3. Zastosowanie procentów - rabaty, lokaty i pożyczki - Procenty

RR6Q5HSHB7AME

3. Zastosowanie procentów - rabaty, lokaty i pożyczki

Słowo bank pochodzi od włoskiego banco oznaczającego kontuar, przy którym dokonywano transakcji pieniężnych.

Bank zajmuje się między innymi udzielaniem pożyczek i kredytów oraz przyjmowaniem wkładów pieniężnych.

Stopa procentowa to kwota, jaka przysługuje posiadaczowi kapitału z racji udostępnienia go innym na określony czas. Najczęściej wyrażana jest w procentach. Stopy procentowe w ciągu ostatnich lat ulegały w wielu krajach znacznym wahaniom.

Na przykład stopa funduszy federalnych w Rezerwie Federalnej w Stanach Zjednoczonych w latach $1954 - 2008$ wahała się między $0, 25 %$ a $19 %$ .

Stopa bazowa Banku Anglii w latach $1989 - 2009$ wahała się między $0, 5 %$ a $15 %$ .

R1J8GQRC22DR8

Zdjęcie przedstawia Bank of England, z angielskiego dosłownie Bank Anglii. Budynek jest biały, ma kilka pięter i zbudowany jest w stylu neoklasycystycznym. Przy wejściu stoją kilkumetrowe kolumny, nad wejściem widnieje taras, na poziomie którego znajdują się kilkumetrowej wysokości rzeźby. Na kolejnym piętrze jest dużych rozmiarów balkon, z balustradą, którą przecina sześć par kolumn. — Bank of England
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Twoje cele

Wykonasz obliczenia pieniężne.
Zastosujesz obliczenia procentowe w sytuacjach praktycznych.
Określisz wzór na obliczanie wysokości odsetek od lokat oraz kredytów.
Zastosujesz pojęcie raty równej i raty malejącej do obliczania kosztów kredytu.
Obliczysz odsetki od kapitału złożonego na procent prosty.
Zastosujesz obliczenia procentowe w sytuacjach praktycznych.

Podwyżki i obniżki pieniężne

Często w sklepach widzimy informacje zawiadamiające o obniżkach, bądź podwyżkach cen towarów. Dobrze jest więc umieć obliczyć cenę towaru po zmianie.

Przykład 1

Obliczymy cenę drukarki po obniżce.

R1GZNHMRGG1T6

Ilustracja przedstawia drukarkę. Drukarka jest przedmiotem promocji, w ramach której każdy produkt oferowany jest trzydzieści procent taniej. drukarka jest wyceniona na dwieście czterdzieści złotych.

I sposób:

Obniżka ceny o $30 %$ oznacza, że nowa cena stanowi $100 % - 30 % = 70 %$ początkowej ceny.

Należy więc obliczyć $70 %$ liczby $240$ .

Obliczamy cenę drukarki po obniżce

$0, 7 \cdot 240 zł = 168 zł$

II sposób:

Cena drukarki po obniżce jest równa różnicy ceny przed obniżką i kwoty obniżki początkowej ceny.

Obliczamy kwotę obniżki

$0, 3 \cdot 240 zł = 72 zł$

Obliczamy cenę drukarki po obniżce

$240 zł - 72 zł = 168 zł$

Odpowiedź:

Drukarka po obniżce kosztuje $168 zł$ .

Przykład 2

Przed pierwszym dniem wiosny podwyższono cenę każdej z peleryn dla dynamicznych o $24 zł$ .

R1BCRUFDGAZQ3

Ilustracja zawiera dwie peleryny. Cena peleryny w kolorze szarym wzrosła z dziewięćdziesięciu sześciu złotych na sto dwadzieścia złotych, natomiast cena peleryny niebieskiej wzrosła ze stu dwudziestu złotych na sto czterdzieści cztery złote.

Obliczymy, cenę której z peleryn – szarej czy niebieskiej podwyższono o większy procent.

I sposób:

Cenę każdej z peleryn podwyższono o $24 zł$ . Aby określić procent podwyżki, obliczymy jakim procentem liczb odpowiednio $96$ i $120$ jest liczba $24$ .

$\frac{24}{96} \cdot 100 % = 25 %$

$\frac{24}{120} \cdot 100 % = 20 %$

II sposób:

Obliczymy w każdym przypadku jakim procentem ceny przed podwyżką jest cena po podwyżce.

$\frac{120}{96} \cdot 100 % = 125 %$

$\frac{144}{120} \cdot 100 % = 120 %$

W przypadku peleryny szarej cena po podwyżce jest o $25 %$ wyższa od ceny przed podwyżką, a w przypadku peleryny niebieskiej – o $20 %$ .

Zatem o większy procent podwyższono cenę szarej peleryny.

Odpowiedź:

O większy procent podwyższono cenę szarej peleryny.

Kupując jednorazowo większą ilość towaru klient może w wielu sklepach liczyć na zniżkę od ustalonej ceny, oznaczoną procentowo lub kwotowo, zwaną rabatem lub upustem. RabatrabatRabat może mieć też charakter sezonowy. Z obniżki cen mogą skorzystać wszyscy nabywcy, którzy dokonają zakupów w określonym czasie. Dzięki rabatom sezonowym, zwiększa się zwykle sprzedaż określonego towaru, co pozwala sklepom na zminimalizowanie np. kosztów przechowywania towarów.

Przykład 3

Pewna cukiernia z okazji Tłustego Czwartku udziela rabatu w wysokości $8 %$ przy zakupie każdych $4$ opakowań z pączkami. Jeden pączek kosztuje $2, 50 zł$ . Pączki pakowane są po $6$ sztuk. Justyna kupiła $30$ pączków. Ile zapłaciła?

Rozwiązanie:

Pączki pakowane są po $6$ sztuk.

Zatem Justyna kupiła $\frac{30}{6} = 5$ opakowań z pączkami.

Za jedno opakowanie z pączkami trzeba zapłacić $6 \cdot 2,50 = 15$ złotych.

Za zakup $4$ opakowań uzyskała $8$ –procentowy rabatrabatrabat, piąte opakowanie kupiła bez zniżki, zatem zapłaciła:

$4 \cdot (15 - 0,08 \cdot 15) + 1 \cdot 15 = 4 \cdot 13,80 + 15 = 55,20 + 15 = 70,20$

Odpowiedź:

Justyna zapłaciła $70,20 zł$ .

Cena hurtowa to cena za jaką producent sprzedaje swoje wyroby masowym odbiorcom.
Cena detaliczna to cena obowiązująca w sklepie dla pojedynczego klienta.
Cena detaliczna jest zwykle większa od hurtowej. Zysk sklepu to najczęściej różnica między ceną hurtową, a detaliczną.

Przykład 4

Cena hurtowa maszyny do szycia wynosi $5100 zł$ . W sklepie taką maszynę można kupić za $6630 zł$ . O ile procent cena detaliczna jest większa od hurtowej?

$\frac{6630}{5100} \cdot 100 % = 130 %$

Cena detaliczna jest o $30 %$ większa od hurtowej.

Oprocentowanie lokat i kredytów

Lokata bankowa jest jednym z najbezpieczniejszych sposobów pomnażania środków pieniężnych. Idea lokaty polega na tym, że klient wpłaca na wybraną lokatę określoną kwotę pieniędzy na określony czas, a następnie na koniec tego okresu bank przekazuje klientowi wpłacone fundusze, powiększone o należne odsetki. Odwrotną sytuacją jest kredyt. Wtedy dawcą jest bank, a biorcą jest klient, który po upływie ustalonego czasu oddaje do banku określoną kwotę pieniędzy, przy czym dopłaca należne bankowi prowizje oraz odsetki. Poniżej omówimy, jak obliczać odsetki od lokat i kredytów przy użyciu pojęcia procentu.

Lokaty bankowe

Lokatą bankową nazywamy umowę z bankiem, na mocy której bank przyjmuje na określony z góry czas kapitał inwestora, a po zakończeniu trwania umowy zwraca kapitał powiększony o zysk, który nazywa się odsetkami.

W obecnym systemie bankowym uzyskane odsetki pomniejsza się o należny podatek.

Z pojęciem lokaty związana jest kapitalizacja odsetek.

Kapitalizacją odsetek nazywa się powiększanie kapitału poprzez dopisanie odsetek, które zostały wypracowane przez ten kapitał.

Okresem kapitalizacji nazywamy czas, po którym następuje dopisanie odsetek do kapitału.

Do obliczania wartości kapitału otrzymanego po upływie okresu trwania lokaty, możemy skorzystać z prostego wzoru.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$K_{0}$ – kapitał początkowy,

$K_{n}$ – kapitał końcowy po $n$ latach,

$n$ – liczba lat depozytu,

$r$ – roczna stopa procentowa.

Jeśli kapitalizacja odsetekkapitalizacja odsetekkapitalizacja odsetek odbywa się jeden raz w roku, to:

K_{n} = K_{0} \cdot {(1 + \frac{r}{100})}^{n}

Na wysokość kapitału w kolejnych latach ma wpływ to, czy odsetki naliczone po kapitalizacji zostają:

wypłacone po roku trwania lokaty,

dopisane do kolejnego roku trwania lokaty.

Przykład 5

Pani Anka wpłaciła do banku na roczną lokatę $6000 zł$ z oprocentowaniem rocznym $2, 5 %$ . Obliczymy jaką kwotę odbierze pani Anka po roku oszczędzania (uwzględnimy $19 %$ podatek od odsetek).

Rozwiązanie:

Obliczamy kwotę odsetek.

$0,025 \cdot 6000 = 150 (zł)$

Obliczamy kwotę odsetek, po odliczeniu podatku.

$0,81 \cdot 150 = 121,50 (zł)$

Pani Anka otrzyma po roku oszczędzania kwotę równą sumie kwoty wpłaconej i kwoty odsetek (po odliczeniu podatku).

$6000 zł + 121, 50 zł = 6121, 50 zł$

Odpowiedź:

Po roku oszczędzania pani Anka odbierze $6121, 50 zł$ .

Przykład 6

Pan Leon wpłacił do banku swoją trzynastą pensję na roczną lokatę z oprocentowaniem $3 %$ . Po roku bank dopisał panu Leonowi $321 zł$ odsetek. Obliczymy, jaką kwotę wpłacił do banku pan Leon.

Rozwiązanie:

Aby obliczyć kwotę, jaką wpłacił do banku pan Leon, ułożymy i rozwiążemy odpowiednie równanie.

Oznaczmy przez $x$ kwotę wpłaconą do banku przez pana Leona (w $zł$ ).

Odsetki stanowią $3 %$ wpłaconej kwoty, są więc równe $0,03 x zł$ , a zarazem wynoszą $321 zł$ .

$0,03 x = 321$

$x = \frac{321}{0,03} = 10700$

Odpowiedź:

Pan Leon wpłacił do banku $10700 zł$ .

Kredyty

Kredytem bankowym nazywamy pisemną umowę pomiędzy kredytodawcą (bankiem) a kredytobiorcą (klientem), na podstawie której kredytodawca udostępnia określoną kwotę pieniędzy, a obowiązkiem kredytobiorcy jest zwrot kredytu w ustalonym okresie wraz z odsetkami.

Do kosztów kredytu zalicza się:

odsetki – ich wysokość jest wyznaczona przez oprocentowanie stałe lub zmienne,

prowizja – opłata pobierana przez bank w zamian za udzielenie kredytu,

ubezpieczenie, w formie polisy, które chroni kredytobiorcę np. w razie utraty pracy,

dodatkowe opłaty – koszty, które uwzględniają na przykład opłatę za rozpatrzenie wniosku.

Oprocentowanie kredytu jest określane w stosunku rocznym, zaś raty kredytu płacone są miesięcznie.

Rata kredytu obejmuje dwa elementy: część kapitałową i odsetki. Istnieje możliwość wyboru jednego z dwóch rodzajów rat:

raty równe – przez cały okres spłaty zobowiązania ich wysokość będzie taka sama, zmieniać się będzie jedynie proporcja pomiędzy poszczególnymi elementami,

raty malejące – kwota kapitału jest przez cały czas na jednym poziomie, zmienia się tylko wysokość odsetek, a sama rata będzie malała wraz z upływem czasu.

Wysokość raty równej obliczamy ze wzoru:

I = \frac{N \cdot r}{k \cdot (1 - {(\frac{k}{k + r})}^{n})}

gdzie:

$I$ – wysokość raty równej,

$N$ – kwota udzielonego kredytu,

$r$ – oprocentowanie kredytu w skali roku,

$k$ – liczba rat płatnych w ciągu roku,

$n$ – liczba rat.

Wysokość raty malejącej w pierwszym miesiącu obliczamy ze wzoru:

I = \frac{N}{n} + N \cdot \frac{r}{100 k}

przy czym w kolejnych miesiącach kwotę udzielonego kredytu pomniejsza się o zapłacone raty.

W poniższych przykładach omówimy, w jaki sposób obliczyć odsetki od lokaty oraz wysokość rat równych i malejących w przypadku kredytu.

Przykład 7

Na roczną lokatę bankową wpłacono kwotę $50000 zł$ przy rocznym oprocentowaniu $1, 8 %$ . Obliczymy, ile odsetekodsetkiodsetek otrzymamy z tej lokaty, jeżeli podatek od odsetek wynosi $19 %$ .

Rozwiązanie:

Z treści zadania mamy następujące dane:

$K_{0} = 50000 zł$

$r = 1, 8 %$

$n = 1$

Zatem

$K_{1} = 50000 \cdot (1 + \frac{1, 8}{100}) = 50900$

$i = 50900 - 50000 = 900$

Po odjęciu podatku od odsetek w wysokości $19 %$ otrzymujemy kwotę:

$81 % \cdot 900 = 729$

Wobec tego po upływie roku otrzymamy kwotę odsetek $729 zł$ .

Przykład 8

Obliczymy wysokość drugiej raty kredytu udzielonego na kwotę $36000 zł$ na okres dwóch lat, przy rocznym oprocentowaniu kredytu $4 %$ , jeżeli raty miesięczne są malejące.

Rozwiązanie:

Z zadania mamy następujące dane:

$N = 36000 zł$

$k = 12$

$n = 24$

$r = 4 %$

Wysokość raty $I_{1}$ w pierwszym miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{1} = \frac{N}{n} + N \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{36000}{24} + 36000 \cdot \frac{4}{100 \cdot 12} = 1500 + 120 = 1620$

Wysokość raty $I_{2}$ w drugim miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{2} = \frac{N}{n} + (N - \frac{N}{n}) \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{36000}{24} + 34500 \cdot \frac{4}{100 \cdot 12} =$

$= 1500 + 115 = 1615$

Przykład 9

Obliczymy wysokość raty równej, kredytu udzielonego na kwotę $80000 zł$ na okres $5$ lat, jeżeli raty są spłacane miesięcznie, a roczna stopa procentowa wynosi $5 %$ .

Rozwiązanie:

Z zadania mamy następujące dane:

$N = 80000 zł$

$k = 12$

$n = 60$

$r = 5 %$

Do obliczenia raty kredytu wykorzystamy wzór:

$I = \frac{N \cdot r}{k \cdot (1 - {(\frac{k}{k + r})}^{n})}$

Zatem:

$I = \frac{80000 \cdot \frac{5}{100}}{12 \cdot (1 - {(\frac{12}{12 + \frac{5}{100}})}^{60})} \approx 1509, 70$

Można łatwo sprawdzić, że kapitał spłacony po upływie okresu kredytu jest zbliżony do kwoty, jaką otrzymalibyśmy z lokaty na ten sam okres i przy tym samym oprocentowaniu.

Przykład 10

Połowę kwoty $4000 zł$ złożono na lokatę roczną w banku $I$ , a drugą połowę w banku $II$ . Wiadomo, że odsetki uzyskane po roku w banku $I$ były o $30 zł$ wyższe niż odsetki uzyskane w banku $II$ . Obliczymy, o ile punktów procentowych oprocentowanie lokaty w banku $I$ było wyższe od oprocentowania w banku $II$ .

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$p$ – oprocentowanie lokaty w banku $I$ ,

$r$ – oprocentowanie lokaty w banku $II$ .

Wobec tego odsetki uzyskane w bankach wynoszą odpowiednio:

w banku $I$ : $2000 \cdot p$

w banku $II$ : $2000 \cdot r$

Ponieważ odsetki uzyskane po roku w banku $I$ były o $30 zł$ wyższe niż odsetki uzyskane w banku $II$ , zatem zachodzi zależność:

$2000 \cdot \frac{p}{100} = 2000 \cdot \frac{r}{100} + 30$

$2000 \cdot \frac{p}{100} - 2000 \cdot \frac{r}{100} = 30$

$2000 \cdot (p - r) = 3000$

$p - r = \frac{3000}{2000} = 1, 5$

$p = r + 1, 5$

Zatem oprocentowanie w pierwszym banku było większe niż oprocentowanie w drugim banku o $1, 5$ punktu procentowego.

Przykład 11

Kwotę $20000 zł$ podzielono na dwie części. Jedną część wpłacono do banku $I$ na lokatę roczną oprocentowaną $2 %$ w skali roku. Drugą część wpłacono do banku $II$ na lokatę roczną oprocentowaną $1 %$ w skali roku. W każdym z banków od naliczonych odsetek pobrano podatek w wysokości $19 %$ . Obliczymy, jaką kwotę wpłacono do każdego z banków, jeżeli po roku otrzymano $226, 80 zł$ odsetek.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – kwota wpłacona do banku $I$ ,

$20000 - x$ – kwota wpłacona do banku $II$ ,

$r_{1} = 2 %$ ,

$r_{2} = 1 %$ .

Po odliczeniu $19 %$ podatku od odsetek kapitał uzyskany po roku z banku $I$ wynosi:

$x \cdot (1 + \frac{2}{100} \cdot \frac{81}{100})$

Po odliczeniu $19 %$ podatku od odsetek kapitał uzyskany po roku z banku $II$ wynosi:

$(20000 - x) \cdot (1 + \frac{1}{100} \cdot \frac{81}{100})$

Łączny kapitał uzyskany po roku z obu banków wynosi $20226, 80 zł$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $x$ rozwiązujemy równanie:

$x \cdot (1 + \frac{2}{100} \cdot \frac{81}{100}) + (20000 - x) \cdot (1 + \frac{1}{100} \cdot \frac{81}{100}) = 20226, 8$

Z równania otrzymujemy, że

$x = 8000$ , zatem:

$20000 - x = 20000 - 8000 = 12000$

Wobec tego do banku $I$ wpłacono kwotę $8000 zł$ , zaś do banku $II$ wpłacono kwotę $12000 zł$ .

Procent prosty

Dowiesz się co to jest procent prosty i w jaki sposób można szybko obliczyć kwotę należnych odsetek od kapitału złożonego na taki procent.

Procent prostyprocent prostyProcent prosty to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego, polegający na tym, że dochód w postaci odsetek od wkładu początkowego jest wyznaczony proporcjonalnie od długości okresu oprocentowania. Odsetki nie są doliczane do wkładu (nie podlegają kapitalizacji) i nie procentują wraz z włożonym kapitałem w następnych okresach rozliczeniowych.

Ważne!

Wzór na procent prosty

Oznaczmy:

$K$ – kapitał początkowy,

$n$ – czas lokaty w latach,

$\frac{p}{100}$ – roczna stopa procentowa,

$K_{n}$ – kapitał końcowy po $n$ latach oszczędzania.

Kapitał $K_{n}$ można obliczyć ze wzoru:

K_{n} = K \cdot (1 + \frac{n \cdot p}{100})

W poniższych przykładach będziemy korzystać właśnie z powyższego wzoru, nie uwzględniając podatku od odsetek.

Przykład 12

Pan Adam wpłacił do banku na rok 36000 zł z rocznym oprocentowaniem w wysokości 0,25%. Obliczymy, jaką kwotę odsetek uzyska na koniec okresu oszczędzania.

Obliczymy najpierw końcową kwotę, którą uzyska pan Adam na koniec okresu oszczędzania (nie uwzględniamy podatku od odsetek).

Skorzystamy z podanego wyżej wzoru. W rozważanym przypadku, kapitał został złożony w banku na rok, czyli $n = 1$ .

$K = 36000 zł$

$\frac{p}{100} = \frac{0,25}{100} = 0,0025$

$K_{1} = 36000 \cdot (1 + 1 \cdot 0,0025)$

$K_{1} = 36000 \cdot 1,0025$

$K_{1} = 36090 zł$

$36090 - 36000 = 90$

Odpowiedź:

Pan Adam uzyska $90 zł$ odsetek.

Przykład 13

Kwotę $20000 zł$ wpłacono na $5 -$ letnią lokatę z rocznym oprocentowaniem $8 %$ . Znajdź wartość lokaty na koniec okresu oszczędzania.

$K = 20000 zł$

$\frac{p}{100} = \frac{8}{100}$

$n = 5$

$K_{5} = 20000 \cdot (1 + 5 \cdot 0,08)$

$K_{5} = 20 000 \cdot 1,4$

$K_{5} = 28000$

Odpowiedź:

Wartość lokaty na koniec okresu oszczędzania wyniesie $28000 zł$ .

Wzór na procent prostyprocent prostyprocent prosty wykorzystamy do obliczenia długości okresu oszczędzania, po którym od złożonego kapitału zostaną naliczone odsetki danej wysokości.

Przykład 14

Kwotę $45200 zł$ wpłacono na lokatę z rocznym oprocentowaniem $1, 5 %$ . Obliczymy, po ilu latach odsetki od kapitału wyniosą $3390 zł$ .

Obliczymy najpierw wysokość kapitału końcowego. Jest on równy sumie kapitału początkowego i kwoty odsetek.

$K_{n} = 45200 + 3390$

Ustalamy dane i szukane.

$K_{n} = 48590 zł$

$\frac{p}{100} = \frac{1,5}{100} = 0,015$

$K = 45200 zł$

$n = ?$

Podstawiamy odpowiednie liczby do wzoru na procent prosty i przekształcamy otrzymaną równość.

$48590 = 45200 \cdot (1 + n \cdot 0, 015)$

$48590 - 45200 = n \cdot 0,015 \cdot 45200$

$3390 = n \cdot 0,015 \cdot 45200$

$3390 = 678 \cdot n$

$n = 5$

Odpowiedź:

Odsetki od złożonego kapitału wyniosą $3390 zł$ po $5$ latach oszczędzania.

Przykład 15

Obliczymy, po jakim czasie przy rocznej stopie procentowej $12, 5 %$ wartość kapitału $12600 zł$ złożonego na procent prostyprocent prostyprocent prosty, podwoi się.

Obliczamy wartość kapitału końcowego.

$K_{n} = 2 \cdot 12600 = 25200$

$25200 = 12600 \cdot (1 + n \cdot \frac{12,5}{100}) | : 12600$

$2 = 1 + n \cdot \frac{125}{1000}$

$1 = n \cdot \frac{125}{1000}$

$n = 8$

Odpowiedź:

Wartość kapitału podwoi się po $8$ latach oszczędzania.

Pokażemy teraz, jak obliczyć stopę procentową dla kapitału złożonego na mniej niż rok.

Przykład 16

Odsetki od kapitału $6800 zł$ złożonego na $3$ miesiące do banku $A$ wyniosły $20, 40 zł$ . Obliczymy, jakie oprocentowanie lokat obowiązywało w tym banku.

Kapitał został złożony na $3$ miesiące, zatem $n = \frac{3}{12}$ .

$K_{\frac{3}{12}} = 6800 + 20,40 = 6820,40$

Podstawiamy odpowiednie liczby do wzoru na procent prosty i przekształcamy otrzymaną równość.

$6820,40 = 6800 \cdot (1 + \frac{p}{100} \cdot \frac{3}{12})$

$20,40 = 6800 \cdot \frac{p}{400}$

$p = 1,2$

Odpowiedź:

Oprocentowanie roczne w banku $A$ wynosiło $1, 2 %$ .

Animacje interaktywne

Zapoznaj się z animacją. Spróbuj samodzielnie rozwiązać prezentowane tam zadania i dopiero następnie porównaj rozwiązania.

R1XOOZA1VCKDL

Polecenie 1

Cena deski surfingowej w zimie wynosiła $a zł$ . Na wiosnę obniżono cenę o $20 %$ , a w jesieni podwyższono wiosenną cenę o $40 %$ . Oblicz, ile kosztowała ta deska w jesieni. Czy jesienna cena deski surfingowej była większa czy mniejsza od ceny zimowej?

$0,8 a$ – cena deski na wiosnę (w $zł$ )

$1,4 \cdot 0,8 a$ – cena deski w jesieni (w $zł$ )

$1,4 \cdot 0,8 a = 1,12 a$

Deska w jesieni kosztowała $1,12 a zł$ i była większa o $12 %$ od ceny deski w zimie.

RBXH2SSN74FDO

Polecenie 2

Ewelina wpłaciła do banku na pól roku $12000 zł$ z rocznym oprocentowaniem w wysokości $3 %$ . Oblicz, jaką kwotę odsetek uzyska na koniec okresu oszczędzania. Skorzystaj ze wzoru na procent prosty.

$n = \frac{1}{2}$

$K_{\frac{1}{2}} = 12000 \cdot (1 + \frac{1}{2} \cdot 0,03)$

$K_{\frac{1}{2}} = 12000 \cdot 1,015$

$K_{\frac{1}{2}} = 12180 zł$

$12180 - 12000 = 180$

Ewelina uzyska $180 zł$ odsetek.

Galeria zdjęć interaktywnych

Obejrzyj galerię zdjęć interaktywnych.

Następnie wykonaj polecenie znajdujące sie poniżej.

R1BZV6DOULGDE

RLEG1ANCJVHJX

R1JTOA3NHP7EV

RPDG4Q196H3MG

RR9NVB84GCPK2

Polecenie 3

Oblicz wysokość pierwszej, drugiej i trzeciej raty kredytu udzielonego na kwotę $90000 zł$ na okres pięciu lat, przy rocznym oprocentowaniu kredytu $5 %$ , jeżeli raty miesięczne są malejące.

Z treści zadania mamy następujące dane:

$N = 90000 zł$ ,

$k = 12$ ,

$n = 60$ ,

$r = 5 %$ .

Wysokość raty $I_{1}$ w pierwszym miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{1} = \frac{N}{n} + N \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{90000}{60} + 90000 \cdot \frac{5}{100 \cdot 12} = 1500 + 375 = 1875$

Wysokość raty $I_{2}$ w drugim miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{2} = \frac{N}{n} + (N - \frac{N}{n}) \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{90000}{60} + 88500 \cdot \frac{5}{100 \cdot 12} =$

$= 1500 + 368, 75 = 1868, 75$

Wysokość raty $I_{3}$ w trzecim miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{3} = \frac{N}{n} + (N - \frac{2 N}{n}) \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{90000}{60} + 87000 \cdot \frac{5}{100 \cdot 12} =$

$= 1500 + 362, 5 = 1862, 5$

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

pullpage

Pokaż ćwiczenia:

RX7FRA81ZAFKA1

Ćwiczenie 1

Ćwiczenie 2

RQKLOCBPLJ3QL

Iza zarobiła $7400 zł$ , a Bożena $7200 zł$ .

RBZNVM5OG4DPA2

Ćwiczenie 3

RONC6PSK8KJDJ2

Ćwiczenie 4

R1L912ONE7ATB2

Ćwiczenie 5

R1QZ4TCJFFMJB2

Ćwiczenie 6

Ćwiczenie 7

W środę cena akcji wynosiła $14 zł$ , a w czwartek wzrosła o $50 %$ . Robert w środę kupił $30$ akcji i sprzedał je w czwartek.

a) Ile zarobił Robert?

b) W piątek czwartkowa cena wzrosła o $10 %$ . Czy to oznacza, że początkowa cena akcji wzrosła o $60 %$ ? Dlaczego?

a) $14 zł + 7 zł = 21 zł$ – cena akcji w czwartek

$30 \cdot 21 - 30 \cdot 14 = 210$

Robert zarobił $210 zł$ .

b) $1, 10 \cdot 21 zł = 23, 10 zł$

$\frac{23, 10}{14} = 1, 65$

Początkowa cena wzrosła o $65 %$ .

Ćwiczenie 8

Cenę najnowszej płyty Mieczysława obniżono o $20 %$ , co spowodowało natychmiastowy wzrost jej sprzedaży. Podwyższono więc cenę płyty do początkowej wysokości. O ile procent podwyższono obniżoną cenę?

Oznacz np. przez $x zł$ cenę płyty przed obniżką i np. przez $a %$ procent podwyżki. Ułóż odpowiednie równanie.

$x zł$ – cena płyty przed obniżką

$0, 8 x zł$ – cena płyty po obniżce

$a %$ – procent podwyżki

$0, 8 x + a \cdot 0, 8 x = x$

$a \cdot 0, 8 x = 0, 2 x$

$a = 0, 25$

$a = 25 %$

Cenę podwyższono o $25 %$ .

R1SM4MV12JQVF1

Ćwiczenie 9

ROVV39DCN33OF1

Ćwiczenie 10

RQ4GHM381FERN2

Ćwiczenie 11

Ćwiczenie 12

Do banku złożono kwotę $6000 zł$ na roczną lokatę z pewnym oprocentowaniem. Po roku otrzymano kwotę $6145, 80 zł$ . Jakie było oprocentowanie lokaty, jeżeli od odsetek pobierany jest podatek w wysokości $19 %$ ?

Zauważ, że zysk z lokaty stanowi $81 %$ odsetek z lokaty.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$K_{0} = 6000 zł$ ,

$K_{1} = 6145, 80 zł$ ,

$n = 1$ ,

$r$ – oprocentowanie lokaty.

Zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$6000 \cdot (1 + \frac{r}{100} \cdot \frac{81}{100}) = 6145, 80$

$1 + \frac{r}{100} \cdot \frac{81}{100} = 1, 0243$

$10000 + 81 r = 10243$

$81 r = 243 \Rightarrow r = 3$

Zatem oprocentowanie lokaty wynosiło $3 %$ .

RA4RVORBZRXB32

Ćwiczenie 13

Ćwiczenie 14

Połowę z kwoty $8000 zł$ złożono na lokatę roczną w banku $I$ , a drugą połowę w banku $II$ . Wiadomo, że odsetki uzyskane po roku w banku $I$ były o $40 zł$ niższe niż odsetki uzyskane w banku $II$ . Oblicz, o ile punktów procentowych oprocentowanie lokaty w banku $I$ było niższe od oprocentowania w banku $II$ .

Wprowadż np. nastęujące oznaczenia:

$p$ – oprocentowanie lokaty w banku $I$ ,

$r$ – oprocentowanie lokaty w banku $II$ .

Wykorzystując te oznaczenia zapisz wartość odsetek w każdym z banków i ułóż odpowiednie równanie.

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$p$ – oprocentowanie lokaty w banku $I$ ,

$r$ – oprocentowanie lokaty w banku $II$ .

Wobec tego odsetki uzyskane w bankach wynoszą odpowiednio:

w banku $I$ : $4000 \cdot p$

w banku $II$ : $4000 \cdot r$

Ponieważ odsetki uzyskane po roku w banku $I$ były o $40 zł$ niższe niż odsetki uzyskane w banku $II$ , zatem zachodzi zależność:

$4000 \cdot \frac{r}{100} = 4000 \cdot \frac{p}{100} + 40$

$4000 \cdot \frac{r}{100} - 4000 \cdot \frac{p}{100} = 40$

$4000 \cdot (r - p) = 4000$

$r - p = \frac{4000}{4000} = 1$

$r = p + 1$

Zatem oprocentowanie w pierwszym banku było niższe niż oprocentowanie w drugim banku o $1$ punkt procentowy.

R18S56H54VBOZ3

Ćwiczenie 15

Ćwiczenie 16

Oblicz, jaki procent kwoty kredytu w wysokości $72000 zł$ udzielonego na okres czterech lat, przy rocznym oprocentowaniu kredytu $6 %$ stanowią łącznie pierwsze dwie raty, jeżeli raty miesięczne są malejące.

Z treści zadania mamy następujące dane:

$N = 72000 zł$ ,

$k = 12$ ,

$n = 48$ ,

$r = 6 %$ .

Wysokość raty $I_{1}$ w pierwszym miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{1} = \frac{N}{n} + N \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{72000}{48} + 72000 \cdot \frac{4}{100 \cdot 12} = 1500 + 240 = 1740$

Wysokość raty $I_{2}$ w drugim miesiącu trwania kredytu wynosi:

$I_{2} = \frac{N}{n} + (N - \frac{N}{n}) \cdot \frac{r}{100 k} = \frac{72000}{48} + 70500 \cdot \frac{4}{100 \cdot 12} =$

$= 1500 + 235 = 1735$

Wobec tego w ciągu dwóch miesięcy zostanie zapłacona kwota:

$I_{1} + I_{2} = 1740 zł + 1735 zł = 3475 zł$

Obliczamy, jaki procent kwotu kredytu stanowi kwota dwóch pierwszych rat:

$\frac{3475}{72000} \cdot 100 % \approx 4, 83 %$

R1V8F3U96AZC51

Ćwiczenie 17

R2XK31O65ZQQA1

Ćwiczenie 18

R13EAHMSNLOQH2

Ćwiczenie 19

RRAFTX4PAVXER2

Ćwiczenie 20

RHAM53MZGZ33P2

Ćwiczenie 21

RQ5PKCZB32P7Q2

Ćwiczenie 22

Ćwiczenie 23

Dyskontowanie proste polega na wyznaczaniu kapitału początkowego na podstawie znanej wartości kapitału końcowego. Wyprowadź wzór na dyskontowanie proste, korzystając ze wzoru na procent prosty.

Wyznacz $K$ ze wzoru: $K_{n} = K \cdot (1 + \frac{n \cdot p}{100})$

$K_{n} = K \cdot (1 + \frac{n \cdot p}{100})$

$K_{n} = K \cdot \frac{100 + n \cdot p}{100}$

$K = \frac{100 K_{n}}{100 + n \cdot p}$

Ćwiczenie 24

Udzielono krótkoterminowej pożyczki w wysokości $20000 zł$ na okres $20$ dni. Umowa przewiduje oprocentowanie w wysokości $18, 25 %$ w skali roku. Odsetki od udzielonej pożyczki płatne są w chwili zwrotu kapitału początkowego. Oblicz, jaką kwotę trzeba będzie oddać.

Zauważ, że należy zwrócić $\frac{20}{365}$ kwoty odsetek należnych po roku pożyczki.

$n = \frac{20}{365} = \frac{4}{73}$

$K_{\frac{4}{73}} = 20000 \cdot (1 + \frac{18,25}{100} \cdot \frac{4}{73})$

$K_{\frac{4}{73}} = 20000 \cdot (1 + 0,01) = 20200$

Odpowiedź:

Trzeba będzie oddać $20200 zł$ .

Słownik

rabat

to kwotowa lub procentowa zniżka od ceny danego towaru; udzielana jest najczęściej klientom płacącym gotówką kupującym duże ilości towaru

odsetki

wynagrodzenie za korzystanie z kapitału przez bank

kapitalizacja odsetek

dodanie odsetek, które do końca danego okresu wypracował złożony kapitał

procent prosty

to sposób oprocentowania wkładu pieniężnego, polegający na tym, że dochód w postaci odsetek od wkładu początkowego jest wyznaczony proporcjonalnie od długości okresu oprocentowania

2. Punkty procentowe

4*. Wiedza z plusem: Składy procentowe i stężenia substancji