1. Zbiór liczb naturalnych

Świat liczb i umiejętność liczenia interesują nie tylko naukowców. Co tak fascynującego jest w liczbach, że niektóre z ich własności nadal pozostają nieodkryte?
Jakie prawa obowiązują w świecie liczb?
Jak można je wykorzystać w praktyce?
W jakich sytuacjach warto sięgać po reguły matematyczne?
Jeżeli chcesz znaleźć odpowiedź na te i wiele innych pytań, zapraszam cię do podróży po świecie liczb naturalnych.

Liczby naturalne

Liczby naturalne to liczby całkowite nieujemne: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $\dots$ Zbiór liczb naturalnych oznaczamy wielką literą $\mathbb{N}$.

Możemy zatem zapisać, że: $\mathbb{\mathbb{N}}=\left\{0, 1, 2,3, 4, 5, 6, ...\right\}$.

Liczby wielokątne

Liczby wielokątne $n$–kątne to kolejne liczby otrzymane poprzez dodawanie początkowych liczb zaczynających się od $1$ i różniących się od siebie o $\left(n-2\right)$.

Początkowe liczby z lewej strony kolumny to liczby różniące się o $\left(n-2\right)$, natomiast te z prawej to liczby wielokątne:

$1$, $1$, $1$, $1$, $...$ liczby naturalne $1$, $2$, $3$, $4$, $...$

$1$, $2$, $3$, $4$, $...$ liczby trójkątne $1$, $3$, $6$, $10$, $...$

$1$, $3$, $5$, $7$, $...$ liczby kwadratowe $1$, $4$, $9$, $16$, $...$

$1$, $4$, $7$, $10$, $...$ liczby pięciokątne $1$, $5$, $12$, $22$, $...$

$1$, $5$, $9$, $13$, $...$ liczby sześciokątne $1$, $6$, $15$, $28$, $...$

$1$, $6$, $11$, $16$, $...$ liczby siedmiokątne $1$, $7$, $18$, $34$, $...$

$1$, $7$, $13$, $19$, $...$ liczby ośmiokątne $1$, $8$, $21$, $40$, $...$

Zapoznaj się z graficznym sposobem budowania liczb wielokątnych.

Liczbom wielokątnym odpowiadają w trójwymiarze liczby piramidalne.

Suma trzech liczb czworościennych daje liczbę trójkątną.

Liczby palindromiczne

Liczba palindromiczna to liczba, która przy czytaniu jej cyfr od lewej strony do prawej jest jednakowa, jak czytana od prawej do lewej. Liczby takie nazywane są także liczbami symetrycznymi. Przykłady takich liczb to: $1$, $24442$, $727$, $1111111$, $...$

PalindromypalindromPalindromy mogą być kwadratami liczb naturalnych

$(0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804,$

$44944, 69696, 94249, 698896, 1002001, \dots )$

i ich sześcianami

$(0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001,$

$10662526601, 1000300030001, \dots )$.

Liczby Lychrel

W $1938$ roku amerykański matematyk Derrick Lehmer opisał pewną własność liczb: jeśli do wybranej liczby dodamy ją samą, ale zapisaną w odwrotnej kolejności i z otrzymaną sumą oraz z każdą następną postąpimy tak samo, to w którymś cyklu, jako kolejna suma pojawi się palindrompalindrompalindrom, np.

R149H2E9UFLTV

Dodawanie pisemne. Wiersz pierwszy: 37, wiersz drugi: dodać 73, kreska pozioma, w wierszu trzecim zapisano wynik dodawania, czyli liczbę 110, do której dodano kolejny składnik. Wiersz czwarty: dodać 011. Kreska pozioma. Wiersz piąty zawiera wynik drugiego dodawania: 121

Większość małych liczb większych od $9$ dociera do palindromu w jednym kroku.

$19$ jest pierwszą liczbą wymagającą dwóch kroków $\left(19 + 91 = 110 \to 110 + 011 = 121\right)$.

$59$ – wymaga trzech kroków $\left(59 + 95 = 154 \to 154 + 451 = 605 \to 605 + 506 = 1111\right)$,

$69$ – wymaga aż czterech
(same sumy: $69 \to 165 \to 726 \to 1353 \to 4884$).

Liczbą, przy której trzeba się solidnie napracować, jest $89$ – palindrom pojawia się dopiero jako $24$–ta liczba w ciągu sum: $8813200023188$.

To jednak nic w porównaniu z „gehenną”, którą oferuje liczba $196$. Lehmer wykonał przed $76$ laty blisko sto dodawań – bezskutecznie. Nie omieszkał jednak zauważyć, że $56$–ta suma jest bardzo bliska docelowej, wygląda bowiem tak: $934217310162393261013712428$. Zapewne ta obiecująca bliskość skłoniła go do postawienia hipotezy, że każda liczba poddana opisanemu procesowi zmieni się w palindrompalindrompalindrom – wszystko jest tylko kwestią etapu, w którym to nastąpi. $196$ to nie jedyna „krnąbrna” liczba, ale stosunkowo mała, więc nią przede wszystkim zajęli się programiści, gdy do akcji wkroczyły komputery.

Jako pierwszy wyzwanie podjął John Walker – założyciel znanej firmy Autodesk, zajmującej się oprogramowaniem komputerowym. W $1987$ roku Walker uruchomił program na stacji roboczej Sun 3/260. Po blisko trzech latach nieprzerwanej pracy i wykonaniu $2415836$ operacji „odwróć i dodaj” komputer dotarł do liczby złożonej z miliona cyfr i się zatrzymał. PalindromupalindromPalindromu nie było. Następcy Walkera posuwali się coraz dalej, korzystając z coraz lepszych komputerów. Jeden z nich nadał $196$ i pozostałym równie opornym liczbom nazwę, która się przyjęła – liczby Lychrel – prawdopodobnie jest ona anagramem imienia Cheryl.

Aktualny rekord w wędrówce od $196$ do palindromu należy do francuskiego programisty Romaina Dolbeau. Pod koniec $2011$ roku dotarł on po bilionie kroków do liczby złożonej z $413930770$ cyfr, jednak nie osiągnął celu. Wydaje się, że dalszej eksploracji nie będzie. Szansa na dotarcie do gigantycznego palindromu maleje wraz z wydłużaniem się sumy – praktycznie jest już równa zeru. Wiele wskazuje na to, że hipotezę podaną przez Lehmera należy uznać za błędną. Tym bardziej, że dla systemów liczbowych o mniejszych podstawach niż dziesiętny udowodniono, że niektóre liczby poddawane operacji „odwróć i dodaj” nigdy nie zmienią się w palindrom.

W systemie dwójkowym najmniejszą taką liczbą jest $10110$, odpowiadająca liczbie $22$ w systemie dziesiętnym. Niemiecki matematyk Roland Sprague jeszcze w latach $60$–tych udowodnił, że przekształcenie jej w palindrompalindrompalindrom jest niemożliwe. Zauważył, że w ciągu sum, poczynając od czwartej, cyklicznie powtarzają się cztery schematy liczb. Na przykład, dla czwartej sumy równej $10110100$ schematem jest $10\left(1\right)n01\left(0\right)n$. Dla tej sumy $n=2$, dla ósmej to $3$, dla dwunastej $4$ itd. – schemat pozostaje taki sam. Zarówno ten schemat, jak i każdy z trzech pozostałych wyklucza pojawienie się palindromu. Znalezienie dowodu dla układu dziesiętnego ostatecznie rozwiązałoby problem i odesłało liczby Lychrel do lamusa. Niestety, dotąd nikomu się to nie udało.

Działania arytmetyczne na liczbach naturalnych w systemie dziesiątkowym

Dodawanie: $3+7=10$.

Obiekty dodawane to składniki, wynik dodawania nazywa się sumą, a znak działania to „$+$”.

Odejmowanie: $30-12=18$.

Obiekty odejmowane to odjemna i odjemnik, wynik odejmowania nazywa się różnicą, a znak działania to „$-$”.

Mnożenie: $12·3=36$.

Obiekty mnożone to czynniki, wynik mnożenia nazywa się iloczynem, a znak działania to „$·$”.

Dzielenie: $72:4=18$.

Obiekty dzielone to dzielna i dzielnik, wynik dzielenia nazywa się ilorazem, a znak działania to „$:$”.

Infografika

Ciekawostką jest sposób mnożenia wymyślony przez Hindusów. Korzystali oni z prostokąta złożonego z kwadratów, na którego bokach wpisywali czynniki. Wszystkie kwadraty dzielili na połowy za pomocą równoległych przekątnych. Następnie w każdym z kwadratów zapisywali odpowiedni iloczyn: jedności poniżej przekątnej, a dziesiątki powyżej niej. W końcu sumowali liczby położone w ukośnych rzędach pomiędzy przekątnymi, otrzymując wynik mnożenia.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 8

Sudoku: w puste pola wpisz liczby od $1$ do $9$ tak, aby w każdym wierszu, każdej kolumnie i w każdym kwadracie $3\times 3$ ograniczonym grubą linią, znalazło się dziewięć różnych cyfr. Dodatkowy warunek wiąże się z czerwonymi liniami łamanymi: kolejne cyfry, które zapiszesz na każdej z tych linii (cyfr jest $7$ lub $9$), powinny tworzyć palindrom. W rozwiązaniu wskaż sumę $17$ cyfr na obu przekątnych. Jak, twoim zdaniem, dodatkowy warunek wpływa na rozwiązanie zadania: utrudnia je czy ułatwia?

RXAK763CUT26Q

Ilustracja

R1HH41NK69LVG

Odpowiedź: Suma siedemnastu cyfr na przekątnych: Tu uzupełnij.

Odpowiedź: Suma siedemnastu cyfr na przekątnych: Tu uzupełnij.

RHUCS2D1JSQDL

(Uzupełnij).

Ćwiczenie 9

Z $35$ pierwszych palindromów – od $0$ do $252$ – wybrano $16$ i utworzono z nich kwadrat magiczny $4\times 4$. Kwadrat magiczny to taki, w którym suma (zwana sumą magiczną) czterech liczb w każdym wierszu, kolumnie i na obu przekątnych jest taka sama. Poniżej znajdują się: z lewej strony – $35$ liczb, z których dokonano wyboru, z prawej – kwadrat z ujawnionymi $4$ liczbami. Twoje zadanie polega na wypełnieniu właściwymi liczbami pozostałych $12$ pól tak, aby powstał kwadrat magiczny. Jego suma magiczna także powinna być palindromem. W rozwiązaniu podaj tę sumę.

RAZT6B8KM8TJR

Ilustracja przedstawia pewne liczby umieszczone po lewej stronie i kwadrat magiczny po prawej. Liczby, które zostały wykorzystane do uzupełnienia kwadratu magicznego są skreślone. Liczby po lewej stronie to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202, 212, 222, 232, 242, 252. Kwadrat magiczny po prawej stronie ilustracji składa się z szesnastu kwadratowych pól, czyli ma cztery wiersze i cztery kolumny. Pola kwadratu zostały następująco uzupełnione: wiersz pierwszy kolumna pierwsza: cyfra 2, wiersz pierwszy kolumna trzecia: liczba 131, wiersz trzeci kolumna druga: liczba 33, wiersz czwarty kolumna pierwsza: liczba 181, wiersz czwarty kolumna trzecia: cyfra 3.

R1QKN22R9C172

Suma magiczna: Tu uzupełnij.

Suma magiczna: Tu uzupełnij.

Słownik