7. NWD, NWW

R5JJNFHCJ4TB2

Jeżeli weźmiemy parę liczb (przykładowo, 18 oraz 12) i od większej z nich odejmiemy mniejszą, to wynik działania wraz z mniejszą liczbą utworzy nową parę. Jej największy wspólny dzielnik będzie taki sam, jak w przypadku oryginalnej pary. Sprawdźmy to na liczbach 18 i 12. Ich największym wspólnym dzielnikiem jest 6.

Teraz od liczby 18 odejmiemy 12:

$18 - 12 = 6$

Wynik działania wraz z mniejszą liczbą tworzą nową parę: 12 i 6. Największy wspólny dzielnik się nie zmienił – wciąż wynosi on 6.

Ta właściwość jest fundamentem algorytmu Euklidesa. Opisana cecha jest wspólna dla każdej pary liczb, a zatem możemy powtórzyć proces odejmowania i tworzenia nowej pary dla wartości 12 oraz 6:

$12 - 6 = 6$

Wynik oraz mniejsza liczba z pary początkowej składają się na kolejną parę: 6 i 6. Największym wspólnym dzielnikiem identycznych liczb jest każda z nich.

Okazuje się, że biorąc dwie dowolne liczby i wiele razy wykonując opisane wyżej czynności (odejmowanie i tworzenie kolejnych par), otrzymamy w końcu dwie identyczne liczby. Każda kolejna para ma taki sam największy wspólny dzielnik. Zatem ostatnie elementy ciągu są największym wspólnym dzielnikiem pierwszej pary.

Taki schemat postępowania nazywamy algorytmem Euklidesa.

Twoje cele

Wyznaczysz największy wspólny dzielnik dwóch lub więcej liczb naturalnych.
Wykorzystasz rozkłady na czynniki pierwsze w celu wyznaczenia największego wspólnego dzielnika liczb naturalnych.
Rozpoznasz liczby względnie pierwsze.
Wyznaczysz najmniejszą wspólną wielokrotność liczb naturalnych.
Wykorzystasz zależność między najmniejszą wspólna wielokrotnością, a największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb naturalnych.

Największy wspólny dzielnik

Największy wspólny dzielniknajwiększy wspólny dzielnikNajwiększy wspólny dzielnik przynajmniej dwóch liczb naturalnych to największa liczba naturalna, która dzieli wszystkie rozważane liczby.

Największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ będziemy oznaczać $N W D (a, b)$ .

Przykład 1

Wyznaczymy wszystkie dzielniki liczb $12$ i $30$ .

Zbiór wszystkich dzielników liczby $12$ : $D_{12} = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ , zbiór wszystkich dzielników liczby $30$ : $D_{30} = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$ . Widzimy, że wspólnymi dzielnikami są liczby: $1$ , $2$ , $3$ , $6$ .

Największym wspólnym dzielnikiem jest liczba $6$ , co zapiszemy $N W D (12, 30) = 6$ .

Sposób pokazany w przykładzie $1$ daleki jest od optymalnego.

Okazuje się, że wcale nie potrzebujemy wyznaczać wszystkich dzielników (których może być bardzo dużo) rozważanych liczb. Przeanalizuj dokładnie poniższe przykłady.

Przykład 2

Wyznaczymy największy wspólny dzielnik liczb $6$ i $15$ .

Największy wspólny dzielnik liczb $6$ i $15$ to $3$ . Łatwo to zauważyć, gdy rozważane liczby rozłożymy na czynniki pierwsze: $6 = 2 \cdot 3$ oraz $15 = 5 \cdot 3$ . Jedynym wspólnym dzielnikiem (poza jedynką) jest liczba $3$ .

Zatem $N W D (6, 15) = 3$ .

Największy wspólny dzielnik najłatwiej wyznacza się znając rozkład na czynniki pierwsze rozważanych liczb.

Przykład 3

Wyznaczymy $N W D$ dla kilku zestawów liczb.

$N W D (2^{3} \cdot 5^{2}, 5 \cdot 3^{2}) = 5$ , ponieważ $5$ to jedyny czynnik pierwszy, który dzieli każdą z liczb $2^{3} \cdot 5^{2}$ i $5 \cdot 3^{2}$ .

$N W D (2^{3} \cdot 5^{2}, 5 \cdot 2^{2}) = 5 \cdot 2^{2}$ , ponieważ $5$ oraz $2^{2}$ to największe potęgi liczb pierwszych, które dzielą każdą z liczb $2^{3} \cdot 5^{2}$ i $5 \cdot 2^{2}$ .

$N W D (3^{2} \cdot 2^{5} \cdot 7^{3}, 5^{3} \cdot 3^{4} \cdot 7^{6}) = 3^{2} \cdot 7^{3} = 3087$ , ponieważ $3^{2}$ oraz $7^{3}$ to największe potęgi liczb pierwszych występujące w rozkładach każdej z liczb $3^{2} \cdot 2^{5} \cdot 7^{3}$ i $5^{3} \cdot 3^{4} \cdot 7^{6}$ .

$N W D (2^{3} \cdot 5^{2}, 5 \cdot 2^{2}, 2^{2} \cdot 3^{4}) = 2^{2}$ , ponieważ $2^{2}$ to największa potęga liczby pierwszej, która wystepuje w rozkładzie każdej z liczb $2^{3} \cdot 5^{2}$ , $5 \cdot 2^{2}$ oraz $2^{2} \cdot 3^{4}$ .

$N W D (2^{5} \cdot 7^{3}, 5^{3} \cdot 3^{4}) = 1$ , ponieważ liczby $2^{5} \cdot 7^{3}$ oraz $5^{3} \cdot 3^{4}$ nie mają żadnych wspólnych dzielników pierwszych.

Przykład 4

Wyznaczymy największy wspólny dzielnik dla liczb $2520$ oraz $6750$ .

Najpierw rozłożymy każdą z nich na czynniki pierwsze.

R1R2ZN92JMMPO

Ilustracja przedstawia dwa przypadki rozkładu różnych liczb na czynniki pierwsze rozpatrzone obok siebie. Po lewej stronie zapisana jest liczba rozkładana, a po prawej jej dzielnik. Między dzielną a jej dzielnikiem znajduje się pionowa kreska. Rozkład liczby jest zapisany w dwóch pionowych kolumnach oddzielonych od siebie pionową kreską. W lewej części ilustracji rozłożona jest na czynniki liczba dwa tysiące pięćset dwadzieścia. Zapis jest następujący. Wiersz pierwszy od góry, lewa strona: dwa tysiące pięćset dwadzieścia, pionowa kreska, po prawej stronie zapisano dzielnik tej liczby, czyli dwa. Z dzielenia dwa tysiące pięćset dwadzieścia, podzielić na, dwa otrzymujemy liczbę tysiąc dwieście sześćdziesiąt, którą zapisujemy w drugim wierszu na lewo, dalej kreska pionowa i na prawo dzielnik tej liczby, czyli dwa. W trzecim wierszu na lewo zapisujemy wynik dzielenia, czyli liczbę sześćset trzydzieści, pionowa kreska i na prawo kolejny dzielnik, czyli znowu dwa. W czwartym wierszu zapisujemy liczbę trzysta piętnaście, kreska pionowa, na prawo jej dzielnik pięć. Wiersz piąty: na lewo liczba sześćdziesiąt trzy, kreska pionowa, na prawo jej dzielnik, czyli trzy. Wiersz szósty: na lewo liczba dwadzieścia jeden, kreska pionowa, na prawo jej dzielnik, czyli liczba trzy. Wiersz siódmy: na lewo liczba siedem, kreska pionowa, na prawo jej dzielnik, czyli liczba siedem. Wiersz ósmy: na lewo liczba jeden, kreska pionowa, na prawo nie zapisujemy nic, zostawiamy puste miejsce. W prawej części ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba sześć tysięcy siedemset pięćdziesiąt. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: na lewo liczba sześć tysięcy siedemset pięćdziesiąt, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz drugi: na lewo liczba tysiąc trzysta pięćdziesiąt, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz trzeci: na lewo liczba dwieście siedemdziesiąt, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba trzy. Wiersz czwarty: na lewo liczba dziewięćdziesiąt, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba trzy. Wiersz piąty: na lewo liczba trzydzieści, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba trzy. Wiersz szósty: na lewo liczba dziesięć, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba dwa. Wiersz siódmy: na lewo liczba pięć, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz ósmy: na lewo liczba jeden, pionowa kreska, na prawo puste miejsce.

Sprawdźmy, które liczby pierwsze powtarzają się w rozkładach każdej z danych liczb.

R656A85NXHJ9A

Ilustracja przedstawia rozkłady dwóch różnych liczb na czynniki pierwsze rozpatrzone obok siebie. Wspólne dzielniki obu liczb oznaczono, obrysowując je kółkiem. Po lewej stronie zapisana jest liczba rozkładana, a po prawej jej dzielnik. Między dzielną a jej dzielnikiem znajduje się pionowa kreska. Rozkład liczby jest zapisany w dwóch pionowych kolumnach oddzielonych od siebie pionową kreską. W lewej części ilustracji rozłożona jest na czynniki liczba dwa tysiące pięćset dwadzieścia. Zapis jest następujący. Wiersz pierwszy od góry, lewa strona: dwa tysiące pięćset dwadzieścia, pionowa kreska, po prawej stronie zapisano dzielnik tej liczby, czyli dwa. Dzielnik ten zaznaczono, obrysowując go kółkiem. Z dzielenia dwa tysiące pięćset dwadzieścia, podzielić na, dwa otrzymujemy liczbę tysiąc dwieście sześćdziesiąt, którą zapisujemy w drugim wierszu po lewo, dalej kreska pionowa i na prawo dzielnik tej liczby, czyli dwa. W trzecim wierszu na lewo zapisujemy wynik dzielenia, czyli liczbę sześćset trzydzieści, pionowa kreska i na prawo kolejny dzielnik, czyli znowu dwa. W czwartym wierszu zapisujemy liczbę trzysta piętnaście, kreska pionowa, na prawo jej dzielnik pięć, który obrysowano kółkiem. Wiersz piąty: na lewo liczba sześćdziesiąt trzy, kreska pionowa, na prawo jej dzielnik, czyli trzy, który obrysowano kółkiem. Wiersz szósty: na lewo liczba dwadzieścia jeden, kreska pionowa, na prawo jej dzielnik, czyli liczba trzy, który obrysowano kółkiem. Wiersz siódmy: na lewo liczba siedem, kreska pionowa, na prawo jej dzielnik, czyli liczba siedem. Wiersz ósmy: na lewo liczba jeden, kreska pionowa, na prawo nie zapisujemy nic, zostawiamy puste miejsce. W prawej części ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba sześć tysięcy siedemset pięćdziesiąt. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: na lewo liczba sześć tysięcy siedemset pięćdziesiąt, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba pięć obrysowana kółkiem. Wiersz drugi: na lewo liczba tysiąc trzysta pięćdziesiąt, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz trzeci: na lewo liczba dwieście siedemdziesiąt, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba trzy. Wiersz czwarty: na lewo liczba dziewięćdziesiąt, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba trzy obrysowana kółkiem. Wiersz piąty: na lewo liczba trzydzieści, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba trzy obrysowana kółkiem. Wiersz szósty: na lewo liczba dziesięć, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba dwa obrysowana kółkiem. Wiersz siódmy: na lewo liczba pięć, pionowa kreska, na prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz ósmy: na lewo liczba jeden, pionowa kreska, na prawo puste miejsce.

W obu rozkładach powtarzają się: liczba $5$ , druga potęga liczby $3$ oraz liczba $2$ .

Oznacza to, że $N W D (2520, 6750) = N W D (2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7, 2 \cdot 3^{3} \cdot 5^{3}) = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5 = 90$ .

Przykład 5

Wyznaczymy największy wspólny dzielnik dla liczb $3150$ , $2205$ oraz $900$ .

Najpierw rozłożymy każdą z nich na czynniki pierwsze:

R1OJ1K617TVSM

Ilustracja przedstawia trzy rozkłady różnych liczb na czynniki pierwsze rozpatrzone obok siebie. Po lewej stronie zapisana jest liczba rozkładana, a po prawej jej dzielnik. Między dzielną a jej dzielnikiem znajduje się pionowa kreska. Rozkład liczby jest zapisany w dwóch pionowych kolumnach oddzielonych od siebie pionową kreską. W lewej części ilustracji rozłożona jest na czynniki liczba trzy tysiące sto pięćdziesiąt. Wiersz pierwszy od góry, lewa strona: trzy tysiące sto pięćdziesiąt, pionowa kreska, po prawej stronie zapisano dzielnik tej liczby, czyli dwa. Drugi wiersz: po lewo liczba tysiąc pięćset siedemdziesiąt pięć., dalej kreska pionowa i po prawo dzielnik tej liczby, czyli pięć. W trzecim wierszu po lewo zapisano liczbę trzysta piętnaście, pionowa kreska i po prawo kolejny dzielnik, czyli pięć. W czwartym wierszu zapisano liczbę sześćdziesiąt trzy, kreska pionowa, po prawo jej dzielnik trzy. Wiersz piąty: po lewo liczba dwadzieścia jeden, kreska pionowa, po prawo jej dzielnik, czyli liczba trzy. Wierz szósty: po lewo liczba siedem, kreska pionowa, po lewo jej dzielnik, czyli liczba siedem. Wiersz siódmy: po lewo liczba jeden, kreska pionowa, po prawo puste miejsce. W środkowej części ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba dwa tysiące dwieście pięć. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: po lewo liczba dwa tysiące dwieście pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz drugi: po lewo liczba czterysta czterdzieści jeden, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy. Wiersz trzeci: po lewo liczba sto czterdzieści siedem, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy. Wiersz czwarty: po lewo liczba czterdzieści dziewięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba siedem. Wiersz piąty: po lewo liczba siedem, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba siedem. Wiersz szósty: po lewo liczba jeden, pionowa kreska, po prawo puste miejsce. W prawej części ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba dziewięćset. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: po lewo liczba dziewięćset, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwa. Wiersz drugi: po lewo liczba czterysta pięćdziesiąt, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwa. Wiersz trzeci: po lewo liczba dwieście dwadzieścia pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy. Wiersz czwarty: po lewo liczba siedemdziesiąt pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy. Wiersz piąty: po lewo liczba dwadzieścia pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz szósty: po lewo liczba pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz siódmy: po lewo liczba jeden, pionowa kreska, po prawo puste miejsce.

Sprawdźmy, które liczby pierwsze powtarzają się w rozkładach każdej z danych liczb.

R1KXO88ZGZU3J

Ilustracja przedstawia trzy rozkłady różnych liczb na czynniki pierwsze rozpatrzone obok siebie. Powtarzające się czynniki pierwsze z rozkładów wszystkich liczb wyróżniono, obrysowując je kółkami. Po lewej stronie zapisana jest liczba rozkładana, a po prawej jej dzielnik. Między dzielną a jej dzielnikiem znajduje się pionowa kreska. Rozkład liczby jest zapisany w dwóch pionowych kolumnach oddzielonych od siebie pionową kreską. W lewej części ilustracji rozłożona jest na czynniki liczba trzy tysiące sto pięćdziesiąt. Wiersz pierwszy od góry, lewa strona: trzy tysiące sto pięćdziesiąt, pionowa kreska, po prawej stronie zapisano dzielnik tej liczby, czyli dwa. Drugi wiersz: po lewo liczba tysiąc pięćset siedemdziesiąt pięć., dalej kreska pionowa i po prawo dzielnik tej liczby, czyli pięć. W trzecim wierszu po lewo zapisano liczbę trzysta piętnaście, pionowa kreska i po prawo kolejny dzielnik, czyli pięć, który obrysowano kółkiem. W czwartym wierszu zapisano liczbę sześćdziesiąt trzy, kreska pionowa, po prawo jej dzielnik trzy, który obrysowano kółkiem. Wiersz piąty: po lewo liczba dwadzieścia jeden, kreska pionowa, po prawo jej dzielnik, czyli liczba trzy, który obrysowano kółkiem. Wierz szósty: po lewo liczba siedem, kreska pionowa, po lewo jej dzielnik, czyli liczba siedem. Wiersz siódmy: po lewo liczba jeden, kreska pionowa, po prawo puste miejsce. W środkowej części ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba dwa tysiące dwieście pięć. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: po lewo liczba dwa tysiące dwieście pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba pięć, który obrysowano kółkiem. Wiersz drugi: po lewo liczba czterysta czterdzieści jeden, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy, który obrysowano kółkiem. Wiersz trzeci: po lewo liczba sto czterdzieści siedem, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy, który obrysowano kółkiem. Wiersz czwarty: po lewo liczba czterdzieści dziewięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba siedem. Wiersz piąty: po lewo liczba siedem, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba siedem. Wiersz szósty: po lewo liczba jeden, pionowa kreska, po prawo puste miejsce. W prawej części ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba dziewięćset. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: po lewo liczba dziewięćset, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwa. Wiersz drugi: po lewo liczba czterysta pięćdziesiąt, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwa. Wiersz trzeci: po lewo liczba dwieście dwadzieścia pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy, który obrysowano kółkiem. Wiersz czwarty: po lewo liczba siedemdziesiąt pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy, który obrysowano kółkiem. Wiersz piąty: po lewo liczba dwadzieścia pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba pięć, który obrysowano kółkiem. Wiersz szósty: po lewo liczba pięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba pięć. Wiersz siódmy: po lewo liczba jeden, pionowa kreska, po prawo puste miejsce.

We wszystkich rozkładach powtarzają się: liczba $5$ oraz druga potęga liczby $3$ .

Oznacza to, że $N W D (3150, 2205, 900) = N W D (2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7, 3^{2} \cdot 5 \cdot 7^{2}, 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}) =$

$= 5 \cdot 3^{2} = 45$

Mówimy, że dwie (lub więcej) liczby naturalne są to liczby względnie pierwszeliczby względnie pierwszeliczby względnie pierwsze, jeśli ich największy wspólny dzielniknajwiększy wspólny dzielniknajwiększy wspólny dzielnik jest równy $1$ .

Przykład 6

Liczby $10$ i $15$ nie są względnie pierwsze, ponieważ $N W D (10, 15) = 5 > 1$ .

Liczby $10$ i $21$ są względnie pierwsze, ponieważ $N W D (10, 21) = 1$

Liczby $6$ , $10$ i $15$ są względnie pierwsze, ponieważ $N W D (6, 10, 15) = 1$ .

Liczby $6$ , $10$ i $15$ nie są parami względnie pierwsze, ponieważ można wybrać z nich parę liczb, które nie są względnie pierwsze, np. $N W D (6, 10) = 2$ .

Liczby $26$ , $33$ i $35$ są względnie pierwsze, ponieważ $N W D (26, 33, 35) = 1$ .

Liczby $26$ , $33$ i $35$ są parami względnie pierwsze, ponieważ każde dwie spośród nich są względnie pierwsze: $N W D (26, 33) = 1$ , $N W D (33, 35) = 1$ , $N W D (26, 35) = 1$ .

Ważne!

Algorytm Euklidesa

Do wyznaczania największego wspólnego dzielnika dwóch liczb możemy wykorzystać algorytmalgorytmalgorytm, który opisał już Euklides żyjący na przełomie IV i III wieku przed nasza erą. Uogólnienia i modyfikacje tego algorytmu są stosowane również dziś, co sprawia, że algorytm Euklidesa jest jednym z najstarszych ciągle używanych algorytmów. Algorytm Euklidesa opiera się na prostej obserwacji: jeżeli liczba naturalna $d$ dzieli liczby naturalne $a$ i $b$ , to dzieli również ich różnicę. Rzeczywiście jeśli $d = N W D (a, b)$ , wówczas istnieją takie względnie pierwsze liczby naturalne $k$ i $l$ , dla których $a = d \cdot k$ oraz $b = d \cdot l$ . Niech ponadto $a > b$ . Wówczas $a - b = d \cdot k - d \cdot l = d \cdot (k - l)$ , co oznacza, że liczba $(a - b)$ również dzieli się przez $d$ . A to z kolei oznacza, że zarówno różnica liczb $b$ i $(a - b)$ , jak i różnica liczb $a$ i $(a - b)$ dzielą się przez $d$ . Powtarzanie odejmowania doprowadza w końcu do otrzymania $d$ .

Przykład 7

Wyznaczymy największy wspólny dzielnik liczb $984$ i $1435$ .

Ponieważ największy wspólny dzielnik dwóch liczb naturalnych dzieli również ich różnicę, więc $N W D (984, 1435) = d$ dzieli liczbę $1435 - 984 = 451$ .

Ponieważ $d$ dzieli liczby $984$ i $451$ , to dzieli również ich różnicę $984 - 451 = 533$ $\left(\ast\right)$ .

Zatem $d$ dzieli liczby $533$ i $451$ , czyli podzieli również ich różnicę $533 - 451 = 82$ .

Teraz wiemy już, że $d$ dzieli liczby $451$ i $82$ , stąd $d$ dzieli $451 - 82 = 369$ $\left(\ast\ast\right)$ .

Ponieważ $d$ dzieli liczby $369$ i $82$ , więc dzieli również $369 - 82 = 287$ .

Wiadomo, że $d$ dzieli liczby $287$ i $82$ , zatem dzieli też $287 - 82 = 205$ .

Skoro $d$ dzieli liczby $205$ i $82$ , to dzieli również $205 - 82 = 123$ .

Ponieważ $d$ dzieli liczby $123$ i $82$ , więc dzieli też $123 - 82 = 41$ .

Teraz można już zauważyć, że skoro $d$ dzieli $82$ i $41$ i jest największym z możliwych wspólnych dzielników tych liczb, to $d = 41$ .

Zwróć uwagę, że powyższe rozwiązanie można było skrócić. W miejscu oznaczonym $\left(\ast\right)$ zamiast od liczby $984$ odejmować liczbę $451$ można było odjąć jej dwukrotność, czyli $2 \cdot 451 = 902$ . Jako argument pozwalający na odejmowanie z takim rozmachem wystarczy przywołać fakt, że jeśli $d$ dzieli liczbę, to podzieli również jej wielokrotność. Zatem w miejscu $\left(\ast\right)$ wykonamy odejmowanie $984 - 2 \cdot 451 = 984 - 902 = 82$ . Zgodnie ze sposobem opisanym powyżej wykonalibyśmy odejmowanie liczb $451$ i $82$ tak jak w miejscu $\left(\ast\ast\right)$ , ale tu również możemy zaoszczędzić trochę czasu i zauważyć, że zamiast od $451$ odejmować $82$ , rozwiązanie przyspieszy odjęcie wielokrotność liczby $82$ , konkretnie $5 \cdot 82 = 410$ . Czyli $d$ dzieli $451 - 5 \cdot 82 = 451 - 410 = 41$ . Końcówka rozwiązania pozostaje bez zmian. Jeśli zauważymy, że $d$ jest największym dzielnikiem liczb $41$ i $82$ , to dojdziemy do wniosku, że $d = 41$ .

Prześledźmy kolejne wykonane operacje:

Pierwszy etap działania	Drugi etap działania	Komentarz
$1435 - 984 = 451$	$1435 = 984 + 451$	Iloraz całkowity z dzielenia $1435$ przez $984$ to $1$ zaś reszta to $451$ .
$984 - 2 \cdot 451 = 82$	$984 = 2 \cdot 451 + 82$	Iloraz całkowity z dzielenia $984$ przez $451$ to $2$ zaś reszta to $82$ .
$451 - 5 \cdot 82 = 41$	$451 = 5 \cdot 82 + 41$	Iloraz całkowity z dzielenia $451$ przez $82$ to $5$ zaś reszta to $41$ .
$82 - 2 \cdot 41 = 0$	$82 = 2 \cdot 41 + 0$	Iloraz całkowity z dzielenia $82$ przez $41$ to $2$ zaś reszta to $0$ .
Ostatnia niezerowa reszta w tym ciągu dzieleń to szukany największy wspólny dzielnik liczb $1435$ i $984$ , zatem $N W D (1435, 984) = 41$ .

Przykład 8

Wyznaczymy największy wspólny dzielnik liczb $830$ i $1225$ .

Pierwszy etap działania	Objaśnienia do części pierwszej obliczeń	Drugi etap działania	Objaśnienie do części drugiej obliczeń
$1225 - 1 \cdot 830 = 395$	Od $1125$ odejmujemy $830$ – różnica to $395$	$1225 = 1 \cdot 830 + 395$	Iloraz całkowity z dzielenia $1225$ przez $830$ to $1$ , zaś reszta to $395$
$830 - 2 \cdot 395 = 40$	Od $830$ odejmujemy dwukrotność $\left( \ast \right)$ $395$ – różnica to $40$	$830 = 2 \cdot 395 + 40$	Iloraz całkowity z dzielenia $830$ przez $395$ to $2$ , zaś reszta to $40$
$395 - 9 \cdot 40 = 35$	Od $395$ odejmujemy dziewięciokrotność $\left(\ast \ast \right)$ $40$ – różnica to $35$	$395 = 9 \cdot 40 + 35$	Iloraz całkowity z dzielenia $395$ przez $40$ to $9$ , zaś reszta to $35$
$40 - 1 \cdot 35 = 5$	Od $40$ odejmujemy $35$ – różnica to $5$	$40 = 1 \cdot 35 + 5$	Iloraz całkowity z dzielenia $40$ przez $35$ to $1$ , zaś reszta to $5$
$35 - 7 \cdot 5 = 0$	Od $35$ odejmujemy siedmiokrotność $\left( \ast \ast \ast \right)$ $5$ – różnica to $0$	$35 = 7 \cdot 5 + 0$	Iloraz całkowity z dzielenia $35$ przez $5$ to $7$ , zaś reszta to $0$
Ostatnia niezerowa reszta w tym ciągu dzieleń to szukany największy wspólny dzielnik liczb $1225$ i $830$ , zatem $N W D (1225, 830) = 5$ .

$\left( \ast \right)$ równoważnie można wykonać dwa odejmowania liczby $395$

$\left(\ast \ast \right)$ równoważnie można wykonać dziewięć odejmowań liczby $40$

$\left(\ast \ast \ast \right)$ równoważnie można wykonać siedem odejmowań liczby $5$

Przykład 9

Wyznaczymy największy wspólny dzielnik liczb $965$ i $1230$ .

Komentarz	Obliczenia
Iloraz całkowity z dzielenia liczby $1230$ przez $965$ to $1$ , zaś reszta to $265$ .	$1230 = 1 \cdot 965 + 265$
Iloraz całkowity z dzielenia liczby $965$ przez $265$ to $3$ , zaś reszta to $170$ .	$965 = 3 \cdot 265 + 170$
Iloraz całkowity z dzielenia liczby $265$ przez $170$ to $1$ , zaś reszta to $95$ .	$265 = 1 \cdot 170 + 95$
Iloraz całkowity z dzielenia liczby $170$ przez $95$ to $1$ , zaś reszta to $75$ .	$170 = 1 \cdot 95 + 75$
Iloraz całkowity z dzielenia liczby $95$ przez $75$ to $1$ , zaś reszta to $20$ .	$95 = 1 \cdot 75 + 20$
Iloraz całkowity z dzielenia liczby $75$ przez $20$ to $3$ , zaś reszta to $15$ .	$75 = 3 \cdot 20 + 15$
Iloraz całkowity z dzielenia liczby $20$ przez $15$ to $1$ , zaś reszta to $5$ .	$20 = 1 \cdot 15 + 5$
Iloraz całkowity z dzielenia liczby $15$ przez $5$ to $3$ , zaś reszta to $0$ .	$15 = 3 \cdot 5 + 0$
Ostatnia niezerowa reszta w tym ciągu dzieleń to szukany największy wspólny dzielnik liczb $1230$ i $965$ , zatem $N W D (1230, 965) = 5$ .

Najmniejsza wspólna wielokrotność

Pojęciem blisko związanym z największym wspólnym dzielnikiem jest najmniejsza wspólna wielokrotność. W tej lekcji skupimy się na wyznaczaniu najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb naturalnych, ale analogicznie definiuje się to pojęcie dla wyrażeń algebraicznych ze szczególnym uwzględnieniem wielomianów. Jednym z pierwszych momentów w edukacji matematycznej, kiedy spotykamy się z tym terminem jest nauka dodawania i odejmowania ułamków zwykłych o różnych mianownikach. Aby te działania wykonać, potrzebujemy wspólnego mianownika rozważanych ułamków. Staramy się, aby był on najmniejszy, ale w praktyce bywa różnie.

Przyjęliśmy następującą definicję:

Wielokrotność liczby naturalnej

n

Definicja: Wielokrotność liczby naturalnej

n

Wielokrotnością liczby naturalnej $n$ nazywamy każdy iloczyn $n$ przez dowolną liczbę naturalną.

Przykład 10

Wprost z definicji wynika, że wielokrotnościami liczby $6$ są liczby: $0$ , $6$ , $12$ , $18$ , $24$ , $30$ , $36$ , $42$ , $. . .$

Zaś wielokrotnościami liczby $4$ są liczby: $0$ , $4$ , $8$ , $12$ , $16$ , $20$ , $24$ , $28$ , $32$ , $36$ , $40$ , $. . .$

Wspólnymi wielokrotnościami liczb $6$ i $4$ są liczby: $0$ , $12$ , $24$ , $36$ , $. . .$

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb $6$ i $4$ jest $0$ .

Najmniejszą dodatnią wspólną wielokrotnością liczb $6$ i $4$ jest $12$ .

Najmniejsza wspólna wielokrotność dodatnich liczb naturalnych

a

b

Definicja: Najmniejsza wspólna wielokrotność dodatnich liczb naturalnych

a

b

Najmniejszą wspólną wielokrotnością dodatnich liczb naturalnych $a$ i $b$ jest najmniejsza dodatnia liczba naturalna, która jest podzielna przez każdą z liczb $a$ i $b$ .

Analogiczną definicję można sformułować dla więcej niż dwóch liczb naturalnych.

Najmniejsza wspólna wielokrotność dodatnich liczb naturalnych

Definicja: Najmniejsza wspólna wielokrotność dodatnich liczb naturalnych

Najmniejszą wspólną wielokrotność dodatnich liczb naturalnych $a$ i $b$ oznaczamy $N W W (a, b)$ .

Wyznaczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności metodą pokazaną w przykładzie 1 może być uciążliwe. Dlatego zwykle wykorzystujemy w tym celu rozkłady na czynniki pierwsze.

Przykład 11

Rozważymy kilka przykładów:

$N W W (2, 5) = 2 \cdot 5 = 10$ , bo $10$ to najmniejsza liczba podzielna przez $2$ i $5$ .

$N W W (2, 5, 3) = 2 \cdot 5 \cdot 3 = 30$ , bo $30$ to najmniejsza liczba podzielna przez $2$ , $5$ i $3$ .

$N W W (2^{3}, 5^{2}) = 2^{3} \cdot 5^{2} = 200$ , bo $200$ to najmniejsza liczba podzielna przez $2^{3}$ i $5^{2}$ .

$N W W (2^{3} \cdot 5^{4}, 2^{4} \cdot 5^{2}) = 2^{4} \cdot 5^{4} = 10000$ , bo $10000$ to najmniejsza liczba podzielna przez $2^{3} \cdot 5^{4}$ i $2^{4} \cdot 5^{2}$ .

$N W W (2^{3} \cdot 5^{4} \cdot 7^{2}, 2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}) = 2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 7^{2} \cdot 3^{2}$ , bo $2^{4} \cdot 5^{4} \cdot 7^{2} \cdot 3^{2}$ to najmniejsza liczba podzielna przez $2^{3} \cdot 5^{4} \cdot 7^{2}$ i $2^{4} \cdot 3^{2} \cdot 5^{2}$ .

Zwróć uwagę, że rozkład na czynniki pierwsze najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb $a$ i $b$ zawiera tylko i wyłącznie liczby pierwsze pochodzące z rozkładów liczb $a$ i $b$ .

Ponadto najmniejsza wspólna wielokrotnośćnajmniejsza wspólna wielokrotnośćnajmniejsza wspólna wielokrotność liczb, które są względnie pierwsze, jest równa ich iloczynowi.

Przykład 12

Wyznaczymy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $2250$ i $945$ .

Zaczniemy od rozkładu obu liczb na czynniki pierwsze:

RNB83LULBVL65

Ilustracja przedstawia dwa przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba dwa tysiące dwieście pięćdziesiąt: podzielić przez dwa daje tysiąc sto dwadzieścia pięć podzielić przez trzy daje trzysta siedemdzieisiąt pięć podzielić przez trzy daje sto dwadzieścia pięć podzielić przez pięć daje dwadzieścia pięć podzielić przez pięć daje pięć podzielić przez pięć daje jeden. Liczba dziewięćset czterdzieści pięć podzielić przez trzy daje trzysta piętnaście podzielić przez trzy daje sto pięć podzielić przez trzy daje trzydzieści pięć podzielić przez pięć daje siedem podzielić przez siedem daje jeden.

Zatem $2250 = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{3}$ oraz $945 = 3^{3} \cdot 5 \cdot 7$ .

Aby liczba dzieliła się przez $2250$ , musi dzielić się przez $2$ , drugą potęgę liczby $3$ i trzecią potęgę liczby $5$ .

Aby liczba dzieliła się przez $945$ , musi dzielić się przez $5$ , $7$ i trzecią potęgę liczby $3$ .

Najmniejsza liczba podzielna przez $2250$ i $945$ to $2 \cdot 3^{3} \cdot 5^{3} \cdot 7 = 47250$ .

Zatem $N W W (2250, 945) = 47250$ .

Zauważmy, że aby wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, wystarczy rozłożyć obie na czynniki pierwsze, a następnie pomnożyć wszystkie czynniki tworzące rozkład jednej z rozważanych liczb przez te czynniki z rozkładu drugiej, których brakuje w rozkładzie tej pierwszej.

Przykład 13

Wyznaczymy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb $18$ , $75$ oraz $35$ .

Zauważmy, że:

R1F5SHBGHP4QX

Ilustracja przedstawia trzy przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba osiemnaście podzielić przez dwa daje dziewięć podzielić przez trzy daje trzy podzielić przez trzy daje jeden. Liczba siedemdziesią pięć podzielić przez trzy daje dwadzieścia pięć podzielić przez pięć daje pięć podzielić przez pięć daje jeden. Liczba trzydzieści pięć podzielić przez siedem daje pięć podzielić przez pięć daje jeden.

Aby liczba dzieliła się przez $18$ , musi dzielić się przez $2$ i drugą potęgę liczby $3$ .

Aby liczba dzieliła się przez $75$ , musi dzielić się przez $3$ i drugą potęgę liczby $5$ .

Aby liczba dzieliła się przez $35$ , musi dzielić się przez $7$ i $5$ .

Najmniejsza liczba podzielna przez $18$ , $75$ i $35$ to iloczyn liczby $2$ , drugiej potęgi liczby $3$ , drugiej potęgi liczby $5$ i liczby $7$ .

Zatem $N W W (18, 75, 35) = 2 \cdot 3^{2} \cdot 5^{2} \cdot 7 = 3150$ .

Rozważmy liczby naturalne dodatnie $a$ i $b$ . Każdą z nich można zapisać jako iloczyn ich największego wspólnego dzielnika oraz pewnej liczby naturalnej.

Zatem: $a = k \cdot d$ i $b = m \cdot d$

gdzie:
$k$ i $m$ – są liczbami naturalnymi, zaś $d = N W D (a, b)$ .

Zauważmy, że liczby $k$ i $m$ są względnie pierwsze (bo gdyby $k$ i $m$ miały dzielnik $p$ większy od $1$ , to wówczas $N W D (a, b) = d \cdot p > d$ ).

Wynika stąd, że $N W W (a, b) = k \cdot d \cdot m$ . Jeśli pomnożymy obie strony powyższej równości przez $d$ , otrzymujemy $d \cdot N W W (a, b) = k \cdot d \cdot m \cdot d$ , czyli $N W D (a, b) \cdot N W W (a, b) = a \cdot b$ .

Bardzo często stosowaną praktyką jest wyznaczanie największego wspólnego dzielnikanajwiększy wspólny dzielniknajwiększego wspólnego dzielnika dwóch liczb za pomocą algorytmu Euklidesa, a następnie obliczanie najmniejszej wspólnej wielokrotności z przekształconej postaci ostatniej równości:

N W W (a, b) = \frac{a \cdot b}{N W D (a, b)}

Przykład 14

Obliczymy $N W W (225, 420)$ korzystając ze wzoru $N W W (a, b) = \frac{a \cdot b}{N W D (a, b)}$ .

Najpierw zastosujemy algorytm Euklidesa, aby obliczyć $N W D (225, 420)$ :

$420 = 1 \cdot 225 + 195$

$225 = 1 \cdot 195 + 30$

$195 = 6 \cdot 30 + 15$

$30 = 2 \cdot 15 + 0$

Zatem $N W D (225, 420) = 15$ .

Stąd $N W W (225, 420) = \frac{225 \cdot 420}{15} = 6300$ .

Przykład 15

Udowodnimy, że wzór $N W D (a, b, c) \cdot N W W (a, b, c) = a \cdot b \cdot c$ nie jest prawdziwy dla dowolnych liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ .

Rozważmy liczby $6$ , $8$ i $10$ .

Wówczas łatwo sprawdzić, że $N W D (6, 8, 10) = N W D (3 \cdot 2, 2^{3}, 2 \cdot 5) = 2$ oraz $N W W (6, 8, 10) = N W W (3 \cdot 2, 2^{3}, 2 \cdot 5) = 3 \cdot 2 \cdot 2^{2} \cdot 5 = 120$ .

Wówczas $N W D (6, 8, 10) \cdot N W W (6, 8, 10) = 2 \cdot 120 = 240$ , zaś $6 \cdot 8 \cdot 10 = 480$ ,

zatem $N W D (6, 8, 10) \cdot N W W (6, 8, 10) \neq 6 \cdot 8 \cdot 10$ .

Jeśli chcemy obliczyć najmniejszą wspólną wielokrotnośćnajmniejsza wspólna wielokrotnośćnajmniejszą wspólną wielokrotność trzech liczb naturalnych, możemy najpierw wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność $w$ dwóch spośród trzech podanych liczb, a następnie najmniejszą wspólną wielokrotność liczby $w$ i trzeciej z rozważanych liczb. Innymi słowy zachodzi zależność:

N W W (a, b, c) = N W W (a, N W W (b, c))

Schemat interaktywny

Przeanalizuj działanie algorytmu Euklidesa na kilku przykładach par liczb naturalnych.

R1K3MMF4N8HFL1

Znajdź NWD dwóch następujących par liczb.

RP5ZDX1D1KV8O

Ćwiczenie 1

R4QEA7OTGFXUH

Ćwiczenie 2

Polecenie 1

Stosując algorytm Euklidesa, wyznacz największy wspólny dzielnik liczb:

a) $1234$ i $532$

b) $954$ i $630$

RH8HC1Q9C91AT

$1234 = 2 \cdot 532 + 170$

$532 = 3 \cdot 170 + 22$

$170 = 7 \cdot 22 + 16$

$22 = 1 \cdot 16 + 6$

$16 = 2 \cdot 6 + 4$

$6 = 1 \cdot 4 + 2$

$4 = 2 \cdot 2 + 0$

Odpowiedź: $N W D (1234, 532) = 2$ .

R1ZTJ22P6PS8A

$954 = 1 \cdot 630 + 324$

$630 = 1 \cdot 324 + 306$

$324 = 1 \cdot 306 + 18$

$306 = 17 \cdot 18 + 0$

Odpowiedź: $N W D (954, 630) = 18$ .

Gra edukacyjna

Wybierz kilka liczb jedno i dwucyfrowych, a następnie zbadaj jak zmienia się wartość najmniejszej wspólnej wielokrotności oraz największego wspólnego dzielnika dla tych liczb. Czy na wyniki wpływa fakt, że obie liczby są parzyste, nieparzyste, pierwsze, złożone?

Polecenie 2

Stwórz sześć kostek domina, na których znajdą się przykłady dotyczące największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności liczb naturalnych. Daj swoje domino do ułożenia koledze z klasy.

Wybierz kilka liczb dwucyfrowych. Połącz je w pary, a następnie oblicz dla każdej pary największy wspólny dzielnik oraz najmniejszą wspólną wielokrotność. Zakoduj otrzymane przez siebie wyniki tak, aby otrzymać pewne hasło. Opracuj reguły gry do przygotowanych obliczeń i hasła.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

RMFNQSCRGZ4HK

największy wspólny dzielnik, równa się, dwadzieścia jeden###Ilustracja 1 największy wspólny dzielnik, równa się, siedemdziesiąt pięć###Ilustracja 2 największy wspólny dzielnik, równa się, jeden###Ilustracja 3 przedstawia dwa rozkłady różnych liczb na czynniki pierwsze rozpatrzone obok siebie. Po lewej stronie zapisana jest liczba rozkładana, a po prawej jej dzielnik. Między dzielną a jej dzielnikiem znajduje się pionowa kreska. Rozkład liczby jest zapisany w dwóch pionowych kolumnach oddzielonych od siebie pionową kreską. W lewej części ilustracji rozłożona jest na czynniki liczba trzydzieści tysięcy trzydzieści. Zapis jest następujący. Wiersz pierwszy od góry, lewa strona: trzydzieści tysięcy trzydzieści, pionowa kreska, po prawej stronie zapisano dzielnik tej liczby, czyli dwa. Wiersz drugi: po lewo liczba piętnaście tysięcy piętnaście, pionowa kreska, po prawo liczba trzy. W trzecim wierszu po lewo jest liczba pięć tysięcy pięć, pionowa kreska i po prawo liczba pięć. W czwartym wierszu po lewo jest liczba tysiąc jeden, kreska pionowa, po prawo jej dzielnik siedem. Wiersz piąty: po lewo liczba sto czterdzieści trzy, kreska pionowa, po prawo jej dzielnik, czyli jedenaście. Wiersz szósty: po lewo liczba trzynaście, kreska pionowa, po prawo jej dzielnik, czyli liczba trzynaście. Wierz siódmy: po lewo liczba jeden, kreska pionowa, po lewo puste miejsce. W prawej części ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba siedem tysięcy czterysta dwadzieścia dziewięć. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: po lewo liczba siedem tysięcy czterysta dwadzieścia dziewięć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba siedemnaście. Wiersz drugi: po lewo liczba czterysta trzydzieści siedem, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwadzieścia trzy. Wiersz trzeci: po lewo liczba dwadzieścia trzy, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwadzieścia trzy. Wiersz czwarty: po lewo liczba jeden, pionowa kreska, po prawo puste miejsce.

RXN79HJJPZ6OD

Połącz w pary największe wspólne dzielniki z liczbami według ich opisanych rozkładów. największy wspólny dzielnik, równa się, dwadzieścia jeden Możliwe odpowiedzi: 1. Liczba trzydzieści tysięcy trzydzieści, równa się, dwa, razy, trzy, razy, pięć, razy, siedem, razy, jedenaście, razy, trzynaście oraz liczba siedem tysięcy czterysta dwadzieścia dziewięć, równa się, siedemnaście, razy, dziewiętnaście, razy, dwadzieścia trzy., 2. Liczba dziewiętnaście tysięcy dziewięćset pięćdziesiąt, równa się, dwa, razy, trzy, razy, pięć, razy, pięć, razy, siedem, razy, dziewiętnaście oraz liczba dziewiętnaście tysięcy sto dwadzieścia pięć, równa się, trzy, razy, trzy, razy, pięć, razy, pięć, razy, pięć, razy, siedemnaście., 3. Liczba pięć tysięcy siedemset trzydzieści trzy, równa się, trzy, razy, trzy, razy, siedem, razy, siedem, razy, trzynaście oraz liczba dziewięćset dwadzieścia cztery, równa się, dwa, razy, dwa, razy, trzy, razy, siedem, razy, jedenaście. największy wspólny dzielnik, równa się, siedemdziesiąt pięć Możliwe odpowiedzi: 1. Liczba trzydzieści tysięcy trzydzieści, równa się, dwa, razy, trzy, razy, pięć, razy, siedem, razy, jedenaście, razy, trzynaście oraz liczba siedem tysięcy czterysta dwadzieścia dziewięć, równa się, siedemnaście, razy, dziewiętnaście, razy, dwadzieścia trzy., 2. Liczba dziewiętnaście tysięcy dziewięćset pięćdziesiąt, równa się, dwa, razy, trzy, razy, pięć, razy, pięć, razy, siedem, razy, dziewiętnaście oraz liczba dziewiętnaście tysięcy sto dwadzieścia pięć, równa się, trzy, razy, trzy, razy, pięć, razy, pięć, razy, pięć, razy, siedemnaście., 3. Liczba pięć tysięcy siedemset trzydzieści trzy, równa się, trzy, razy, trzy, razy, siedem, razy, siedem, razy, trzynaście oraz liczba dziewięćset dwadzieścia cztery, równa się, dwa, razy, dwa, razy, trzy, razy, siedem, razy, jedenaście. największy wspólny dzielnik, równa się, jeden Możliwe odpowiedzi: 1. Liczba trzydzieści tysięcy trzydzieści, równa się, dwa, razy, trzy, razy, pięć, razy, siedem, razy, jedenaście, razy, trzynaście oraz liczba siedem tysięcy czterysta dwadzieścia dziewięć, równa się, siedemnaście, razy, dziewiętnaście, razy, dwadzieścia trzy., 2. Liczba dziewiętnaście tysięcy dziewięćset pięćdziesiąt, równa się, dwa, razy, trzy, razy, pięć, razy, pięć, razy, siedem, razy, dziewiętnaście oraz liczba dziewiętnaście tysięcy sto dwadzieścia pięć, równa się, trzy, razy, trzy, razy, pięć, razy, pięć, razy, pięć, razy, siedemnaście., 3. Liczba pięć tysięcy siedemset trzydzieści trzy, równa się, trzy, razy, trzy, razy, siedem, razy, siedem, razy, trzynaście oraz liczba dziewięćset dwadzieścia cztery, równa się, dwa, razy, dwa, razy, trzy, razy, siedem, razy, jedenaście.

Ćwiczenie 2

R1HT1B6N994MB

R1ZK7LG6NF7EA

Ćwiczenie 3

Wyznacz największy wspólny dzielnik liczb, stosując rozkład na czynniki pierwsze.

a) $8820$ i $5082$

b) $1386$ , $4004$ i $2926$

RAUA95XT3HQBU

Ilustracja przedstawia dwa rozkłady różnych liczb na czynniki pierwsze rozpatrzone obok siebie. Pewne czynniki pierwsze wyróżnione są poprzez obrysowanie ich kółkiem. Po lewej stronie zapisana jest liczba rozkładana, a po prawej jej dzielnik. Między dzielną a jej dzielnikiem znajduje się pionowa kreska. Rozkład liczby jest zapisany w dwóch pionowych kolumnach oddzielonych od siebie pionową kreską. W lewej części ilustracji rozłożona jest na czynniki liczba osiem tysięcy osiemset dwadzieścia. Zapis jest następujący. Wiersz pierwszy od góry, lewa strona: osiem tysięcy osiemset dwadzieścia, pionowa kreska, po prawej liczba dwa. Wiersz drugi: po lewo liczba cztery tysiące czterysta dziesięć, pionowa kreska, po prawo liczba dwa otoczona kółkiem. W trzecim wierszu po lewo jest liczba dwa tysiące dwieście pięć, pionowa kreska i po prawo liczba pięć. W czwartym wierszu po lewo jest liczba czterysta czterdzieści jeden, kreska pionowa, po prawo liczba trzy otoczona kółkiem. Wiersz piąty: po lewo liczba sto czterdzieści siedem, kreska pionowa, po prawo liczba trzy . Wiersz szósty: po lewo liczba czterdzieści dziewięć, kreska pionowa, po prawo liczba siedem otoczona kółkiem. Wiersz siódmy: po lewo liczba siedem, kreska pionowa, po prawo liczba siedem. Wiersz ósmy: po lewo liczba jeden, kreska pionowa, po prawo puste miejsce. W prawej części ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba pięć tysięcy osiemdziesiąt dwa. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: po lewo liczba pięć tysięcy osiemdziesiąt dwa, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwa otoczona kółkiem. Wiersz drugi: po lewo liczba dwa tysiące pięćset czterdzieści jeden, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzy otoczona kółkiem. Wiersz trzeci: po lewo liczba osiemset czterdzieści siedem, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba jedenaście. Wiersz czwarty: po lewo liczba siedemdziesiąt siedem, pionowa kreska, po prawo liczba siedem otoczona kółkiem. Wiersz piąty: po lewo liczba jedenaście, pionowa kreska, po prawo liczba jedenaście. Wiersz szósty: po lewo liczba jeden, pionowa kreska, po prawo puste miejsce.

N W D (8820, 5082) = 42

R11H3BV36F3NX

Ilustracja przedstawia trzy rozkłady różnych liczb na czynniki pierwsze rozpatrzone obok siebie. Niekóre z czynników pierwszych wyróżnione są poprzez obrysowanie ich kółkami. Po lewej stronie zapisana jest liczba rozkładana, a po prawej jej dzielnik. Między dzielną a jej dzielnikiem znajduje się pionowa kreska. Rozkład liczby jest zapisany w dwóch pionowych kolumnach oddzielonych od siebie pionową kreską. W lewej części ilustracji rozłożona jest na czynniki liczba tysiąc trzysta osiemdziesiąt sześć. Wiersz pierwszy od góry, lewa strona: tysiąc trzysta osiemdziesiąt sześć, pionowa kreska, po prawej liczba dwa otoczona kółkiem. Drugi wiersz: po lewo liczba sześćset dziewięćdziesiąt trzy, dalej kreska pionowa i po prawo liczba trzy. W trzecim wierszu po lewo zapisano liczbę dwieście trzydzieści jeden, pionowa kreska, po prawo liczba trzy. W czwartym wierszu zapisano liczbę siedemdziesiąt siedem, kreska pionowa, po prawo jest liczba siedem otoczona kółkiem. Wiersz piąty: po lewo liczba jedenaście, kreska pionowa, po prawo liczba jedenaście otoczona kółkiem. Wiersz szósty: po lewo liczba jeden, kreska pionowa, po prawo puste miejsce. W środkowej części po lewej stronie ilustracji analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba cztery tysiące cztery. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: po lewo liczba cztery tysiące cztery, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwa otoczona kółkiem. Wiersz drugi: po lewo liczba dwa tysiące dwa, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwa. Wiersz trzeci: po lewo liczba tysiąc jeden, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba jedenaście otoczona kółkiem. Wiersz czwarty: po lewo liczba dziewięćdziesiąt jeden, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba siedem otoczona kółkiem. Wiersz piąty: po lewo liczba trzynaście, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba trzynaście. Wiersz szósty: po lewo liczba jeden, pionowa kreska, po prawo puste miejsce. Kolejna analogicznie rozłożona na czynniki jest liczba dwa tysiące dziewięćset dwadzieścia sześć. Jej rozkład jest następujący. Wiersz pierwszy: po lewo liczba dwa tysiące dziewięćset dwadzieścia sześć, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dwa otoczona kółkiem. Wiersz drugi: po lewo liczba tysiąc czterysta sześćdziesiąt trzy, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba jedenaście otoczona kółkiem. Wiersz trzeci: po lewo liczba sto trzydzieści trzy, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba siedem otoczona kółkiem. Wiersz czwarty: po lewo liczba dziewiętnaście, pionowa kreska, po prawo jej dzielnik liczba dziewiętnaście. Wiersz piąty: po lewo liczba jeden, pionowa kreska, po prawo puste miejsce.

N W D (1386, 4004, 2926) = 154

R1H7GZUFRQ6DL2

Ćwiczenie 4

Podane ułamki przedstaw w postaci nieskracalnej. Połącz w pary. początek ułamka, dwieście czterdzieści sześć, mianownik, trzysta sześćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, sto pięćdziesiąt sześć, mianownik, sto dziewięćdziesiąt pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, sto pięćdziesiąt cztery, mianownik, trzysta osiemdziesiąt pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, sto siedemdziesiąt jeden, mianownik, dwieście dwadzieścia osiem, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, pięćset dwadzieścia pięć, mianownik, osiemset siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt, mianownik, osiemset siedemdziesiąt pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, sto siedemdziesiąt jeden, mianownik, trzysta dziewięćdziesiąt dziewięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, czterysta dwadzieścia, mianownik, siedemset trzydzieści pięć, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, dwieście dziesięć, mianownik, dwieście dziewięćdziesiąt cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka początek ułamka, dwieście pięćdziesiąt dwa, mianownik, dwieście dziewięćdziesiąt cztery, koniec ułamka Możliwe odpowiedzi: 1. początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, 2. początek ułamka, trzy, mianownik, pięć, koniec ułamka, 3. początek ułamka, cztery, mianownik, siedem, koniec ułamka, 4. początek ułamka, trzy, mianownik, siedem, koniec ułamka, 5. początek ułamka, dwa, mianownik, siedem, koniec ułamka, 6. początek ułamka, cztery, mianownik, pięć, koniec ułamka, 7. początek ułamka, pięć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 8. początek ułamka, trzy, mianownik, cztery, koniec ułamka, 9. początek ułamka, sześć, mianownik, siedem, koniec ułamka, 10. początek ułamka, dwa, mianownik, pięć, koniec ułamka

RCT9SO7COSDZU2

Ćwiczenie 5

R14E3JV1EBKMM2

Ćwiczenie 6

R2GO4N3A9LOPD

Ćwiczenie 7

Ćwiczenie 8

Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność dla podanych par liczb.

RGSVVQX88O1MF

Ilustracja przedstawia dwa przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba trzydzieści podzielić przez 2 daje piętnaście podzielić przez 3 daje pięć podzielić przez 5 daje jeden. Liczba czterdzieści dwa podzielić przez 2 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden.

R1TQJ5K4FDXEF

Ilustracja przedstawia dwa przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba osiemdziesiąt cztery podzielić przez 2 daje czterdzieści dwa podzielić przez 2 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba trzydzieści podzielić przez 2 daje piętnaście podzielić przez 3 daje pięć podzielić przez 5 daje jeden.

R14AEPMSVNG37

Ilustracja przedstawia dwa przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba sto dwadzieścia sześć podzielić przez 2 daje sześćdziesiąt trzy podzielić przez 3 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba sto pięć podzielić przez 3 daje trzydzieści pięć podzielić przez 5 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden.

$N W W (30, 42) = N W W (2 \cdot 3 \cdot 5, 2 \cdot 3 \cdot 7) = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

$N W W (84, 30) = N W W (2^{2} \cdot 3 \cdot 7, 2 \cdot 3 \cdot 5) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7 \cdot 5$

$N W W (126, 105) = N W W (2 \cdot 3^{2} \cdot 7, 3 \cdot 5 \cdot 7) = 2 \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot 5$

$N W W (30, 42) = 210$

$N W W (84, 30) = 420$

$N W W (126, 105) = 630$

Ćwiczenie 9

Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność dla podanych zestawów liczb.

R1G1AMBFZ4BSL

Ilustracja przedstawia trzy przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba sto dziewięćdziesiąt sześć podzielić przez 2 daje dziewięćdziesiąt osiem podzielić przez 2 daje czterdzieści dziewięć podzielić przez 7 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba trzydzieści podzielić przez 2 daje piętnaście podzielić przez 3 daje pięć podzielić przez 5 daje jeden. Liczba czterdzieści dwa podzielić przez 2 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden.

RMG8QSU9PDOMB

Ilustracja przedstawia trzy przykłady rozkładu liczby na czynniki pierwsze: liczba sto pięć podzielić przez 3 daje trzydzieści pięć podzielić przez 5 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba osiemdziesiąt cztery podzielić przez 2 daje czterdzieści dwa podzielić przez 2 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden. Liczba sto dwadzieścia sześć podzielić przez 2 daje sześćdziesiąt trzy podzielić przez 3 daje dwadzieścia jeden podzielić przez 3 daje siedem podzielić przez 7 daje jeden.

$N W W (196, 30, 42) = N W W (2^{2} \cdot 7^{2}, 2 \cdot 3 \cdot 5, 2 \cdot 3 \cdot 7) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 7^{2} \cdot 5$

$N W W (105, 84, 126) = N W W (3 \cdot 5 \cdot 7, 2^{2} \cdot 3 \cdot 7, 2 \cdot 3^{2} \cdot 7) = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 7 \cdot 5$

$N W W (196, 30, 42) = 2940$

$N W W (105, 84, 126) = 1260$

R1F58P84MF8BL2

Ćwiczenie 10

R19K7A6L1KXEO2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Wykorzystując zależność między największym wspólnym dzielnikiem i najmniejszą wspólną wielokrotnością dwóch liczb naturalnych oraz algorytm Euklidesa, wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność dla podanych par liczb.

a) $96$ i $122$

b) $88$ i $120$

Wykorzystaj wzór:

N W W (a, b) = \frac{a \cdot b}{N W D (a, b)}

Stosujemy algorytm Euklidesa, aby wyznaczyć $N W D (96, 122)$ :

$122 = 1 \cdot 96 + 26$

$96 = 3 \cdot 26 + 18$

$26 = 1 \cdot 18 + 8$

$18 = 2 \cdot 8 + 2$

$8 = 4 \cdot 2 + 0$

Zatem $N W D (96, 122) = 2$ .

N W W (96, 122) = \frac{96 \cdot 122}{N W D (96, 122)} = \frac{11712}{2} = 5856

Stosujemy algorytm Euklidesa, aby wyznaczyć $N W D (88, 120)$ :

$120 = 1 \cdot 88 + 32$

$88 = 2 \cdot 32 + 24$

$32 = 1 \cdot 24 + 8$

$24 = 3 \cdot 8 + 0$

$N W D (88, 120) = 8$

N W W (88, 120) = \frac{88 \cdot 120}{N W D (88, 120)} = \frac{10560}{8} = 1320

R1TU8GJUD2VN22

Ćwiczenie 13

RQFV8Q3F2TN7X3

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb naturalnych jest równa $432$ , zaś ich największy wspólny dzielnik to $24$ .

Wyznacz te liczby.

Oznaczmy szukane liczby przez $x$ i $y$ .

Ponieważ $N W D (x, y) = 24$ , to liczby $x$ i $y$ są postaci $x = 24 a$ , $y = 24 b$ ,
gdzie:
$a$ , $b$ – są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi.

Wówczas $N W W (x, y) = 24 \cdot a \cdot b$ , zatem z treści zadania wynika równanie $24 \cdot a \cdot b = 432$ .

Po podzieleniu obu jego stron przez $24$ otrzymujemy równanie $a \cdot b = 18$ .

Zatem szukamy takich względnie pierwszych liczb naturalnych $a$ i $b$ , których iloczyn jest równy $18$ .

Warunki te spełniają pary $1$ i $18$ oraz $2$ i $9$ .

Dla tak wyznaczonych $a$ i $b$ mamy następujące pary liczb $x$ i $y$ : $24$ i $432$ oraz $48$ i $216$ .

Słownik

algorytm

skończony ciąg jasno zdefiniowanych operacji (czynności), które mają doprowadzić do rozwiązania konkretnego problemu, osiągnięcia wyznaczonego celu; cechą charakterystyczną jest jego powtarzalność i niezawodność w pewnych z góry zdefiniowanych warunkach; przy pewnych założeniach prowadzi niezawodnie (choć niekoniecznie optymalnie) od stanu $A$ do stanu $B$

największy wspólny dzielnik

największy wspólny dzielnik liczb naturalnych $a$ i $b$ to największa liczba naturalna dzieląca liczby $a$ i $b$ ; oznaczamy go przez $N W D (a, b)$ ; pojęcie można analogicznie zdefiniować dla dowolnie wielu liczb naturalnych

liczby względnie pierwsze

mówimy, że liczby naturalne $a$ i $b$ są względnie pierwsze, gdy ich największy wspólny dzielnik jest równy $1$ ; pojęcie można analogicznie zdefiniować dla dowolnie wielu liczb naturalnych

najmniejsza wspólna wielokrotność

najmniejszą wspólną wielokrotnością dodatnich liczb naturalnych $a$ i $b$ nazywamy najmniejszą dodatnią liczbę naturalną, która jest podzielna przez $a$ i przez $b$

6. Rozkład liczby na czynniki pierwsze

9*. Wiedza z plusem: Liczby pierwsze - zastosowania, ciekawostki