To ciekawe

Jak zmienia się położenie ciała w czasie, gdy to ciało porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym? Co musimy wiedzieć, aby określić jego położenie w dowolnym momencie? Ile czasu zajmie przebycie określonej trasy? Na te pytania odpowiada zależność położenia od czasu.

Warto przeczytać

R38wP4KTGYlrX

Zdjęcie poglądowe przedstawia żółty osobowy samochód w ruchu. Samochód widoczny jest po lewej stronie zdjęcia. Ruch pokazany jest w formie poziomych linii.

Rozważmy następującą sytuację (Rys. 1.): samochód jadący z prędkością $v_0$ wjechał na prosty pas służący do rozpędzania się przed włączeniem się do ruchu na autostradzie i zaczął przyspieszać ze stałym przyspieszeniemprzyspieszenieprzyspieszeniem o wartości $a$.

Rb6OmvxUrW79Y

Rys. 1. Na rysunku znajduje się pozioma oś skierowana w prawo oznaczona literą x. Nad osią są dwie poziome linie symbolizujące pas ruchu na drodze. Między liniami z lewej strony znajduje się samochód skierowany w prawo. Położenie samochodu na osi oznaczone jest literą x z indeksem dolnym 0.

Umieśćmy oś x wzdłuż drogi, jaką porusza się samochód i przyjmijmy, że w chwili, gdy zaczął przyspieszać, składowa położenia wynosiła $x_0$.

Zastanówmy się teraz, czy na podstawie tych danych możemy określić położeniepołożeniepołożenie samochodu w dowolnej, późniejszej chwili $t$?

Prędkość chwilowa

Zacznijmy od definicji prędkościprędkośćprędkości chwilowej – ograniczymy się tylko do składowej $t$, bo ruch odbywa się wzdłuż osi x

gdzie ${\displaystyle \mathrm{\Delta }x}$ to składowa przemieszczenia, a ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$ to czas, w jakim to przemieszczenie nastąpiło. Tak wyrażona prędkość vIndeks dolny x_x jest tym bliższa prędkości chwilowej, im czas ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$ jest krótszy.

Jeśli znamy położenie $x$ w chwili $t_0$ oraz wartość prędkości $v_x$ w tym momencie, to na podstawie tej definicji jesteśmy w stanie określić, jakie jest położeniepołożeniepołożenie w chwili o ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$ większej:

Musimy jednak pamiętać, że jeśli prędkośćprędkośćprędkość zmienia się w czasie – a tak jest w przypadku ruchu jednostajnie przyspieszonegoruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonego – to żebyśmy mogli z tej zależności korzystać, czas ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$ musi być bardzo, bardzo krótki – na tyle krótki, by można było uznać, że w tym czasie wartość prędkościprędkośćprędkości praktycznie się nie zmienia.

Jak zatem możemy to zastosować w naszym przypadku?

Równanie prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Zacznijmy od zależności prędkościprędkośćprędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonymruch jednostajnie przyspieszonyruchu jednostajnie przyspieszonym. Wartość prędkości w tym ruchu rośnie jednostajnie – czyli liniowo. Ruch odbywa się po torze prostoliniowym. Możemy zatem zapisać:

Symbolem $a_x$ oznaczamy składową przyspieszenia wzdłuż osi x.

Na Rys. 2. przedstawiony jest wykres tej zależności. Na osi czasu zaznaczono kolejne odcinki $\mathrm{\Delta }t$.

RNlsNH0lcwIN1

Rys. 2. Na osi poziomej wykresu odłożono czas t, na osi pionowej składową x wektora prędkości, v z indeksem dolnym x. Wykres jest linią prostą skierowaną ukośnie w górę i w prawo, która przecina pionową oś w punkcie oznaczonym literą v z indeksem dolnym zero. Oś czasu podzielono na równe odcinki o długości delta t. Końcowe punkty tych odcinków mają współrzędne: delta t, 2 razy delta t, 3 razy delta t. Przy prawym końcu osi zaznaczono też punkt o współrzędnej n razy delta t. W tak oznaczonych punktach na osi czasu zaczynają się pionowe odcinki, kończące się na linii wykresu.

W dalszym ciągu naszych rozważań będziemy opuszczać indeksy „x” przy składowych wektorów prędkościprędkośćprędkości i przyspieszenia - zwiększy to czytelność wzorów.
Zacznijmy od chwili t = 0. Wiemy, że położeniepołożeniepołożenie początkowe samochodu wynosiło xIndeks dolny 0₀, tj.

Dalej, po czasie ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$, mamy

Po kolejnym czasie ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$położeniepołożeniepołożenie wynosi

Postępując dalej w ten sam sposób, możemy dostać wyrażenie określające przybliżone położeniepołożeniepołożenie samochodu dla dowolnej chwili $t_n=n·\mathrm{\Delta }t$:

Jak już wspomnieliśmy, wyrażenie to jest przybliżone dlatego, że w każdym odcinku $\mathrm{\Delta }t$prędkośćprędkośćprędkość nie ma stałej wartości. Jednak przybliżenie to jest tym lepsze, im mniejsze są odcinki $\mathrm{\Delta }t$ - wtedy jest ich po prostu więcej.

Pojawia się przy tym problem praktyczny: ta suma zawiera bardzo wiele składników, bo czas ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$ jest bardzo mały, więc n - liczba prostokątów na wykresie - jest bardzo duża.

Interpretacja graficzna - pole powierzchni pod wykresem prędkości

Kiedy jednak przyjrzymy się uważniej każdemu ze składników, możemy zauważyć (Rys. 3.), że są to pola powierzchni prostokątów. Wszystkie mają w poziomie boki o jednakowych długościach ${\displaystyle \mathrm{\Delta }t}$. W pionie boki są coraz dłuższe: bok i-tego prostokąta ma długość $v((i-1)·\mathrm{\Delta }t).$

R12j2XFqSqTEF

Rys. 3. Na osi poziomej wykresu odłożono czas t, na osi pionowej wektor prędkości v. Wykres jest linią prostą skierowaną ukośnie w górę i w prawo, która przecina pionową oś w punkcie oznaczonym literą v z indeksem dolnym zero. Oś czasu podzielono na równe odcinki o długości delta t. Końcowe punkty tych odcinków mają współrzędne: delta t, 2 razy delta t, 3 razy delta t. Przy prawym końcu osi zaznaczono też punkt o współrzędnej n razy delta t. W tak oznaczonych punktach na osi czasu zaczynają się pionowe odcinki, kończące się na linii wykresu. Od punktu przecięcia wykresu z pionową osią poprowadzono poziomy odcinek do pierwszego pionowego odcinka, co utworzyło prostokąt o poziomym boku równym delta t i pionowym boku równym v z indeksem dolnym zero. Podobnie, od końca pierwszego pionowego odcinka poprowadzono poziomy odcinek do drugiego pionowego odcinka, co utworzyło prostokąt o poziomym boku równym delta t i pionowym boku równym wartości prędkości w chwili delta t. Analogicznie utworzono trzeci prostokąt o poziomym boku równym delta t i pionowym boku równym wartości prędkości w chwili 2 razy delta t. Ostatni z prostokątów został zakreskowany.

Kiedy zsumujemy pola wszystkich prostokątów dostajemy, w przybliżeniu, pole pod wykresem zależności ${\displaystyle v_x(t)}$. Tak jak wcześniej, przybliżenie to jest tym lepsze, im odcinki $\mathrm{\Delta }t$ są mniejsze.

Zatem w naszym przypadku, aby wyznaczyć położeniepołożeniepołożenie samochodu w jakiejś chwili $t$, musimy obliczyć pole zaznaczonego na rysunku 4. trapezu.

RZQYDHSPjG8eq

Rys. 4. Na osi poziomej wykresu odłożono czas t, na osi pionowej wektor prędkości v. Wykres jest linią prostą skierowaną ukośnie w górę i w prawo, która przecina pionową oś w punkcie oznaczonym literą v z indeksem dolnym zero. Z punktu na osi czasu o współrzędnej oznaczonej literą t poprowadzono pionowy odcinek kończący się na linii wykresu. Pole pod wykresem między pionowym odcinkiem i obiema osiami zostało zakreskowane. Zakreskowana figura ma kształt trapezu, którego pionowe podstawy mają długość v z indeksem dolnym zero oraz v w chwili t.

Chwila $t$ może być dowolna, więc w ten sposób dostajemy zależność położenia od czasu:

Pamiętając, że $v(t)=v_0+a·t$ dostajemy ostatecznie

Słownik