To ciekawe

Czy zastanawiasz się czasem, jak daleko uda Ci się dojść, jeśli idziesz ze stałą prędkością przez określony czas? Albo jak daleko od celu podróży się znajdziesz, jeśli będziesz startować z ustalonej odległości od określonego miejsca? Na te i podobne pytania będziesz w stanie odpowiedzieć, gdy poznasz zależność drogi oraz położenia od czasu w ruchu jednostajnym.

Warto przeczytać

W jaki sposób opisujemy położenie ciała? Potrzebny jest nam do tego układ odniesieniaUkład odniesienia (ang. frame of reference)układ odniesienia – obiekt, względem którego będziemy określać położenie oraz układ współrzędnych, którego początkiem będzie jakiś punkt tego obiektu.

Wyobraźmy sobie, że Stefan wychodzi z domu i idzie do szkoły po prostej drodze. Aby opisać jego położeniePołożenie (ang. position)położenie, za układ odniesienia możemy przyjąć dom, a początek jednowymiarowego układu współrzędnych OX możemy związać ze środkiem tego domu (Rys. 1.). Kierunek osi tego układu wybieramy tak, by oś OX pokryła się z drogą z domu do szkoły (założyliśmy, że droga ta jest prosta).

R1c4ZDaXx0cbz

Rys. 1. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację treści. Na osi 0X zaznaczone są dom i szkoła do której idzie Stefan. W punkcie 0 (początek układu współrzędnych) znajduje się dom Stefana. Stefan zmierza z domu do szkoły. Na rysunku zaznaczono położenie Stefana w drodze do szkoły (xs), które znajduje się pomiędzy domem a szkołą. Obiekty są ulożone są na jednej linii.

PołożeniePołożenie (ang. position)Położenie ciał w układzie współrzędnych określone jest przez wektor położenia, którego początek znajduje się w początku układu współrzędnych, a koniec w danym punkcie. W przypadku jednowymiarowym oś układu współrzędnych pokrywa się z kierunkiem prostoliniowego ruchu. Wtedy do opisania położenia wystarczy jedna składowa wektora położenia. Tak jest w naszym przypadku.

Jeżeli ciało porusza się ruchem jednostajnym wzdłuż osi OX, to zależność współrzędnej $x$ wektora położenia od czasu jest funkcją liniową:

gdzie $x_0$ to położenie początkowe, a $v_x$ to współrzędna prędkościPrędkość (ang. velocity)prędkości. Współrzędna ta może mieć wartość dodatnią (gdy ciało porusza się zgodnie ze zwrotem osi) albo ujemną (gdy ciało porusza się przeciwnie do zwrotu osi).

Rozpatrzmy teraz następującą sytuację: Stefan skończył lekcje i wyszedł ze szkoły, która jest w odległości 2 km od jego domu. Zanim ruszył do domu, udał się najpierw do sklepu, który znajduje się 1 km od szkoły, ale po przeciwnej stronie niż dom (Rys. 2.). Sklep jednak okazał się zamknięty, więc Stefan wrócił prosto do domu. Każdy odcinek swojej trasy pokonał ze stałą prędkością równą $v$ = 4 km/h.

Rpw0emHWagM8l

Rys. 2. Rysunek przedstawia graficzną ilustrację treści. Na rysunku zaznaczono położenie obiektów na układzie współrzędnych 0X (po prawej stronie: szkoła i sklep) względem domu Stefana (po lewej stronie). Szkoła znajduje się w odległości 2 km od domu Stefana, natomiast sklep znajduje się w odległości 3 km od domu Stefana. Obiekty są ulożone są na jednej linii.

Zastanówmy się, jak będzie wyglądać wykres zależności współrzędnej $x$ wektora położenia Stefana od czasu $t$. Składa się on z dwóch fragmentów; każdy z nich opisuje jeden etap ruchu Stefana. Pierwszy przedstawia przejście Stefana ze szkoły do sklepu, a drugi powrót do domu.

I etap ruchu Stefana

Etap ten rozpoczyna się, gdy Stefan znajduje się 2 km od początku układu współrzędnych. Zatem jego położenie początkowe wynosi: $x_0$ = 2 km. Stefan idzie w kierunku zgodnym z osią, a więc współrzędna prędkości wynosi $v_x$ = 4 km/h. Stefan ma do przejścia 1 km, a więc zajmie mu to 0,25 h.

Zależność położenia od czasu dla tego etapu będzie zatem wyrażona poprzez

dla czasu mieszczącego się w przedziale od 0 do 0,25 h.

Pod koniec tego etapu położenie Stefana będzie wynosić 3 km (Rys. 3.) Mówiąc bardziej precyzyjnie – współrzędna $x$ tego wektora ma wartość + 3 km.

II Etap ruchu Stefana

Gdy Stefan wyrusza w drogę powrotną, jego położenie początkowe w tym etapie to $x_0$ = 3 km, bo Stefan rozpoczyna ruch w sklepie oddalonym o 3 km od domu, który jest punktem odniesienia. Prędkość Stefana w drodze powrotnej ma nadal wartość 4 km/h, ale ponieważ tym razem Stefan porusza się w kierunku przeciwnym niż oś OX, to współrzędna prędkości wynosi $v_x=-4\text{km/h}$. Droga powrotna zajmie Stefanowi 0,75 h.

Zależność współrzędnej $x$ wektora położenia od czasu w drugim etapie wygląda zatem następująco:

gdzie przez $t_0$ oznaczamy chwilę, w której Stefan zaczyna drogę powrotną. Czas $t-t_0$ możemy wtedy nazwać czasem odmierzającym ruch „z powrotem” – od sklepu do domu. Położenie $x=3\text{km}$ jest położeniem w chwili $\mathrm{(}t-t_0\mathrm{)\; =\; 0}$, czyli $t=t_0$.

Położenie końcowe w tym etapie wynosi 0 km – Stefan kończy swoją trasę w domu, a tu właśnie znajduje się początek układu współrzędnych.

Zależność położenia od czasu dla dwóch etapów ruchu przedstawiona jest na wykresie na Rys. 3.:

R5ZhDJl7PLeDG

Rys. 3. Rysunek przedstawia wykres zależności położenia Stefana od czasu. Na rysunku umieszczono układ współrzędnych. Oś pionowa wyskalowana w kilometrach i oznaczona małą czarną literą x przedstawia położenie Stefana. Oś ta zawiera wartości od zera do trzech z podziałką co jeden. Oś pozioma wyskalowana w godzinach i oznaczona małą czarną literą t przedstawia czas. Oś ta zawiera wartości od zera do jeden z podziałką co zero przecinek dwadzieścia pięć. Zależność położenia od czasu przedstawiono na wykresie za pomocą dwóch niebieskich odcinków przedstawiających dwa etapy podróży Stefana. Pierwszy został poprowadzony od punktu o współrzędnych (zero, dwa) do punktu o współrzędnych (zero przecinek dwadzieścia pięć, trzy) i oznaczony dużą czarną rzymską cyfrą jeden. Drugi został poprowadzony od punktu o współrzędnych (zero przecinek dwadzieścia pięć, trzy) do punktu o współrzędnych (jeden, zero) i oznaczony dużą czarną cyfrą dwa.

Zastanówmy się teraz, jak będzie zależeć od czasu droga, jaką przebył Stefan.

Droga to długość toru, po którym porusza się ciało.

W przypadku ruchu jednostajnego zależność drogi od czasu jest nie tylko zależnością liniową, ale także proporcjonalną i wyraża się wzorem

Nie ma w tym przypadku znaczenia, czy ciało porusza się zgodnie czy przeciwnie do zwrotu osi – istotna jest tylko wartość prędkości. Czy Stefan poruszał się przez cały czas z tą samą prędkością? Gdybyśmy dokładnie przeanalizowali jego ruch, okazałoby się, że nie – gdy dotarł do sklepu musiał się zatrzymać, czyli zmienić wartość prędkości do zera, a potem ruszyć z powrotem do domu, co też wiąże się ze zmianą prędkości – od zera do prędkości równej 4 km/h. Tak naprawdę ruch Stefana nie jest więc przez cały czas ruchem jednostajnym. Ponieważ jednak czas, kiedy prędkość Stefana zmienia się, jest bardzo krótki, pominiemy ten problem i założymy, że Stefan cały czas porusza się ruchem jednostajnym z prędkością o wartości 4 km/h.

Zatem wykres przedstawiający zależność od czasu drogi, którą przebył Stefan będzie składać się tylko z jednego odcinka (Rys. 4.).

R1NZ2v3wGDlP1

Rys. 4. Rysunek przedstawia wykres zależności drogi przebytej przez Stefana od czasu. Na rysunku umieszczono układ współrzędnych. Oś pionowa wyskalowana w kilometrach i oznaczona małą czarną literą s przedstawia drogę przebytą przez Stefana. Oś ta zawiera wartości od zera do czterech z podziałką co jeden. Oś pozioma wyskalowana w godzinach i oznaczona małą czarną literą t przedstawia czas. Oś ta zawiera wartości od zera do jeden z podziałką co zero przecinek dwadzieścia pięć. Zależność drogi od czasu przedstawiono na wykresie za pomocą niebieskiej półprostej zaczynającej się w początku układu współrzędnych i przechodzącej przez punkty o współrzędnych (zero przecinek dwadzieścia pięć, jeden) oraz (jeden, cztery).

Słownik