1. Przedziały liczbowe ograniczone. Działania na przedziałach.

Diagram Venna to schemat, służący ilustrowaniu zależności między zbiorami. Ma postać figur geometrycznych na płaszczyźnie. Zbiory przedstawia się zazwyczaj jako elipsy. Ułatwia to obserwację zależności między zbiorami i odczytanie wyników działań na zbiorach.

R1OA32MX5SVJS

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie w taki sposób, że każdy okrąg ma część wspólną z każdym innym okręgiem oraz wszystkie okręgi mają jednocześnie część wspólną. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: A, przecinek, B, przecinek, C. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany cały zbiór A oraz częśc wspólną zbiorów B i C. Zakreskowanie nakłada się tylko w części wspólnej wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: A suma zbiorów nawias, B iloczyn zbiorów C, zamknięcie nawiasu. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowane są: cały zbiór A oraz część wspólną zbiorów B i C. Poniżej umieszczono podpis: nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, iloczyn zbiorów nawias, A suma zbiorów C, zamknięcie nawiasu.

Najbardziej elementarnymi  działaniami na zbiorach są: suma, iloczyn, różnica i dopełnienie. Wykonując opisane w tym materiale działania na zbiorach, często będziemy posiłkować się rysunkami. Dzięki wykonanym rysunkom osi liczbowych znacznie łatwiej będzie Ci odczytać przedziały, które są sumą, iloczynem i różnicą podanych przedziałów.

W matematyce rozróżniamy różnego rodzaje zbiory. Jednym z kryteriów rozróżniania zbiorów jest ich liczebność. Przypomnijmy, że zapis $\left\{1,2,3\right\}$ oznacza zbiór, którego jedynymi elementami są liczby $1$, $2$ i $3$. Jest to przykład zbioru skończonego trzyelementowego. Omówiliśmy już też przykłady zbiorów o nieskończonej liczbie elementów, np. zbiór liczb naturalnych $\left\{0,1,2,3,4,5,6,7,...\right\}$. Innym przykładem zbiorów nieskończonych są przedziały.

Ogólnie mówiąc przedziałem nazywamy pewien podzbiór zbioru liczb rzeczywistych o nieskończenie wielu elementach, który zawiera wszystkie liczby z podanego zakresu.

W tej lekcji skupimy się na omówieniu przedziałów ograniczonych. Wyróżniamy cztery ich rodzaje. Ustalmy najpierw dwie liczby rzeczywiste $a$ i $b$, dla których zachodzi warunek $a<b$.

Przedziałem obustronnie domkniętym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a\le x\le b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału obustronnie domkniętego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in ⟨a, b⟩$.

Przedział obustronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że końce przedziału zaznaczamy wyraźnie zamalowanymi kółeczkami:

R1831QLV4COD7

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty a b, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie a oraz w punkcie odpowiadającym liczbie b zaznaczone są na osi zamalowane kropki, a część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem obustronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a<x<b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału obustronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left(a, b\right)$.

Przedział obustronnie otwarty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że końce przedziału zaznaczamy kółeczkami, które nie są zamalowane:

R711MKSGCO6DQ

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty a b, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie a oraz w punkcie odpowiadającym liczbie b zaznaczone są na osi niezamalowane kropki, a część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem prawostronnie domkniętym i lewostronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a<x\le b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału prawostronnie domkniętego i lewostronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left(a, b\right.⟩$.

Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że lewy koniec przedziału zaznaczamy kółeczkiem, które nie jest zamalowane, zaś prawy – kółeczkiem, które jest zamalowane:

R6AH3PNZRHGTF

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział lewostronnie otwarty a b, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie a zaznaczona jest niezamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie b kropka jest zamalowana. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedziałem lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym o końcach $a$ i $b$ nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$, które spełniają warunek $a\le x<b$. Fakt, że $x$ należy do przedziału lewostronnie domkniętego i prawostronnie otwartego o końcach $a$ i $b$ możemy zapisać następująco $x\in \left.⟨a, b\right)$.

Przedział prawostronnie otwarty i lewostronnie domknięty możemy zilustrować na osi liczbowej pamiętając o umowie, że prawy koniec przedziału zaznaczamy kółeczkiem, które nie jest zamalowane, zaś lewy – kółeczkiem, które jest zamalowane:

R1XD99XCVU97K

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział prawostronnie otwarty a b, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie a zaznaczona jest zamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie b kropka jest niezamalowana. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Zwróćmy jeszcze uwagę na pewne istotne rozróżnienie. Omawiane w tej lekcji przedziały z jednej strony są zbiorami nieskończonymi, co oznacza, że należy do nich nieskończenie wiele liczb, ale jednocześnie są zbiorami ograniczonymi. Mówimy, że zbiór $A$ jest ograniczony, jeśli istnieją liczby $m$ i $M$ takie, że dla każdego elementu $x$ zbioru $A$ zachodzą warunki $m\le x$ oraz $x\le M$. Liczbę m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru $A$, zaś liczbę $M$ - ograniczeniem górnym zbioru $M$. Widzimy zatem, że istnieją zbiory ograniczone i nieskończone jednocześnie. W następnych lekcjach poznasz przedziały nieograniczone.

Przykład 1

Przedział $⟨-2, 3⟩$ jest zbiorem wszystkich liczb większych lub równych $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $3$. Ten przedział liczbowyprzedział liczbowyprzedział liczbowy na osi można zilustrować następująco:

R3HVLUV79DKQH

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział obustronnie domknięty minus, dwa trzy, czyli w obu punktach zaznaczone są zamalowane kropki. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $\left(-2, 3\right)$ jest zbiorem wszystkich liczb większych od $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych od $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1FCGSOP6EUNO

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział obustronnie otwarty minus, dwa trzy, czyli w obu punktach zaznaczone są niezamalowane kropki. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $\left(-2, 3\right.⟩$ jest zbiorem wszystkich liczb większych od $\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych lub równych $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R1SDU4PJA3GK7

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział lewostronnie otwarty minus, dwa trzy, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie minus, dwa zaznaczona jest niezamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie trzy zaznaczona jest na osi zamalowana kropka. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Przedział $\left.⟨-2, 3\right)$ jest zbiorem wszystkich liczb większych lub równych$\left(-2\right)$ i jednocześnie mniejszych od $3$. Ten przedział na osi można zilustrować następująco:

R136GPXFJG4C2

Grafika przedstawia poziomą oś liczbową X, na której zaznaczony jest przedział prawostronnie otwarty minus, dwa trzy, czyli w punkcie odpowiadającym liczbie minus, dwa zaznaczona jest zamalowana kropka, a w punkcie odpowiadającym liczbie trzy zaznaczona jest na osi niezamalowana kropka. Część osi pomiędzy tymi liczbami jest wyróżniona, poprzez namalowanie nad nią grubej linii.

Działania na przedziałach

Poniżej przedstawiamy kilka różnych położeń dwóch przedziałów względem siebie i ich części wspólne:

1. Jeśli przedziały $A$ i $B$ nie mają żadnych wspólnych elementów, nazywamy je rozłącznymi. Zapiszemy wówczas, że ich iloczynem jest zbiór pusty: $A\cap B=\varnothing$

RBDOSDZ2PXMOU

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty niezamalowane: x oraz y oraz zamalowane: r oraz t. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: x, mniejszy niż, y, mniejszy niż, r, mniejszy niż, t. Między punktami x oraz y zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty A. Między punktami r oraz t zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór obustronnie domknięty B. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: A iloczyn zbiorów B, równa się, zbiór pusty.

RPZSB27572NG4

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: x oraz niezamalowane y oraz zet. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: x, mniejszy niż, y, mniejszy niż, zet. Między punktami x oraz y zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty A. Między punktami y oraz zet zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty B. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: A iloczyn zbiorów B, równa się, zbiór pusty.

2. Iloczyn dwóch przedziałów może być zbiorem jednoelementowym - przedziały mogą mieć wspólny koniec. Na ilustracji poniżej mamy $A\cap B=\left\{y\right\}$.

RCSAB6SOCXQ8Q

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt niezamalowany: x, punkt zamalowany y oraz niezamalowany zet. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: x, mniejszy niż, y, mniejszy niż, zet. Między punktami x oraz y zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty A. Między punktami y oraz zet zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty B. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: A iloczyn zbiorów B, równa się, nawias klamrowy, y, zamknięcie nawiasu klamrowego.

3. Iloczynem przedziałów może być przedział, do którego (zgodnie z definicją) należą tylko i wyłącznie liczby należące do każdego z rozważanych przedziałów:

R1L4Q1XA482KN

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty niezamalowane: x oraz r, dalej punkt zamalowany y oraz t. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: x, mniejszy niż, r, mniejszy niż, y, mniejszy niż, t. Między punktami x oraz y zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty A. Między punktami r oraz t zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty B. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: A iloczyn zbiorów B, równa się, nawias r, przecinek, y zamknięcie nawiasu ostrego.

Jeśli iloczyn dwóch przedziałów jest równy jednemu z nich, to mówimy, że jeden przedział zawiera się w drugim, co oznaczamy symbolem $\subset$. Na rysunku poniżej zilustrowano sytuację, w której przedział $A$ zawiera się w przedziale $B$: $A\cap B=A\iff A\subset B$. Dzieje się tak, jeśli każda liczba należąca do przedziału $A$ należy do przedziału $B$ (jednocześnie zwróćmy uwagę, że element przedziału $B$ może nie być elementem przedziału $A$).

R1A19A2XK979O

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: r, niezamalowany x, zamalowany y oraz niezamalowany t. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: r, mniejszy niż, x, mniejszy niż, y, mniejszy niż, t. Między punktami x oraz y zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty A. Między punktami r oraz t zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty B. Powyżej osi zapisany jest iloczyn obu zbiorów: A iloczyn zbiorów B, równa się, A.

Przykład 4

Dla podanych przedziałów $A$, $B$, $C$ wyznaczymy ich iloczyn $A\cap B\cap C$.

a) $A=\left(-6;2\right)$, $B=\left(-10;-2\right.⟩$, $C=\left(-1;5\right.⟩$
Aby rozwiązać zadanie, zilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

RLE7BAD6LSFB8

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: minus, dziesięć, średnik, minus, sześć, średnik, minus, jeden, średnik, dwa. Punkty zamalowane to: minus, dwa, średnik, pięć. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty A, równa się, nawias, minus, sześć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu. Przedział prawostronnie domknięty B, równa się, nawias, minus, dziesięć, przecinek, minus, dwa zamknięcie nawiasu ostrego. Przedział prawostronnie domknięty C, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, pięć zamknięcie nawiasu ostrego.

Łatwo zauważyć, że nie istnieje liczba należąca do wszystkich przedziałów, co oznacza, że ich część wspólna jest zbiorem pustym, co zapisujemy $A\cap B\cap C=\varnothing$.

b) $A=\left(-2;4\right.⟩$, $B=\left.⟨1;7\right)$, $C=\left(-5;1\right.⟩$
Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

R1MASZL8HOBZZ

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest pięć punktów. Punkty niezamalowane to: minus, pięć, średnik, minus, dwa, średnik, siedem. Punkty zamalowane to: jeden, średnik, cztery. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział prawostronnie domknięty A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, cztery zamknięcie nawiasu ostrego. Przedział lewostronnie domknięty B, równa się, nawias ostry jeden, przecinek, siedem zamknięcie nawiasu. Przedział prawostronnie domknięty C, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, jeden zamknięcie nawiasu ostrego.

Z ilustracji odczytujemy, że jedyną liczbą należącą do wszystkich przedziałów jest $1$. Zatem $A\cap B\cap C=\left\{1\right\}$.

c) $A=\left(-6;4\right)$, $B=\left.⟨-3;2\right)$,$C=\left(-5;-1\right)$

R3SF5SRDX7NTX

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: minus, sześć, przecinek, minus, pięć, przecinek, minus, jeden, przecinek, dwa, przecinek, cztery. Punkt zamalowany to: minus, trzy. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty A, równa się, nawias, minus, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu. Przedział lewostronnie domknięty B, równa się, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, dwa zamknięcie nawiasu. Przedział otwarty C, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.

Z rysunku możemy odczytać, że częścią wspólną wszystkich trzech przedziałów jest zbiór liczb większych lub równych $\left(-3\right)$ i jednocześnie mniejszych od $\left(-1\right)$. Zatem $A\cap B\cap C=\left.⟨-3;-1\right)$.

Poniżej przedstawiamy kilka możliwych położeń względem siebie dwóch przedziałów na osi liczbowej. W każdym przypadku wyznaczymy ich sumy.

1. Dla przedziałów $A$ i $B$ położonych jak poniżej, ich suma jest równa
   $A\cup B=\left(x;t\right)$.

   R1QG85U21PP2O

   Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkt niezamalowany: x, zamalowany zet, niezamalowane y oraz t. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: x, mniejszy niż, zet, mniejszy niż, y, mniejszy niż, t. Między punktami x oraz y zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty A. Między punktami zet oraz t zamalowano część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty B.

   

2. W drugim przypadku rozważamy przedziały, które mają jeden wspólny koniec. Wówczas suma zbiorówsuma zbiorów $A$ i $B$suma zbiorów to $A\cup B=\left(x;z\right)$. Zwróćmy uwagę, że liczba $y$ należy do przedziału $B$, więc należy również do sumy.

   R5ZTNVKHPASZR

   Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: x, zamalowany i niezamalowany jednocześnie y, co wyjaśnimy dalej, oraz niezamalowany zet. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: x, mniejszy niż, y, mniejszy niż, zet. Między punktami x oraz niezamalowanym y zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty A. Między punktami y zamalowanym oraz zet zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty B.

   

3. Rozważmy teraz przypadek, który subtelnie, acz istotnie różni się od poprzedniego. Tym razem rozważane przedziały również mają wspólny koniec $y$, ale nie należy on do żadnego z przedziałów $A$, $B$. Zatem nie należy też do sumy. Możemy zapisać $A\cup B=\left.⟨x;y\right)\cup \left(y;z\right.⟩$ lub użyć symbolu $\setminus$ oznaczającego odejmowanie zbiorów. Równoważnie możemy zapisać $A\cup B=⟨x;z⟩\setminus \left\{y\right\}$, co interpretujemy jako przedział z wyłączoną jedną liczbą - liczbą $y$.

   R1M1H8GQRJZC8

   Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są trzy punkty. Kolejno od lewej punkt zamalowany: x, niezamalowany y oraz zamalowany zet. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: x, mniejszy niż, y, mniejszy niż, zet. Między punktami x oraz y zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór lewostronnie domknięty A. Między punktami y oraz zet zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór prawostronnie domknięty B.

   

4. W ostatnim rozważanym przypadku sumę przedziałów również możemy zapisać na dwa sposoby. Pierwszy z nich to $A\cup B=⟨x;y⟩\cup \left(z;t\right)$. Drugi sposób ponownie wykorzystuje symbol różnicy zbiorów $A\cup B=\left.⟨x;t\right)\setminus \left(y;z\right.⟩$. Zapis ten akcentuje fakt, że z przedziału $\left.⟨x;t\right)$ “wyjmujemy” przedział $\left(y;z\right.⟩$.

   R196XVOOK25VE

   Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczone są cztery punkty. Kolejno od lewej punkty zamalowane: x oraz y oraz niezamalowane zet oraz t. Dla porządku dodajmy, że relacja między oznaczonymi na osi liczbami jest następująca: x, mniejszy niż, y, mniejszy niż, zet, mniejszy niż, t. Między punktami x oraz y zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór obustronnie domknięty A. Między punktami zet oraz t zaznaczono część osi, która opisana jest jako zbiór otwarty B.

   

Przykład 5

Wyznaczymy sumy dla trójek przedziałów z przykładu 1.
a) $A=\left(-6;2\right)$, $B=\left(-10;-2\right.⟩$, $C=\left(-1;5\right.⟩$.
Ponownie będziemy posługiwać się interpretacją przedziałów na osi liczbowej.

RPDT4TCDH6S8S

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: minus, dziesięć, średnik, minus, sześć, średnik, minus, jeden, średnik, dwa. Punkty zamalowane to: minus, dwa, średnik, pięć. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty A, równa się, nawias, minus, sześć, przecinek, dwa, zamknięcie nawiasu. Przedział prawostronnie domknięty B, równa się, nawias, minus, dziesięć, przecinek, minus, dwa zamknięcie nawiasu ostrego. Przedział prawostronnie domknięty C, równa się, nawias, minus, jeden, przecinek, pięć zamknięcie nawiasu ostrego.

Przypomnijmy, że liczba należy do sumy przedziałów dokładnie wtedy, gdy należy przynajmniej do jednego z nich. Zatem $A\cup B\cup C=\left(-10;5\right.⟩$.

b) $A=\left(-2;4\right.⟩$, $B=\left.⟨1;7\right)$, $C=\left(-5;1\right.⟩$.
Ponownie ilustrujemy przedziały na osi liczbowej.

R1PBK2SN92R8U

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest pięć punktów. Punkty niezamalowane to: minus, pięć, średnik, minus, dwa, średnik, siedem. Punkty zamalowane to: jeden, średnik, cztery. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział prawostronnie domknięty A, równa się, nawias, minus, dwa, przecinek, cztery zamknięcie nawiasu ostrego. Przedział lewostronnie domknięty B, równa się, nawias ostry jeden, przecinek, siedem zamknięcie nawiasu. Przedział prawostronnie domknięty C, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, jeden zamknięcie nawiasu ostrego.

Z ilustracji odczytujemy, że $A\cup B\cup C=\left(-5;7\right)$.

c) $A=\left(-6;4\right)$, $B=\left.⟨-3;2\right)$,$C=\left(-5;-1\right)$

R1LGJB8XOM6NN

Rysunek przedstawia poziomą oś X bez podziałki. Na osi zaznaczonych jest sześć punktów. Punkty niezamalowane to: minus, sześć, przecinek, minus, pięć, przecinek, minus, jeden, przecinek, dwa, przecinek, cztery. Punkt zamalowany to: minus, trzy. Na osi zaznaczono następujące przedziały: Przedział otwarty A, równa się, nawias, minus, sześć, przecinek, cztery, zamknięcie nawiasu. Przedział lewostronnie domknięty B, równa się, nawias ostry, minus, trzy, przecinek, dwa zamknięcie nawiasu. Przedział otwarty C, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, minus, jeden, zamknięcie nawiasu.

Z rysunku możemy odczytać, że $A\cup B\cup C=\left(-6;4\right)$. Zauważmy, że suma przedziałów $A$, $B$, $C$ jest równa przedziałowi $A$. Dzieje się tak dlatego, że przedziały $B$ i $C$ są zawarte w przedziale $A$, czyli $B\subset A$ oraz $C\subset A$.

Przykład 6

Wyznacz różnicę przedziałów $A\setminus B$, jeśli $A=\left(-2, 4\right)$ i $B=⟨2, 6⟩$.

Zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

RPJXPBSMXKCKN

Ilustracja przedstawia oś iks z wartościami od minus trzy do siedem. Od minus dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie otwarty A, od dwa do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty B.

Różnicę przedziałówróżnica przedziałów $A$ i $B$Różnicę przedziałów $A$ i $B$ tworzą liczby, które należą do przedziału $A$ i nie należą do przedziału $B$.

RDG38LH9SXHK7

Ilustracja przedstawia oś iks z wartościami od minus trzy do siedem. Od minus dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie otwarty A, od dwa do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty B. Od wartości minus dwa do dwa oznaczono przedział obustronnie otwarty opisany jako różnica zbiorów A i B.

A zatem $A\setminus B=\left(-2, 2\right)$.

Przykład 7

Wyznacz różnicę przedziałów $B\setminus A$, jeśli $A=\left(-2, 4\right)$ i $B=⟨2, 6⟩$.

Zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

RNOM9TMCHOLKE

Ilustracja przedstawia oś iks z wartościami od minus trzy do siedem. Od minus dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie otwarty A, od dwa do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty B.

Różnicę przedziałów $B$ i $A$ tworzą liczby, które należą do przedziału $B$ i nie należą do przedziału $A$.

RXGHBGF3S2LOJ

Ilustracja przedstawia oś iks z wartościami od minus trzy do siedem. Od minus dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie otwarty A, od dwa do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty B. Od wartości cztery do sześć oznaczono przedział obustronnie domknięty opisany jako różnica zbiorów B i A.

A zatem $B\setminus A=⟨4, 6⟩$.

Przykład 8

Wyznacz sumę i iloczyn i różnice zbiorów $A$ i $B$, jeśli $A=\left\{x\in \mathbf{ℝ}:x\ge 2 \mathrm{i} x\le 4\right\}$ i $B=\left\{x\in \mathbf{ℝ}:x>6 \mathrm{i} x<10\right\}$.

• Zapisujemy najpierw zbiory $A$ i $B$ w postaci przedziałów.

$$A=⟨2, 4⟩$$

$$B=\left(6, 8\right)$$

• Zaznaczamy podane przedziały na osi liczbowej.

RC44UQSEF8ZX2

Ilustracja przedstawia oś iks z opisanymi wartościami od jeden do dziewięć. Od dwa do cztery oznaczono przedział obustronnie domknięty A, od sześć do osiem oznaczono przedział obustronnie otwarty B.

• Korzystając z rysunku odczytujemy i zapisujemy zbiory:

$$A\cup B=⟨2, 4⟩\cup \left(6, 8\right)$$

$$A\cap B=\varnothing$$

$$A\setminus B=⟨2, 4⟩$$

$$B\setminus A=\left(6, 8\right)$$

Animacje multimedialne

Zapoznaj się z filmami samouczkami, w których omówione są przykłady wyznaczania części wspólnej (iloczynu) i sumy dwóch przedziałów:

RRUS6RLNJRCS9

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RRUS6RLNJRCS9

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej iloczynu przedziałów liczbowych.

R1OXJE2OSFKMX

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej sumy przedziałów liczbowych.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej sumy przedziałów liczbowych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1OXJE2OSFKMX

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącej sumy przedziałów liczbowych.

Zapoznaj się z filmem przedstawiającym sposoby wykonywania działań na przedziałach liczbowych ograniczonych. Zwróć uwagę na przedstawione w nim nierówności.

RMN6QC8ZZ19H3

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego działań na przedziałach liczbowych ograniczonych.

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego działań na przedziałach liczbowych ograniczonych.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/RMN6QC8ZZ19H3

Film nawiązujący do treści materiału dotyczącego działań na przedziałach liczbowych ograniczonych.

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

2

Ćwiczenie 11

Dane są przedziały $A=\left.⟨-2;3\right)$, $B=\left(-3;5\right.⟩$, $C=\left(-5;2\right.⟩$. Wyznacz zbiory:
a) $\left(A\cup B\right)\cap C$
b) $\left(A\cap B\right)\cup C$
c) $A\cup \left(B\cap C\right)$
d) $A\cap \left(B\cup C\right)$

Pokaż podpowiedź

Zaznacz na jednej osi wszystkie podane przedziały. Odczytaj rozwiązanie.

Pokaż rozwiązanie

Zacznijmy od zilustrowania przedziałów na osi liczbowej:

R1G8JHKK3RNX9

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu. Na osi zaznaczone są następujące przedziały: Przedział lewostronnie domknięty A, równa się, nawias ostry, minus, dwa, przecinek, trzy zamknięcie nawiasu. Przedział prawostronnie domknięty B, równa się, nawias, minus, trzy, przecinek, pięć zamknięcie nawiasu ostrego. Przedział prawostronnie domknięty C, równa się, nawias, minus, pięć, przecinek, dwa zamknięcie nawiasu ostrego.

a) $\left(A\cup B\right)\cap C=\left(-3;5\right.⟩\cap \left(-5;2\right.⟩=\left(-3;2\right.⟩$
b) $\left(A\cap B\right)\cup C=\left.⟨-2;3\right)\cup \left(-5;2\right.⟩=\left(-5;3\right)$
c) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left.⟨-2;3\right)\cup \left(-3;2\right.⟩=\left(-3;3\right)$
d) $A\cap \left(B\cup C\right)=\left.⟨-2;3\right)\cap \left(-5;5\right.⟩=\left.⟨-2;3\right)$

3

Ćwiczenie 22

Dane są przedziały $A$, $B$, $C$. W każdym przypadku wyznacz i porównaj zbiory $A\cup \left(B\cap C\right)$ i $\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$ oraz $A\cap \left(B\cup C\right)$ i $\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$.
a) $A=\left(-5;6\right.⟩$, $B=\left(-2;8\right)$, $C=⟨-1;7⟩$
b) $A=\left.⟨-4;4\right)$, $B=\left(5;7\right)$, $C=⟨0;6⟩$
Na podstawie przykładów postaw hipotezę dotyczącą własności sumy i iloczynu zbiorów.

Pokaż podpowiedź

W każdym z przypadków (i dla każdego z podpunktów) powinny zostać wyznaczone te same zbiory.

Pokaż rozwiązanie

1

a) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(-5;6\right.⟩\cup \left(-2;7\right.⟩=\left(-5;7\right.⟩$
$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)=\left(-5;8\right)\cap \left(-5;7\right.⟩=\left(-5;7\right.⟩$
$A\cap \left(B\cup C\right)=\left(-5;6\right.⟩\cap \left(-2;8\right)=\left(-2;6\right.⟩$
$\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)=\left(-2;6\right.⟩\cup ⟨-1;6⟩=\left(-2;6\right.⟩$

b) $A\cup \left(B\cap C\right)=\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;6\right.⟩$
$\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)=\left[\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;7\right)\right]\cap ⟨-4;6⟩=\left.⟨-4;4\right)\cup \left(5;6\right.⟩$
$A\cap \left(B\cup C\right)=\left.⟨-4;4\right)\cap \left.⟨0;7\right)=\left.⟨0;4\right)$
$\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)=\varnothing \cup \left.⟨0;4\right)=\left.⟨0;4\right)$

Na podstawie rozważanych przykładów możemy postawić hipotezę, że suma zbiorów jest rozdzielna względem ich iloczynu oraz iloczyn zbiorów jest rozdzielny względem ich sumy. Innymi słowy dla dowolnych zbiorów $A$, $B$, $C$ zachodzą równości $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$ oraz $A\cap \left(B\cup C\right)=\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap C\right)$. Formalne dowody tych własności wymagają zastosowania logiki matematycznej, ale możemy je zilustrować na diagramach Venna:

R1OA32MX5SVJS

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie w taki sposób, że każdy okrąg ma część wspólną z każdym innym okręgiem oraz wszystkie okręgi mają jednocześnie część wspólną. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: A, przecinek, B, przecinek, C. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany cały zbiór A oraz częśc wspólną zbiorów B i C. Zakreskowanie nakłada się tylko w części wspólnej wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: A suma zbiorów nawias, B iloczyn zbiorów C, zamknięcie nawiasu. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowane są: cały zbiór A oraz część wspólną zbiorów B i C. Poniżej umieszczono podpis: nawias, A suma zbiorów B, zamknięcie nawiasu, iloczyn zbiorów nawias, A suma zbiorów C, zamknięcie nawiasu.

Zauważ, że na każdym z diagramów został zamalowany ten sam obszar. Jest to argument za tym, że niezależnie od tego, jakie zbiory $A$, $B$, $C$ rozważymy, zawsze otrzymamy równość $A\cup \left(B\cap C\right)=\left(A\cup B\right)\cap \left(A\cup C\right)$.
Analogicznie dla drugiej równości:

R17OOHSXPCJ8Q

Rysunek składa się z dwóch części. Po obu stronach mamy diagramy Venna, czyli trzy okręgi nachodzące na siebie. Każdy okrąg reprezentuje jeden ze zbiorów: A, przecinek, B, przecinek, C. W lewej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowany wszystkie zbiory, przy czym podwójnie zakreskowana część jest częśćią wspólną zbiorów A i B oraz A i C. Poniżej umieszczono podpis: A iloczyn zbiorów nawias, B suma zbiorów C, zamknięcie nawiasu. W prawej części rysunku w diagramie Venna mamy zakreskowane części wspólne zbiorów A i B oraz A i C, przy czym podwójnie zakreskowane jest część wspólna wszystkich trzech zbiorów. Poniżej umieszczono podpis: nawias, A iloczyn zbiorów B, zamknięcie nawiasu, suma zbiorów nawias, A iloczyn zbiorów C, zamknięcie nawiasu.

Słownik