R1eDa3zoAS4nV

1. Wielkości wprost proporcjonalne

Błyskawica, czyli piorun, jest silnym wyładowaniem elektrostatycznym, które towarzyszy burzy. Grzmot można usłyszeć nawet w odległości $40 km$ od miejsca uderzenia pioruna.

R16ZrjI4gnK0l

Ilustracja przedstawia piorun rozświetlający łąkę, na której znajduje się domek i kilka drzew. — Źródło: Grafika na podstawie:Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Aby dowiedzieć się, w jakiej odległości uderzył piorun, wystarczy policzyć sekundy dzielące pojawienie się pioruna od wystąpienia grzmotu. Jeśli są to $3$ sekundy, to wówczas wiemy iż piorun pojawił się $1000 m$ od nas, a jeśli $5$ sekund, to wówczas wiemy, iż piorun pojawił się w odległości około $1700 m$ od nas. Możemy zauważyć, że istnieje zależność między czasem po jakim uderza piorun, a odległością uderzenia pioruna.

W życiu codziennym spotykamy się z wieloma sytuacjami, w których iloraz pewnych wielkości jest stały np.:

odległość na mapie i odpowiadająca jej odległość w terenie,
masa truskawek i wartość zakupionych truskawek,
ilość potrzebnej mąki oraz liczba upieczonych bochenków chleba.

Do wyznaczenia zależności pomiędzy tymi wielkościami służą proporcjeproporcjaproporcje.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$a : b$ – iloraz liczb $a$ i $b$ , gdzie $b \neq 0$ ,
$c : d$ – iloraz liczb $c$ i $d$ , gdzie $d \neq 0$ .

Wówczas równość dwóch ilorazów $a : b = c : d$ określa się proporcjąproporcjaproporcją, gdzie liczby $a$ i $d$ nazywamy wyrazami skrajnymi, a liczby $b$ i $c$ wyrazami środkowymi.

Mówimy wtedy, że iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych, co zapisujemy następująco:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , co jest równoważne równaniu $a \cdot d = b \cdot c$ ,

Przy użyciu proporcji możemy sprawdzić, czy wielkości są wprost proporcjonalne.

Przeanalizujmy dane przedstawione w poniższej tabeli.

Liczba zeszytów	Koszt zakupu zeszytów
$1$	$4 zł$
$3$	$12 zł$
$10$	$40 zł$

Zauważmy, że wraz ze wzrostem liczby zeszytów, koszt ich zakupu rośnie tyle samo razy. Po podzieleniu dowolnej kwoty z dolnego wiersza tabelki przez odpowiadającą jej liczbę zeszytów zawsze otrzymujemy taki sam wynik.
Wprowadźmy definicję wielkości, które są wprost proporcjonalne.

wielkości wprost proporcjonalne

Definicja: wielkości wprost proporcjonalne

Dane są dwie dodatnie wielkości. Mówimy, że te wielkości są wprost proporcjonalne, jeżeli iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.

R1CKveG1Wwn8U1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

Wielkościami wprost proporcjonalnymi nazywamy dwie wielkości zmieniające się w taki sposób, że wzrost lub zmniejszanie się jednej powoduje wzrost lub zmniejszanie się drugiej tyle samo razy.

Wielkościami wprost proporcjonalnymi są na przykład:

długość boku kwadratu i jego obwód,
waga ziemniaków i koszt ich zakupu,
długość drogi i czas potrzebny na jej przebycie przy stałej prędkości.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy wielkości $a$ i $b$ podane w tabeli są wprost proporcjonalne.

$a$	$b$
$4$	$18$
$\frac{1}{2}$	$2, 25$
$6$	$27$

Rozwiązanie:
Obliczymy ilorazy danych wielkości i sprawdzimy, czy są one równe. Otrzymujemy zatem:
$\frac{18}{4} = 4, 5$ ,
$\frac{2, 25}{\frac{1}{2}} = 2, 25 \cdot 2 = 4, 5$ ,
$\frac{27}{6} = 4, 5$ .
Ponieważ ilorazy odpowiadających sobie wartości wielkości $a$ i $b$ są równe, zatem wielkości te są wprost proporcjonalne.

Przykład 2

W tabeli przedstawiono wielkości $a$ i $b$ , które są wprost proporcjonalne. Wyznaczymy wartości liczb $k$ i $l$ .

$a$	$b$
$5$	$8$
$k$	$17, 6$
$3, 2$	$l$

Rozwiązanie:
Ponieważ wielkości $a$ i $b$ są wprost proporcjonalne, zatem:
$\frac{5}{8} = \frac{k}{17, 6}$ , czyli
$5 \cdot 17, 6 = 8 \cdot k$
$8 k = 88$
$k = 11$
$\frac{5}{8} = \frac{3, 2}{l}$
$5 \cdot l = 8 \cdot 3, 2$
$5 l = 25, 6$
$l = 5, 12$

Przykład 3

Słoń porusza się z prędkością $15 \frac{m}{s}$ . Obliczymy:

jaką drogę przebędzie słoń w czasie $18 s$ ,
po jakim czasie słoń przebędzie drogę długości $180 m$ .

Rozwiązanie:
Zauważmy, że długość drogi, jaką pokonuje słoń jest wprost proporcjonalna do upływającego czasu.
Prędkość $15 \frac{m}{s}$ oznacza, że słoń w ciągu $1 s$ pokonuje drogę długości $15 m$ .

Niech $s$ będzie długością drogi (wyrażoną w metrach), jaką przebędzie słoń w czasie $18 s$ .
Zatem:
$\frac{15}{1} = \frac{s}{18}$
Wobec tego:
$s = 15 \cdot 18 = 270$
W ciągu $18 s$ słoń przebędzie drogę długości $270 m$ .
Niech $t$ będzie czasem (wyrażonym w sekundach), po jakim słoń przebędzie drogę długości $180 m$ .
Zatem:
$\frac{15}{1} = \frac{180}{t}$
Wobec tego:
$15 \cdot t = 180$
$t = 12$
Słoń przebędzie drogę długości $180 m$ w ciągu $12 s$ .

Przykład 4

Zauważmy, że jeśli dwie dodatnie wielkości $x$ i $y$ są wprost proporcjonalne, to zachodzi następująca zależność:
$y = a \cdot x$ , gdzie $a$ jest pewną stałą.
Wykażemy, że zachodzą następujące zależności: $a = \frac{y}{x}$ oraz $x = \frac{y}{a}$ .

Rozwiązanie:
Ponieważ pomiędzy wielkościami wprost proporcjonalnymi zachodzi zależność:
$y = a \cdot x$ , zatem:

po podzieleniu obu stron tej równości przez liczbę $x$ otrzymujemy, że $a = \frac{y}{x}$ ,
po podzieleniu obu stron tej równości przez liczbę $a$ otrzymujemy, że $x = \frac{y}{a}$ .

Ciekawostka

Liczbę $a$ , która wyraża zależność $a = \frac{y}{x}$ pomiędzy dodatnimi wielkościami $x$ i $y$ nazywamy współczynnikiem proporcjonalności.

Przykład 5

W sklepie spożywczym można zakupić różne produkty w promocji.

Rix0jeHlSLNdL

Ilustracja przedstawia baner promocyjny w pewnym sklepie. Przedstawiony jest na nim krążek żółtego sera, a ze znajdującego się obok tekstu możemy się dowiedzieć, że 20 dekagramów tego sera możemy kupić w promocyjnej cenie 3,20 zł. — Źródło: Grafika na podstawie: Pexels.com, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy, ile trzeba zapłacić za $1, 5 kg$ sera żółtego.

Rozwiązanie:

Wiadomo, że $1, 5 kg = 150 dag$ .

Przedstawmy dane z zadania w tabeli:

Waga $(dag)$	Cena $(zł)$
$20$	$3, 20$
$150$	$x$

Układamy i rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:

$\frac{20}{3, 20} = \frac{150}{x}$

Zatem $20 \cdot x = 3, 2 \cdot 150$ , czyli
$x = \frac{3, 2 \cdot 150}{20} = \frac{48}{2} = 24$

Zatem za $1, 5 kg$ sera żółtego trzeba zapłacić $24 zł$ .

Przykład 6

Sznurek rozcięto na dwa mniejsze kawałki, których stosunek długości wynosi $3 : 7$ . Wyznaczymy, jaka jest długość każdej części, jeżeli mniejsza część jest o $16$ krótsza od większej części.

Rozwiązanie:
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
$x$ – długość krótszej części sznurka
$x + 16$ – długość dłuższej części sznurka
Układamy i rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:
$\frac{3}{7} = \frac{x}{x + 16}$ , zatem $7 \cdot x = 3 \cdot (x + 16)$
$7 x = 3 x + 48$
$4 x = 48$
$x = 12$
Po rozwiązaniu równania otrzymujemy, że $x = 12$ , zatem krótsza część sznurka ma długość $12$ , a dłuższa $28$ .

Przykład 7

Państwo Nowakowie postanowili zapakować wszystkie prezenty gwiazdkowe w jednakowe czerwone pudełka i udekorować je złotą wstążką. Ile metrów złotej wstążki powinni przygotować Nowakowie, jeżeli ich rodzina liczy $16$ osób, a na udekorowanie dwóch pudełek z prezentami należy przeznaczyć $5$ metrów wstążki? Każda osoba otrzymuje tylko jeden prezent gwiazdkowy.

Rozwiązanie:

Liczba gwiazdkowych prezentów i długość potrzebnej wstążki do udekorowania tych prezentów są wielkościami wprost proporcjonalnymi. Długość wstążki potrzebnej do udekorowania jednego pudełka jest zawsze taka sama, bez względu na to, ile mamy prezentów. Jest ona równa ilorazowi długości potrzebnej wstążki przez liczbę udekorowanych nią gwiazdkowych prezentów.

Oznaczając przez $x$ długość wstążki potrzebnej do udekorowania $16$ prezentów, możemy ułożyć i rozwiązać odpowiednie równanie.

\frac{5}{2} = \frac{x}{16}

2 \cdot x = 16 \cdot 5

2 x = 80

x = 80 : 2

x = 40

Odpowiedź: Państwo Nowakowie powinni przygotować $40 m$ wstążki, aby udekorować $16$ prezentów gwiazdkowych.

Przykład 8

Agata kupiła $2 kg$ gruszek i zapłaciła $7,82 zł$ . Jej koleżanka Basia kupiła takie same gruszki i zapłaciła $19,55 zł$ . Wyznaczmy masę gruszek, które kupiła Basia.

Rozwiązanie:

Masa gruszek i kwota, którą trzeba za nie zapłacić to wielkości wprost proporcjonalne. Cena jednego kilograma gruszek kupionych przez Agatę i Basię jest taka sama. Jest ona równa ilorazowi kwoty zapłaconej za gruszki przez masę kupionych gruszek.

Oznaczając przez $x$ masę gruszek kupionych przez Basię, możemy ułożyć i rozwiązać równanie:

\frac{7,82}{2} = \frac{19,55}{x}

7, 82 \cdot x = 2 \cdot 19, 55

7,82 x = 39,1

x = 39,1 : 7,82

x = 5

Odpowiedź: Basia kupiła $5 kg$ gruszek.

Animacja

Zapoznaj się z animacją dotyczącą wielkości wprost proporcjonalnych, a następnie wykonaj poniższe polecenia.

R9X1X6BFh1ssv1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

W tabeli przedstawiono wielkości $a$ i $b$ , które są wprost proporcjonalne. Wyznacz wartości liczb $m$ i $n$ .

$a$	$b$
$12$	$5$
$m$	$3$
$28, 8$	$n$

R1cif53R0b1vW

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Do wyznaczenia wielkości $m$ i $n$ wykorzystaj to, że $\frac{a}{b} = \frac{12}{5}$ .

Ponieważ wielkości $a$ i $b$ są wprost proporcjonalne, zatem:
$\frac{12}{5} = \frac{m}{3}$ , czyli
$5 \cdot m = 12 \cdot 3$
$5 m = 36$
$m = 7, 2$
$\frac{12}{5} = \frac{28, 8}{n}$
$12 \cdot n = 5 \cdot 28, 8$
$12 n = 144$
$n = 12$

Polecenie 2

Rozwiąż krzyżówkę.

R93WOAVnnoOsE

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 3

Na opakowaniu płynu do prania zaleca się użycie $140 ml$ na $1, 5 kg$ bielizny do prania. Oblicz, ile płynu należy wlać do pralki o pojemności $6 kg$ , jeżeli pralka jest wypełniona w całości.

RdxONsm42waG6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Niech $x$ będzie ilością płynu (w mililitrach) do prania, potrzebną na $6 kg$ bielizny do prania.

Zatem:

$\frac{x}{6} = \frac{140}{1, 5}$

Wobec tego:

$x = \frac{6 \cdot 140}{1, 5} = 560$

Do pralki o pojemności $6 kg$ należy wlać $560 ml$ płynu do prania.

RQ0BgvgHzDmhh

Ćwiczenie 1

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R17h4uh5O7rUq

Ćwiczenie 2

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1Hv5ertmfZ4d

Ćwiczenie 3

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

R1P9J4qfum49u

Ćwiczenie 4

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Odpowiedz na pytania:

$50$ kilogramów ziemniaków kosztuje $170 zł$ . Ile trzeba zapłacić za $12$ kilogramów ziemniaków?
Żółw skórzasty w ciągu dwóch godzin pokonuje drogę długości $70 km$ . Jaką drogę przebędzie po upływie $3, 5 h$ ?

RNh0EuV1uQz3j

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy kwotę, jaką należy zapłacić za $12$ kilogramów ziemniaków, to układamy i rozwiązujemy równanie, zapisane w postaci proporcji:
$\frac{50}{170} = \frac{12}{x}$
Równanie przekształcamy do postaci: $50 \cdot x = 12 \cdot 170$
Zatem $x = \frac{12 \cdot 170}{50} = 40, 80$ .
Odpowiedź: Za $12$ kilogramów ziemniaków należy zapłacić $40, 80 zł$ .
Jeżeli przez $x$ oznaczymy długość drogi, jaką po upływie $3, 5 h$ pokona żółw skórzasty, to układamy i rozwiązujemy równanie, zapisane w postaci proporcji:
$\frac{2}{70} = \frac{3, 5}{x}$
Wobec tego $x = \frac{3, 5 \cdot 70}{2} = 122, 5$ .
Odpowiedź: W ciągu $3, 5 h$ żółw skórzasty pokona drogę długości $122, 5 km$ .

R3AbxBWP5aokw

Ćwiczenie 6

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

RpVi1rXglyevZ

Ćwiczenie 7

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Odpowiedz na pytania:

Na upieczenie $12$ faworków potrzeba $360 g$ mąki. Ile mąki potrzeba na wykonanie $20$ takich faworków?
Zegar na wieży spóźnia się $4$ sekundy w ciągu $5$ minut. Po jakim czasie spóźnienie będzie wynosiło $2, 4$ minuty?

R11qbNHSnYvGX

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli przez $x$ oznaczymy ilość potrzebnej mąki, to rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:
$\frac{12}{360} = \frac{20}{x}$ .
Zatem $x = 600$ .
Odpowiedź: Na upieczenie $20$ takich faworków potrzeba $600 g$ mąki.
$2, 4 \min = 144 s$
Jeżeli przez $x$ oznaczymy czas w minutach, po którym spóźnienie będzie wynosiło $2, 4$ minuty, to rozwiązujemy równanie zapisane w postaci proporcji:
$\frac{5}{4} = \frac{x}{144}$ , zatem $x = 180$ .
$180 \min = 3 h$ .
Odpowiedź: Spóźnienie będzie wynosiło $2, 4$ minuty po upływie $3$ godzin.

RdAQ5cDnMSH7l

Ćwiczenie 9

odległość na mapie i odpowiadająca jej odległość w terenie.
wiek człowieka i jego waga.
długość boku rombu i jego obwód.
cena soku i ilość soku, który możemy kupić za daną kwotę.
liczba psów i liczba nóg tych psów.
długość boku sześcianu i wartość jego pola powierzchni całkowitej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFHGe1UyJRUdO

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Zastanów się i wymień wszystkie tabele, w których wielkości są wprost proporcjonalne.

Tabela $1$
$x$	$3$	$2$	$9$
$y$	$15$	$10$	$45$

Tabela $2$
$x$	$2$	$4$	$8$
$y$	$4$	$16$	$64$

Tabela $3$
$x$	$49$	$63$	$98$
$y$	$7$	$9$	$14$

Tabela $4$
$x$	$1, 4$	$5, 3$	$6, 68$
$y$	$0, 7$	$2, 55$	$3, 34$

Tabela $5$
$x$	$1$	$2$	$3$
$y$	$100$	$200$	$300$

Tabela $6$
$x$	$5$	$8$	$12$
$y$	$6$	$9$	$13$

R1RHTfuASYIYJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RFkVCecfjN3re

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Sprawdź, czy podane w tabeli wielkości są wprost proporcjonalne. Jeśli tak, to podaj współczynnik proporcjonalności.

Tabela $1$
$x$	$0, 2$	$1$	$7$	$3$	$24$
$y$	$0, 6$	$3$	$21$	$9$	$72$

Współczynnik proporcjonalności wyrażony jest wzorem $a = \frac{y}{x}$ .

Podane w tabeli wielkości są wprost proporcjonalne, a współczynnik proporcjonalności to $a = 3$ .

R1L4VEz6Gf7K4

Ćwiczenie 13

Z podanych składników można sporządzić około

60

sztuk faworków.
Składniki ciasta:

250 g

mąki,

150 ml

gęstej śmietany,

4

żółtka,

10 g

masła,

\frac{1}{2}

łyżeczki cukru,

\frac{1}{4}

łyżeczki soli,

1

łyżka octu jabłkowego. Ile powinniśmy użyć poszczególnych składników, aby otrzymać

90

sztuk faworków?
Uzupełnij listę składników, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Potrzebne składniki to:
1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

g

mąki,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

ml

gęstej śmietany,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

żółtek,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

g

masła,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżeczki cukru,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżeczki soli,1.

6

, 2.

15

, 3.

375

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

\frac{3}{8}

, 6.

1,5

, 7.

225

łyżki octu jabłkowego.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9iM2vTfk2nIy

Ćwiczenie 14

4 kg

świeżego masła otrzymamy, w wyniku przeróbki, około

2,8 kg

klarowanego masła oraz około

70 dag

pianki białkowej. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Ile dekagramów masła klarowanego otrzymamy z

1

kilograma świeżego masła, a ile z

250

gramów?
Odpowiedź: Otrzymamy z

1

kilograma 1.

14,3

, 2.

250

, 3.

17,5

, 4.

70

dag

masła klarowanego, a z

250

gramów 1.

14,3

, 2.

250

, 3.

17,5

, 4.

70

dag

masła klarowanego.
Ile kilogramów świeżego masła należy przerobić, aby otrzymać

10 kg

masła klarowanego? Ile otrzymamy wówczas pianki białkowej?
Odpowiedź: Należy przerobić około 1.

14,3

, 2.

250

, 3.

17,5

, 4.

70

kg

świeżego masła, a otrzymamy 1.

14,3

, 2.

250

, 3.

17,5

, 4.

70

dag

pianki białkowej.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NDqcSV1E5yq

Ćwiczenie 15

W ciągu jednej minuty wskazówka sekundowa zegara obróci się o kąt

360 °

. Uzupełnij odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. O ile stopni obróci się wskazówka sekundowa w ciągu

15

sekund, a o ile w ciągu

200

sekund?
Odpowiedź: W ciągu

15

sekund obróci się o 1.

1250 °

, 2.

37

, 3.

70 °

, 4.

80 °

, 5.

90 °

, 6.

1300 °

, 7.

38

, 8.

1200 °

, 9.

37,5

, a w ciągu

200

sekund obróci się o 1.

1250 °

, 2.

37

, 3.

70 °

, 4.

80 °

, 5.

90 °

, 6.

1300 °

, 7.

38

, 8.

1200 °

, 9.

37,5

.
W jakim czasie wskazówka sekundowa obróci się o kąt

225 °

?
Odpowiedź: Wskazówka sekundowa obróci się o ten kąt w czasie 1.

1250 °

, 2.

37

, 3.

70 °

, 4.

80 °

, 5.

90 °

, 6.

1300 °

, 7.

38

, 8.

1200 °

, 9.

37,5

sekundy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rtfh6ybSdWQeT

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GfxfoocZngO

Ćwiczenie 17

Basen pływacki to sztuczny zbiornik wody w kształcie prostokąta. Ma on długość

25

metrów lub

50

metrów (basen olimpijski) oraz szerokość

12,5

metra. Ile wynosi powierzchnia basenu pływackiego o długości

25

metrów, a ile o długości

50

metrów na mapie sporządzonej w skali

1 : 20

? Uzupełnij odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby.
Odpowiedź: Powierzchnia basenu o długości

25

metrów na tej mapie wynosi Tu uzupełnij

{cm}^{2}

, a powierzchnia basenu o długości

50

metrów na tej mapie wynosi Tu uzupełnij

{cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Proporcjonalność prosta - powtórzenie przed egzaminem, zadania typu egzaminacyjnego203060Brawo! Udało Ci się poprawnie rozwiązać test.Niestety, nie udało Ci się poprawnie rozwiązać testu, spróbuj ponownie.

Test

Proporcjonalność prosta - powtórzenie przed egzaminem, zadania typu egzaminacyjnego

Liczba pytań:

Limit czasu:

30 min

Pozostało prób:

1/1

Twój ostatni wynik:

Proporcjonalność prosta - powtórzenie przed egzaminem, zadania typu egzaminacyjnego

Pytanie 1/20

Twój ostatni wynik -

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Słownik

proporcja

równość dwóch ilorazów liczb.

Notatnik

Możesz skorzystać z poniższego pola tekstowego do zapisania swoich notatek, rozwiązań zadań i innych informacji, które uważasz za potrzebne.

R1b8OvSPUG8s3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

2. Zastosowanie wielkości wprost proporcjonalnych

Proporcjonalność prosta

1. Wielkości wprost proporcjonalne

Animacja

Proporcjonalność prosta - powtórzenie przed egzaminem, zadania typu egzaminacyjnego

Słownik

Notatnik