1. Procenty

R1N47V5FHVNOM

Bank udzielając klientowi pożyczki (kredytu), zobowiązuje go do zwrócenia pożyczonej kwoty powiększonej o kwotę, zwaną odsetkami, stanowiącą wynagrodzenie należne bankowi. Kredyt zaciągany jest na określony cel oraz określony czas. Czas spłaty kredytu liczony może być w dniach, miesiącach, latach.

R1F514TSV16681

Obraz przedstawia mężczyznę w holenderskim stroju szesnastowiecznym, który siedzi przy stole i waży złoto. Bankier trzyma w ręku wagę. Obok bankiera przy stole siedzi kobieta i przewraca karty księgi. Pochyla głowę w stronę męża, a jej wzrok jest skierowany na szale z monetami. Bankier przysuwa wagę w stronę żony, tak jakby pytał ją o radę. Kobieta, przytrzymując palcami kartkę księgi, by nie zgubić czytanego fragmentu, przygląda się zajęciu męża z obojętnością. — Quentin Massys
Bankier z żoną (znany też jako Lichwiarz i jego żona)
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Odsetki zależą od wysokości kredytu, czasu na jaki kredyt został zaciągnięty i od stopy procentowej, określanej najczęściej w procentach.

Kredyt spłacany jest w ratach. Rata jest sumą odsetek i raty kapitałowej, otrzymanej w wyniku podzielnia długu przez liczbę rat.

Pobieranie wysokich odsetek od pożyczek pieniężnych, nazywane jest lichwą. W międzywojennej Polsce za lichwiarstwo uważano oprocentowanie pożyczki powyżej $10 %$ . Obecnie w Polsce obowiązuje ustawa, określająca maksymalną wysokość pobieranych odsetek.

Twoje cele

Obliczysz procent danej liczby.
Wyznaczysz liczbę, gdy dany jest jej procent.
Wykonasz obliczenia procentowe z kontekstem realistycznym.
Obliczysz jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.
Wykonasz obliczenia procentowe z kontekstem realistycznym.

Obliczanie procentu danej liczby

Przykład 1

Pan Tadeusz zaciągnął w banku kredyt w wysokości $25000 zł$ . Po roku będzie musiał spłacić kredyt wraz z odsetkami, wynoszącymi $12 %$ pożyczonej kwoty. Ile pieniędzy będzie musiał pan Tadeusz wpłacić do banku?

Rozwiązanie:

Obliczymy najpierw kwotę odsetek, czyli $12 %$ z $25000 zł$ .

Zamieniamy procent na ułamek.

$12 % = \frac{12}{100}$

Obliczamy ułamek liczby $25000$ .

$\frac{12}{100} \cdot 25000 = 3000$

Kwota, którą pan Tadeusz będzie musiał wpłacić do banku jest sumą kwoty pożyczonej i odsetek.

$25000 zł + 3000 zł = 28000 zł$

Odpowiedź:

Pan Tadeusz będzie musiał wpłacić do banku $28000 zł$ .

Przykład 2

Pani Ela zaciągnęła kredyt mieszkaniowy w wysokości $60000 zł$ . Będzie musiała spłacić całą pożyczoną kwotę wraz z naliczonymi jednorazowo odsetkami w wysokości $4 %$ . Kredyt będzie spłacić w $8$ równych ratach. Obliczymy wysokość jednej raty.

Rozwiązanie:

Zamieniamy procent na ułamek.

$4 % = 0, 04$

Obliczamy o ile złotych będzie większa kwota, którą pani Ela ma spłacić od kwoty pożyczonej.

$0, 04 \cdot 60000 zł = 2400 zł$

Obliczamy wysokość kwoty, którą musi spłacić pani Ela.

$60000 zł + 2400 zł = 62400 zł$

Obliczamy kwotę raty.

$\frac{62400}{8} zł = 7800 zł$

Odpowiedź:

Wysokość jednej raty będzie wynosiła $7800 zł$ .

Obliczając kwotę odsetek od zaciągniętego kredytu, obliczaliśmy procent danej liczbyprocent danej liczbyprocent danej liczby. W tym celu zapisywaliśmy procent w postaci ułamka i mnożyliśmy przez daną liczbę. W takich obliczeniach procent możemy zamieniać na ułamek zwykły lub dziesiętny.

Ważne!

Aby obliczyć $p %$ liczby $a$ należy obliczyć $\frac{p}{100} \cdot a$ .

Przykład 3

Obliczymy $2, 5 %$ liczby $6$ .

Zamieniamy procent na ułamek.

$2, 5 % = \frac{2, 5}{100} = 0, 025$

Mnożymy ułamek przez liczbę.

$0, 025 \cdot 6 = 0, 15$

Odpowiedź:

$2, 5 %$ liczby 6 wynosi $0, 15$ .

Przykład 4

W lutym buty kosztowały $180 zł$ . Cenę butów obniżono w marcu o $10 %$ . W kwietniu cenę tych butów obniżono ponownie, tym razem o $20 %$ . Obliczymy o ile złotych buty były tańsze w maju niż w lutym.

Jeśli cenę butów w marcu obniżono o $10 %$ , to nowa cena butów jest równa $90 %$ ceny lutowej.

$0, 90 \cdot 180 = 162$

Czyli cena butów w marcu była równa $162 zł$ .

Cenę butów w kwietniu obliczono o $20 %$ , czyli cena ta była równa $80 %$ ceny marcowej.

$0, 80 \cdot 162 = 129, 60$

Obliczamy o ile złotych buty były tańsze w maju niż w lutym.

$180 - 129, 60 = 50, 40$

Odpowiedź:

W maju buty były o $50, 40 zł$ tańsze niż w lutym.

Wyznaczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Podatek to obowiązkowe świadczenie pobierane najczęściej przez państwo, wykorzystywane na potrzeby realizacji zadań publicznych. Podatkami były obciążone niektóre grupy ludności już w starożytnym Egipcie.

W dawnej Polsce szlachta była zwolniona z wielu podatków. Obecnie najpowszechniejszy podatek to podatek dochodowy. Podstawą opodatkowania jest dochód.

RLFC6RQBXXXDX

Ilustracja przedstawia czterech mężczyzn stojących obok siebie. Są ubrani w różne stroje i nakrycia głowy. Pierwszy z nich ubrany jest w czerwone szaty z płaszczem - peleryną zapinanym na szyi. Drugi ma krótsze szaty, sięgające do kolana i wysokie buty oficerki. Na szyi ma zapiętą peleryną a w ręku trzyma buławę. Trzeci ma na sobie czarne szaty, pelerynę i kapelusz. Czwarty ma na sobie czarne szaty o mniejszy kapelusz. Piąty ma na sobie pomarańczowe szaty, zbroję i pelerynę ze skóry lamparta. Na głowie ma hełm z piórem. — Stroje męskie polskiej szlachty, XVII wiek
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Warto więc poznać niektóre sposoby obliczeń związanych z podatkami (i nie tylko), prowadzące do wyznaczenia liczby na podstawie danego jej procentu.

Przykład 5

Po odliczeniu osiemnastoprocentowego podatku dochodowego, wynagrodzenie pani Sylwii wynosi $3280 zł$ . Obliczymy od jakiej kwoty został naliczony ten podatek.

Rozwiązanie:

Od wynagrodzenia brutto pobierany jest osiemnastoprocentowy podatek, czyli otrzymane wynagrodzenie stanowi $100 % - 18 % = 82 %$ wynagrodzenia brutto.

Należy więc znaleźć liczbę, której $82 %$ jest równe $3280$ .

I sposób:

Korzystamy z własności proporcji.

$82 %$ szukanej liczby to $3280$

$1 %$ szukanej liczby to $\frac{3280}{82} = 40$

$100 %$ szukanej liczby to $40 \cdot 100 = 4000$

Odpowiedź:

Podatek został obliczony od kwoty $4000 zł$ .

II sposób:

Oznaczmy: $x$ – szukana liczba.

Zapisujemy procent w postaci ułamka.

$82 % = \frac{82}{100}$

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

$\frac{82}{100} x = 3280$

$x = \frac{3280 \cdot 100}{82}$

$x = 4000$

Odpowiedź:

Podatek został naliczony od kwoty $4000 zł$ .

Przykład 6

Znajdziemy liczbę, której $4 %$ wynosi $12$ .

I sposób:

Korzystamy z własności proporcji.

$4 %$ szukanej liczby to $12$

$1 %$ szukanej liczby to $\frac{12}{4} = 3$

$100 %$ szukanej liczby to $3 \cdot 100 = 300$

Odpowiedź:

Szukana liczba to $300$ .

II sposób:

Układamy i rozwiązujemy odpowiednie równanie.

Oznaczmy: $x$ – szukana liczba.

$0,04 \cdot x = 12$

$x = \frac{12}{0,04}$

$x = 300$

Odpowiedź:

Szukana liczba to $300$ .

III sposób:

Zamieniamy procent na ułamek i szukamy liczby, której danym ułamkiem jest $12$ .

$4 % = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$

$\frac{1}{25}$ szukanej liczby to $12$ .

Szukana liczba jest więc $25$ razy większa od $12$ .

$25 \cdot 12 = 300$

Odpowiedź:

Szukana liczba to $300$ .

W obu przykładach należało znaleźć liczbę, gdy znany był jej procent. Można w tym celu wykorzystać jeden z trzech sposobów:

obliczyć $1 %$ szukanej liczby, a następnie znaleźć jej $100 %$ ,
zamienić procent na ułamek i obliczyć całość,
przyjąć za niewiadomą szukaną liczbę i rozwiązać odpowiednie równanie.

W praktyce najczęściej znajdując liczbę na podstawie danego jej procentu, rozwiązujemy odpowiednie równanie.

Ważne!

Jeśli $p %$ liczby $x$ jest równe $a$ , to:

\frac{p}{100} \cdot x = a

czyli

x = \frac{100 \cdot a}{p}

Aby obliczyć liczbę na podstawie danego jej procentuobliczyć liczbę na podstawie danego jej procentu, należy dany procent zamienić na ułamek, a następnie daną liczbę podzielić przez ten ułamek.

Przykład 7

Pani Ewelina zaciągnęła w banku kredyt na rok. Odsetki od kredytu wynosiły $15 %$ w skali roku. Po roku pani Ewelina wpłaciła do banku $9200 zł$ . Na jaką kwotę pani Ewelina zaciągnęła pożyczkę?

Rozwiązanie:

Kwota $9200 zł$ jest sumą zaciągniętej pożyczki i odsetek, stanowi więc ona $100 % + 15 % = 115 %$ kredytu.

Zapiszemy i rozwiążemy odpowiednie równanie.

Oznaczamy: $x$ – szukana kwota.

$1,15 x = 9200$

$x = \frac{9200}{1,15}$

$x = 8000$

Odpowiedź:

Pani Ewelina zaciągnęła kredyt w wysokości $8000 zł$ .

Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

W Polsce każdy obywatel uzyskujący dochody, ma obowiązek złożyć roczne zeznanie podatkowe, na podstawie którego obliczany jest podatek dochodowy.

Również od ceny towarów i usług naliczany jest podatek, zwany podatkiem VAT (ang.– Value Added Tax). Obliczany jest według określonej stawki, jako procent ceny.

Cena towaru lub usługi nie zawierająca podatku VAT to cena netto.

Cena brutto to cena wraz z podatkiem VAT.

Przy okazji obliczania stawki podatku VAT, pokażemy jak można wykorzystać procenty do wyrażania stosunku dwóch wielkości, z których jedna jest częścią drugiej. W szczególności, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba.

Przykład 8

Cena książki bez podatku VATVATVAT jest równa $120 zł$ , a z podatkiem VAT wynosi $126 zł$ .

R12H9LHLSBEP8

Ilustracja przedstawia książkę o cenie sto dwadzieścia sześć złotych.

Obliczymy, ile wynosi stawka podatku VAT.

I sposób:

Cena netto książki jest równa $120 zł$ , a brutto $126 zł$ .

Obliczamy różnicę między ceną brutto, a ceną netto książki, czyli wartość podatku VAT.

$126 zł - 120 zł = 6 zł$

Podatek VAT stanowi $\frac{6}{120}$ ceny netto książki. Zamieniamy ten ułamek na procent, czyli określamy jakim procentem ceny netto jest wartość podatku VATVATVAT.

$\frac{6}{120} \cdot 100 % = 0,05 \cdot 100 % = 5 %$

Stawka podatku VAT wynosi więc $5 %$ .

II sposób:

Cena brutto książki stanowi $\frac{126}{120}$ ceny netto. Zamieniamy ten ułamek na procent.

$\frac{126}{120} \cdot 100 % = 105 %$

Cena brutto wynosi $105 %$ ceny netto, co oznacza, że stawka podatku VAT wynosi $5 %$ .

Ważne!

Aby znaleźć stawkę podatku VAT, należało obliczyć jakim procentem jednej liczby jest druga liczba. W tym celu ustalaliśmy jakim ułamkiem jednej liczby jest druga liczba i zamienialiśmy ten ułamek na procent.

Przykład 9

Obliczymy, jakim procentem liczby $50$ jest liczba $10$ .

Zapisujemy jakim ułamkiem liczby $50$ jest liczba $10$ .

$\frac{10}{50} = \frac{1}{5}$

Zamieniamy otrzymany ułamek na procenty.

$\frac{1}{5} \cdot 100 % = 20 %$

Odpowiedź:

Liczba $10$ to $20 %$ liczby $50$ .

Ważne!

Aby obliczyć jakim procentem liczby $b$ jest liczba $a$ , ułamek $\frac{a}{b}$ mnożymy przez $100 %$ .

Umiejętność określania, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, jest pomocna w przypadku porównywania uzyskanych wyników.

Przykład 10

Franek i Janek brali udział w turnieju tenisowym. Uzyskane przez chłopców wyniki przedstawione są na diagramie. Określimy, który z chłopców lepiej wypadł w rozgrywkach.

RKB7JPZSD1TBC

Ilustracja do ćwiczenia przedstawia wykres słupkowy poziomy. Słupki reprezentują ilości wygranych, przegranych i zremisowanych meczów: Janek wygrał dziewięć meczów, podczas gdy Franek dwanaście. Janek przegrał trzy mecze, a Franek przegrał osiem. Żaden z chłopców nie ma na swoim koncie remisu.

Z wykresu odczytujemy, że Janek wygrał $9$ meczów, a Franek aż $12$ . Wydawać się więc może, że to Franek lepiej wypadł w rozgrywkach, jednak łączna liczba rozegranych meczów przez zawodników jest różna. Porównania wyników dokonamy więc za pomocą procentów.

Janek rozegrał $9 + 3 = 12$ meczów, z czego wygrał $9$ .

Obliczamy, jakim procentem liczby wszystkich rozegranych przez Janka meczów, jest liczba wygranych meczów.

$\frac{9}{12} \cdot 100 % = 0,75 \cdot 100 % = 75 %$

Franek rozegrał $12 + 8 = 20$ meczów, z czego wygrał $12$ . Obliczamy, jakim procentem liczby wszystkich rozegranych przez Franka meczów, jest liczba wygranych meczów.

$\frac{12}{20} \cdot 100 % = 0,6 \cdot 100 % = 60 %$

Okazuje się, że większy procent wygranych meczów ma Janek, zatem on lepiej wypadł w rozgrywkach.

Odpowiedź:

Lepiej w rozgrywkach wypadł Janek.

Przykład 11

Według danych statystycznych w $2000$ r. przeciętne trwanie życia dla kobiet wynosiło $78$ lat, a dla mężczyzn $70$ lat. W porównaniu do roku $2000$ czas trwania życia w $2020$ r. wydłużył się i wynosił dla kobiet $82$ lata, a dla mężczyzn $74$ lata. Obliczymy o ile procent w latach $2000 - 2020$ wydłużył się czas trwania życia kobiet i mężczyzn.

Aby obliczyć o ile procent pierwsza wielkość jest większa od drugiej, należy obliczyć jakim procentem drugiej wielkości jest różnica między pierwszą a drugą wielkością.

Czas trwania życia kobiet zwiększył się o $82 - 78 = 4$ lata.

Zapisujemy jakim ułamkiem liczby $78$ określającej przeciętne trwanie życia kobiet w $2000$ r. jest liczba $4$ i zamieniamy otrzymany ułamek na procenty.

$\frac{4}{78} \cdot 100 % \approx 5 %$

W podobny sposób obliczamy o ile procent zwiększył się czas trwania życia mężczyzn.

$\frac{74 - 70}{70} \cdot 100 % \approx 6 %$

Odpowiedź:

W porównaniu do roku $2000$ czas trwania życia kobiet w $2020$ r. wydłużył się o około $5 %$ , a mężczyzn o około $6 %$ .

Animacje multimedialne

Spróbuj najpierw samodzielnie rozwiązać zadania przedstawione w animacji, a następnie porównaj rozwiązania.

R3V1GO5V8GSQL

RJAVLTN8DU2XP

Polecenie 1

O ile $0, 4 %$ liczby $20$ jest mniejsze od połowy tej liczby.

$0, 4 %$ liczby $20$ to $0, 004 \cdot 20 = 0, 08$ .

Połowa liczby $20$ to $10$ .

$10 - 0, 08 = 9, 92$

Polecenie 2

Znajdź $20 %$ liczby, której $40 %$ to $8$ .

$0,4 x = 8$

$x = 20$

$0,2 \cdot 20 = 4$

Polecenie 3

Na grządce rosły $32$ stokrotki i $128$ bratków.

Oblicz, jakim procentem wszystkich kwiatów są bratki. I ile procent liczba stokrotek jest mniejsza od liczby bratków?

$32 + 128 = 160$ – liczba wszystkich kwiatów

$\frac{128}{160} \cdot 100 % = 80 %$

Liczba bratków to $80 %$ wszystkich kwiatów.

$128 - 32 = 96$

$\frac{96}{128} \cdot 100 % = 75 %$

Liczba stokrotek jest o $75 %$ mniejsza od liczby bratków.

Polecenie 4

Ułóż matematycznego węża. Staraj się obliczać w pamięci.

R71MKKO712LPQ

Wskaż poprawną odpowiedź.

RB78SJFKB6D63

R1RZKNHPAE4V9

R1CA78DCX8GA5

Zestaw ćwiczeń multimedialnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

R7FH6PAXN6E911

Ćwiczenie 1

R19DVCRDUKHLK1

Ćwiczenie 2

R1G8C918B7QEN2

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Cukier spożywczy najczęściej produkuje się z buraków cukrowych lub trzciny cukrowej. W tabelce zapisano zawartość cukru w obu tych roślinach.

Nazwa produktu	Burak cukrowy	Trzcina cukrowa
Zawartość cukru	$18, 5 %$	$20 %$

REZTH8A1HKF55

R1JN15VPJ5TD72

Ćwiczenie 5

Ćwiczenie 6

W ankiecie dostępnej online zapytano użytkowników Internetu czy uważają się za zwolenników psów czy kotów. Na ankietę odpowiedziało $150$ osób. Wyniki ankiety przedstawiono na diagramie.

R1DRP9BDSDXDV

R1UD83TH4L7HD

Ćwiczenie 7

Pole powierzchni ogródka pana Leona jest równe $1480 m^{2}$ . Czwartą część ogródka pan Leon obsiał pietruszką, na $\frac{1}{3}$ pozostałej części zasadził sadzonki truskawek, a $45 %$ pozostałej części obsiał marchewką.

R15AVAEDBQ7CL

Ćwiczenie 8

Wiadomo, że $25 %$ liczby $x$ jest równe $40 %$ liczby $y$ . Oblicz $\frac{x}{y}$ .

$0, 25 x = 0, 40 y$

$\frac{x}{y} = \frac{0, 40}{0, 25} = 1, 6$

R41QEP9VQDPC11

Ćwiczenie 9

RVTO8XQ2AKVMM1

Ćwiczenie 10

RJ1MF2HKLJB6Q2

Ćwiczenie 11

RV5TJAL5V9G6H2

Ćwiczenie 12

R1X7TGZ636X5O2

Ćwiczenie 13

RXZOP6CM55LQC2

Ćwiczenie 14

Ćwiczenie 15

W czwartek pan $A$ $40 %$ swojego wolnego czasu, czyli $1, 5$ godziny, poświęcił na układanie swojej kolekcji motyli. Przez $24 %$ czasu wolnego plotkował przez telefon, a przez resztę czasu wyglądał przez okno. Ile czasu wolnego miał tego dnia pan $A$ ? Ile minut wyglądał przez okno?

$x$ – czas wolny w godzinach

$0,4 x = 1,5$

$x = 3,75$

$40 % + 24 % = 64 %$

$100 % - 64 % = 36 %$

$0,36 \cdot 3,75 = 1,35$

$1,35 h = 81 \min$

Ćwiczenie 16

Mieszkańców pewnego bloku zapytano Co robisz, aby szybko zasnąć? Wyniki przedstawiono na diagramie procentowym.

R127L66DN1LSN

Okazało się, że $64$ osoby przyznały się, że aby szybko zasnąć rozwiązują krzyżówkę.

a) Ile osób, aby szybko zasnąć liczy niebieskie migdały?

b) O ile więcej osób ogląda telewizję niż rozwiązuje krzyżówkę?

c) Tylko $6$ osób z naszego bloku nie udzieliło odpowiedzi na pytanie ankiety. Ile wszystkich osób mieszka w naszym bloku?

$10 % \cdot x = 64$

$x = 640$ – tyle osób odpowiedziało na pytanie,

$70 % \cdot 640 = 448$ – tyle osób liczy niebieskie migdały,

$20 % \cdot 640 = 128$

$128 - 64 = 64$

$640 + 6 = 646$

RK2JL54LTFXD61

Ćwiczenie 17

RRA9VK4Z1UN2K1

Ćwiczenie 18

RUV6HJSS9G6RH1

Ćwiczenie 19

R8G5SLZQ53JTV1

Ćwiczenie 20

RXTHQ7QCXG8KU1

Ćwiczenie 21

R1PKGA6PU81O12

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Oblicz jakim procentem liczby $a$ jest liczba $b$ , jeśli $a = \frac{16^{12} + 8^{16}}{2^{5} \cdot 4^{21}}$ , $b = \frac{81^{6} + 27^{8}}{9^{11}}$ .

Zacznij od zapisania wszystkich liczb w postaci potęg liczb $2$ i $3$ .

$a = \frac{16^{12} + 8^{16}}{2^{5} \cdot 4^{21}} = \frac{{(2^{4})}^{12} + {(2^{3})}^{16}}{2^{5} \cdot {(2^{2})}^{21}} = \frac{2^{48} + 2^{48}}{2^{5} \cdot 2^{42}} = \frac{2 \cdot 2^{48}}{2^{47}} = \frac{2^{49}}{2^{47}} = 2^{2} = 4$

$b = \frac{81^{6} + 27^{8}}{9^{11}} = \frac{{(3^{4})}^{6} + {(3^{3})}^{8}}{{(3^{2})}^{11}} = \frac{3^{24} + 3^{24}}{3^{22}} = \frac{2 \cdot 3^{24}}{3^{22}} = 2 \cdot 3^{2} = 18$

$\frac{18}{4} = 4,5$

$4,5 \cdot 100 % = 450 %$

Liczba $b$ stanowi $450 %$ liczby $a$ .

Ćwiczenie 24

Oblicz jakim procentem liczby $a$ jest liczba $b$ , jeśli $a = \frac{{(\frac{1}{3})}^{13} \cdot {(\frac{1}{2})}^{16}}{12 \cdot {(\frac{1}{6})}^{15} + 6^{- 14}}$ , $b = \frac{5^{- 21} + 5^{- 18}}{3^{2} \cdot 125^{- 7}}$ .

Oblicz wartość ilorazu $\frac{a}{b}$ , a następnie zapisz go w procentach.

$a = \frac{{(\frac{1}{3})}^{13} \cdot {(\frac{1}{2})}^{16}}{12 \cdot {(\frac{1}{6})}^{15} + 6^{- 14}} = \frac{{(3^{- 1})}^{13} \cdot {(2^{- 1})}^{16}}{12 \cdot {(6^{- 1})}^{15} + 6^{- 14}} = \frac{3^{- 13} \cdot 2^{- 16}}{2 \cdot 6 \cdot 6^{- 15} + 6^{- 14}} = \frac{3^{- 13} \cdot 2^{- 13} \cdot 2^{- 3}}{2 \cdot 6^{- 14} + 6^{- 14}} = \frac{6^{- 13} \cdot 2^{- 3}}{3 \cdot 6^{- 14}} =$
$= \frac{2^{- 3}}{3 \cdot 6^{- 1}} = \frac{\frac{1}{8}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{4}$

$b = \frac{5^{- 21} + 5^{- 18}}{3^{2} \cdot 125^{- 7}} = \frac{5^{- 3} \cdot 5^{- 18} + 5^{- 18}}{3^{2} \cdot {(5^{3})}^{- 7}} = \frac{(5^{- 3} + 1) 5^{- 18}}{3^{2} \cdot 5^{- 21}} = \frac{5^{- 3} + 1}{3^{2} \cdot 5^{- 3}} = \frac{\frac{1}{125} + 1}{\frac{9}{125}} = \frac{126}{125} \cdot \frac{125}{9} = 14$

$\frac{14}{0,25} = 56$

$56 \cdot 100 % = 5600 %$

Liczba $b$ stanowi $5600 %$ liczby $a$ .

RA1ODOB247TQ22

Ćwiczenie 25

RUCCUXX9DP35P2

Ćwiczenie 26

Ćwiczenie 27

W tabelce zapisano ile godzin w ciągu doby śpią niektóre z dzikich zwierząt.

Zwierzę	Liczba godzin snu w ciągu doby
Słoń	$2$
Żyrafa	$4$
Kot	$12$
Pies	$10$

RHB6UNPZ8D153

R1HKFRFZTJMPN3

Ćwiczenie 28

RJKODNJAX5NBX3

Ćwiczenie 29

RKXHA1Q7HX9JU3

Ćwiczenie 30

Ćwiczenie 31

Cenę telewizora w maju obniżono o $20 %$ , a we wrześniu podwyższono nową cenę o $30 %$ . Jakim procentem ceny kwietniowej jest październikowa cena telewizora?

Jeżeli $x$ – cena telewizora przed podwyżką (w $zł$ ), $y$ – cena telewizora po obniżce (w $zł$ ), $k$ – końcowa cena telewizora (w $zł$ ), to:

y = 0, 8 x, k = 1, 3 y

$x$ – cena telewizora przed podwyżką (w $zł$ )

$1, 3 \cdot 0, 8 x = 1, 04 x$

Cena październikowa to $104 %$ ceny kwietniowej.

Ćwiczenie 32

Edward, aby zakwalifikować się do konkursu Mister Mokrego Podkoszulka musi zdobyć co najmniej $40 %$ liczby punktów możliwych do zdobycia w każdej z dwóch konkurencji. W pierwszej konkurencji Turlanie z wydm zdobył $30$ na $50$ możliwych punktów. W drugiej konkurencji Chodzenie boso po śliskich kamieniach zdobył $2$ na $5$ możliwych punktów. Czy Edward zakwalifikował się do konkursu?

Zapisz wartości ilorazów $\frac{30}{50}$ i $\frac{2}{5}$ w procentach.

$\frac{30}{50} \cdot 100 % = 60 %$

$\frac{2}{5} \cdot 100 % = 40 %$

Edward zakwalifikował się do konkursu.

Słownik

procent danej liczby

obliczamy mnożąc daną liczbę przez procent zapisany w postaci ułamka

obliczanie liczby na podstawie danego jej procentu

polega na zamianie danego procentu na ułamek i podzieleniu danej liczby przez ten ułamek

VAT

(ang. value‑added tax) to podatek od wartości dodanej; jest typem pośredniego, powszechnego podatku obrotowego, który obciąża ostatecznego nabywcę towaru i zawarty jest w jego cenie zakupu

2. Punkty procentowe

Procenty

1. Procenty

Obliczanie procentu danej liczby

Wyznaczanie liczby, gdy dany jest jej procent

Obliczanie jakim procentem jednej liczby jest druga liczba

Animacje multimedialne

Zestaw ćwiczeń multimedialnych

Słownik