• Uzupełnisz wyrażeniami algebraicznymi dane w tekście, opisujące warunki zadania.

• Wybierzesz nierówności opisujące dany problem przedstawiony w zadaniu.

• Zapiszesz i rozwiążesz nierówności opisujące dane zależności.

Janek, wyjeżdżając na wycieczkę dostał pewną kwotę kieszonkowego. Pierwszego dnia wydał połowę tej kwoty, drugiego dnia trzecią część tego, co mu się zostało. Trzeciego dnia zauważył, że ma w portfelu nie więcej niż $20 \mathrm{zł}$.

Jaka jest maksymalna kwota kieszonkowego, którą mógł otrzymać Janek?

Rozwiązanie:

Przeprowadzimy najpierw analizę zadania:

$x$ – kwota kieszonkowego Jacka,
$\frac{1}{2}x$ – kwota pieniędzy, które Jacek wydał pierwszego dnia,
$\frac{1}{3} ·\frac{1}{2}x$ – kwota pieniędzy, które Jacek wydał drugiego dnia,
$20 \mathrm{zł}$ – maksymalna kwota, jaka została Jankowi w portfelu trzeciego dnia.

Zapiszemy teraz nierówność opisującą sytuację w zadaniu.

$x-\frac{x}{2}-\frac{1}{3}·\frac{1}{2}x\le 20$

$x-\frac{x}{2}-\frac{x}{6}\le 20$

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika i przekształcamy nierówności metodą nierówności równoważnych.

$\frac{6x}{6}-\frac{3x}{6}-\frac{x}{6}\le 20$

$\frac{2}{6}x\le 20$

$\frac{1}{3}x\le 20$

$x\le 60$

Czyli maksymalna kwota kieszonkowego Jacka to $60 \mathrm{zł}$.

Zosia na wycieczce wydała czwartą część swojego kieszonkowego i jeszcze $35 \mathrm{zł}$. Zostało jej nie więcej niż $55 \mathrm{zł}$.

Ile pieniędzy kieszonkowego mogła mieć Zosia?

Rozwiązanie:

Niech:

$x$ – oznacza kwotę pieniędzy kieszonkowego Zosi,

$\frac{1}{4}x+35$ – pieniądze wydane przez Zosię na wycieczce.

Zatem możemy ułożyć nierówność, którą rozwiążemy metodą nierówności równoważnychnierówności równoważnenierówności równoważnych.

$x-\left(\frac{1}{4}x+35\right)\le 55$

$x-\frac{1}{4}x-35\le 55$

$\frac{3}{4}x\le 90 |:\frac{3}{4}$

$x\le 120$

Oznacza to, że Zosia miała nie więcej niż $120 \mathrm{zł}$ kieszonkowego. Nie mogła jednak wydać więcej pieniędzy, niż wynosiło jej kieszonkowe. Należy zatem zapisać jeszcze nierówność:

$x\ge \frac{1}{4}x+35$

$x-\frac{1}{4}x\ge 35$

$\frac{3}{4}x\ge 35 |:\frac{3}{4}$

$x\ge 46\frac{2}{3}$

Zatem Zosia miała nie mniej niż $46\frac{2}{3} \mathrm{zł}$ i nie więcej niż $120 \mathrm{zł}$ kieszonkowego.

Niedaleko muzeum znajdują się dwa parkingi. Na parkingu $A$ za pierwszą godzinę parkowania pobiera się opłatę $6 \mathrm{zł}$, a za każdą następną godzinę $3,40 \mathrm{zł}$. Na parkingu $B$ za pierwszą godzinę płaci się $4 \mathrm{zł}$ i $4,20 \mathrm{zł}$ za każdą następną godzinę. Ile co najmniej godzin parkował samochód na parkingu $A$, jeżeli wiadomo, że za tę samą liczbę godzin na parkingu $B$ zapłaciłby więcej?

Rozwiązanie:

Niech:

$6 \mathrm{zł}$ – opłata stała za pierwszą godzinę postoju na parkingu $A$,

$3,40 \mathrm{zł}$ – opłata za każdą godzinę postoju na parkingu $A$, poza pierwszą godziną,

$4 \mathrm{zł}$ – opłata stała za pierwszą godzinę postoju na parkingu $B$,

$4,20 \mathrm{zł}$ – opłata za każdą godzinę postoju na parkingu $B$, poza pierwszą godziną,

$n$ – liczba godzin postoju samochodu na parkingu $A$, za które zapłacono $3,40 \mathrm{zł}$ za godzinę.

Zapiszemy nierówność opisującą warunki zadania.

$6+3,40·n<4+4,20·n$

Rozwiążemy nierówność metodą nierówności równoważnych. Przenosimy niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą stronę nierówności.

Pamiętamy o zmianie znaku na przeciwny.

$3,4n-4,2n<4-6$

$-0,8n<-2$

Dzielimy obie strony nierówności przez $\left(-0,8\right)$ i zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

$-0,8n<-2 |:\left(-0,8\right)$

$n>\frac{-2}{-0,8}$

$n>2,5$

Ponieważ samochód zatrzymał się na parkingu $A$ jeszcze przez pierwszą godzinę w cenie $6 \mathrm{zł}$, zatem

$n+1>3,5$

Odpowiedź:

Samochód na parkingu $A$ parkował co najmniej $4$ godziny.

Dane są odcinki o długości $x$, $\left(x+1\right)$ i $\left(x+4\right)$. Jaką długość może mieć odcinek o długości $x$, aby z podanych odcinków można było zbudować trójkąt?

Najpierw przypomnimy sobie jaki warunek musi zachodzić, aby z trzech dowolnych odcinków można było zbudować trójkąt.

Aby z trzech odcinków można było zbudować trójkąt, suma dwóch dowolnych boków trójkąta musi być większa od długości trzeciego boku.

Z treści zadania wiemy, że bok $x+4$ jest najdłuższy, więc możemy zapisać nierówność trójkąta dla danych odcinków.

Następnie od obu stron nierówności odejmujemy $x$.

Od obu stron nierówności odejmujemy $1$.

Zatem, aby z trzech danych odcinków można było zbudować trójkąt najkrótszy z nich musi być dłuższy niż $3$.

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których iloczyn przedziałówiloczyn zbiorów $A$ i $B$iloczyn przedziałów $\left(-2;2m-1\right)$ oraz $\left(m+3;10\right)$ jest zbiorem niepustym.

Do rozwiązania zadania możesz użyć apletu. Używając suwaka, zmieniaj wartości parametru $m$ i obserwuj położenie przedziałów na osi liczbowej.

RS77CJR66NP5G

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DAR3G2GQU

Zadanie można też rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym:
$2m-1>-2$ oraz $m+3<10$.

Zadanie można rozwiązać algebraicznie. Najpierw zapiszemy warunki, dzięki którym żaden z przedziałów nie będzie zbiorem pustym:
$2m-1>-2$ oraz $m+3<10$.

Aby te warunki rozwiązać, do obu stron pierwszej nierówności dodamy $1$ i podzielimy przez $2$:

$2m-1>-2$

$2m-1+1>-2+1$

$2m>-1$

$\frac{2m}{2}>\frac{-1}{2}$

$m>-\frac{1}{2}$.

Ponadto od obu stron drugiej nierówności odejmujemy $3$:

$m+3<10$

$m+3-3<10-3$

$m<7$.

Z obu nierówności wynika, że $m$ należy do przedziału $\left(-\frac{1}{2};7\right)$. Dla $m$ z tego przedziału żaden z rozważanych przedziałów nie jest pusty. Teraz zapiszemy warunek gwarantujący, że iloczyn przedziałów nie jest pusty:
$2m-1>m+3$

Aby go rozwiązać, do obu stron nierówności dodajemy liczbę $1$, a następnie odejmujemy $m$:

$2m-1+1>m+3+1$

$2m>m+4$

$2m-m>m+4-m$

$m>4$.

Zatem mamy dwa warunki do uwzględnienia: $m\in \left(-\frac{1}{2};7\right)$ oraz $m>4$. Rozwiązaniem zadania jest przedział $\left(4;7\right)$.

nierówności, które posiadają taki sam zbiór rozwiązań