporządkujmy wyrazy wielomianu tak, by wyłączyć czynnik $x-2$.

$W\left(x\right)=2x^3-16-7x^2+14x$

$W\left(x\right)=2\left(x^3-8\right)-7x\left(x-2\right)$

Wykorzystajmy wzór skróconego mnożenia na różnicę sześcianów
$W\left(x\right)=2\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)-7x\left(x-2\right)$,
$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2+4x+8-7x\right)$.

Uzyskujemy zapis
$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x^2-3x+8\right)$,
przy czym czynnik drugiego stopnia w drugim nawiasie jest już nierozkładalny
($\Delta <0$).

Wykaż, że jeżeli $n$ jest liczbą całkowitą, to liczba $\frac{n^4-n^3-n^2+n}{6}$ również jest całkowita.

Rozwiązanie

Mamy wykazać, że licznik ułamka jest liczbą podzielną przez $6$.

$n^4-n^3-n^2+n=n^3\left(n-1\right)-n\left(n-1\right)=$
$=\left(n-1\right)\left(n^3-n\right)=\left(n-1\right)n\left(n^2-1\right)=$
$=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-1\right)$.

$n-1$, $n\mathrm{}$ i $n+1$ to trzy kolejne liczby całkowite – jest więc wśród nich liczba podzielna przez $2$ i liczba podzielna przez $3$.

$2$ i $3$ to liczby względnie pierwsze, więc iloczyn $\left(n-1\right)n\left(n+1\right)$ jest podzielny przez $6$, co oznacza, że licznik ułamka jest podzielny przez $6$, czyli teza zachodzi.

Pokażmy po jednym przykładzie zastosowań do rozkładania wielomianu na czynniki dla każdego z powyższych wzorów:

• $x^2+2x+1={\left(x+1\right)}^2$

• $x^2-6x+9={\left(x-3\right)}^2$

• $x^2-15=\left(x-\sqrt{15}\right)\left(x+\sqrt{15}\right)$

• $x^4+2x^3+3x^2+2x+1=$
  $=x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x=$
  $={\left(x^2+x+1\right)}^2$

• $x^3+3x^2+3x+1={\left(x+1\right)}^3$

• $x^3-6x^2+12x-8={\left(x-2\right)}^3$

• $x^3+2=\left(x+\sqrt[3]{2}\right)\left(x^2-\sqrt[3]{2}x+\sqrt[3]{4}\right)$

• $8x^3-27=\left(2x-3\right)\left(4x^2+6x+9\right)$

• $x^{26}-1=\left(x-1\right)\left(x^{25}+x^{24}+x^{23}+\dots +x+1\right)$

• $x^{25}+1=\left(x+1\right)\left(x^{24}-x^{23}+x^{22}-\dots -x+1\right)$

W dwóch ostatnich przypadkach jeden z uzyskanych czynników jest wielomianem stopnia większego niż $2$, czyli nie jest wielomianem nierozkładalnym.

• $x^4+4x^3+6x^2+4x+1={\left(x+1\right)}^4$

Sprowadź do postaci iloczynowej wielomian $W\left(x\right)=x^6-64$.

• $W\left(x\right)=x^6-2^6$.

• Możemy teraz użyć wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów lub na różnicę kwadratów. Warto zawsze wybrać optymalną w danej sytuacji metodę.
  Zaprezentujemy tu obie metody.

• Obie metody prowadzą oczywiście do tego samego rozwiązania
  $W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+2x+4\right)$.
  Warto zawsze wybrać tę, która jest dla nas prostsza i szybsza (wydaje się, że w powyższym przykładzie rozumowanie było trochę łatwiejsze przy użyciu na początek wzoru na różnicę kwadratów).

Sprowadź do postaci iloczynowej wielomian
$W\left(x\right)=27x^5-54x^4+36x^3-8x^2$.

• Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias:
  $W\left(x\right)=x^2\left(27x^3-54x^2+36x-8\right)$.

• Zauważmy, że w nawiasie możemy użyć wzoru skróconego mnożenia na sześcian różnicy:
  $W\left(x\right)=x^2{\left(3x-2\right)}^3$.

Sprowadź do postaci iloczynu wielomian
$W\left(x\right)=x^4-x^2+2x+2$.

• Pogrupujmy odpowiednio wyrazy wielomianu dążąc do użycia wzorów skróconego mnożenia:
  $W\left(x\right)=\left(x^4-2x^2+1\right)+\left(x^2+2x+1\right)$
  $W\left(x\right)={\left(x^2-1\right)}^2+{\left(x+1\right)}^2$
  $W\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2{\left(x+1\right)}^2+{\left(x+1\right)}^2$

• Wyłączmy wspólny czynnik przed nawias:
  $W\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2\left({\left(x-1\right)}^2+1\right)$
  $W\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2\left(x^2-2x+2\right)$
  (uzyskane czynniki są nierozkładalne)

Zapisz podany wielomian w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych zmiennej rzeczywistej:

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
$W\left(x\right)=3x^3+2x^2-4x-1$.

Rozwiązanie

Zauważmy, że wielomian ten ma pierwiastek całkowity $1$. Możemy zatem podzielić $W\left(x\right)$ przez dwumian $x-1$.

Po wykonaniu dzielenia (np. schematem Hornera) uzyskamy zapis
$W\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(3x^2+5x+1\right)$.

Za pomocą wyróżnika możemy stwierdzić, że uzyskany wielomian drugiego stopnia jest rozkładalny. Po wyznaczeniu jego pierwiastków zapisujemy $W\left(x\right)$ w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych
$W\left(x\right)=3\left(x-1\right)\left(x+\frac{5+\sqrt{13}}{6}\right)\left(x+\frac{5-\sqrt{13}}{6}\right)$.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
$W\left(x\right)=3x^4+17x^3+30x^2+12x-8$.

Rozwiązanie

Analizując dzielniki wyrazu wolnego możemy zauważyć, że $W\left(-2\right)=0$, czyli wielomian jest podzielny przez dwumian $x+2$.

Po wykonaniu dzielenia dostajemy
$W\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(3x^3+11x^2+8x-4\right)$.

Analizując analogicznie wielomian $3x^3+11x^2+8x-4$, możemy stwierdzić, że również jego pierwiastkiem jest $\left(-2\right)$. Zatem
$Wx={\left(x+2\right)}^2\left(3x^2+5x-2\right)$.

Po wyznaczeniu pierwiastków funkcji kwadratowej uzyskujemy rozkład $W\left(x\right)$ na wielomiany nierozkładalne
$W\left(x\right)=3{\left(x+2\right)}^3\left(x-\frac{1}{3}\right)$
co można też zapisać w postaci
$W\left(x\right)={\left(x+2\right)}^3\left(3x-1\right)$.

Rozłożymy na czynniki nierozkładalne wielomian:
$W\left(x\right)=x^5+x^4-6x^3+8x^2+8x-48$.

Rozwiązanie

Jeśli wielomian $W\left(x\right)$ ma pierwiastki wymierne, to będą to całkowite dzielniki liczby $48$.

Zauważmy, że $W\left(\pm 1\right)\ne 0$, ale $W\left(2\right)=32+16-6·8+8·4+8·2-48=0$.

Możemy zatem zapisać $W\left(x\right)$ jako iloczyn dwumianu $x-2$ i pewnego wielomianu czwartego stopnia
$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x^4+3x^3+8x+24\right)$.

Zauważmy, że $x^4+3x^3+8x+24$ łatwo rozłożyć na czynniki przez grupowanie
$x^4+3x^3+8x+24=$
$=x^3\left(x+3\right)+8\left(x+3\right)=\left(x+3\right)\left(x^3+8\right)$.

Do rozkładu wielomianu $x^3+8$ łatwo z kolei użyć wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów
$x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$,
przy czym uzyskany wielomian drugiego stopnia $x^2-2x+4$ jest już nierozkładalny.

Podsumowując
$W\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)$.

jeżeli wielomian
$W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ stopnia $n$ ma $n$ pierwiastków $x_1$, $x_2$, $\dots$, $x_n$, to można go zapisać w postaci iloczynowej
$W\left(x\right)=a_n\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\dots \left(x-x_n\right)$

• jedyne wielomiany nierozkładalne stopnia dodatniego o współczynnikach rzeczywistych to wszystkie wielomiany pierwszego stopnia oraz wielomiany drugiego stopnia z ujemnym wyróżnikiem $\Delta$

• każdy wielomian stopnia większego od $2$ można zapisać w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych i niezerowej stałej

• zapis w postaci iloczynu jest jednoznaczny z dokładnością do przemnożenia czynników przez stałą niezerową

liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W\left(x\right)$ dzieli się przez dwumian $x-a$ bez reszty