To ciekawe

Jak zmienia się wartość prędkości w ruchu jednostajnie przyspieszonym? Co jest potrzebne, by móc jednoznacznie określić wartość prędkości ciała w dowolnej chwili? Na te pytania odpowiada zależność wartości prędkości od czasu.

Warto przeczytać

Ruch jednostajnie przyspieszonyRuch jednostajnie przyspieszony (uniformly accelerated motion)Ruch jednostajnie przyspieszony to ruch, w którym wartość prędkościPrędkość (ang. velocity)prędkości rośnie w sposób jednostajny – czyli w tych samych odstępach czasu zwiększa się o tę samą wartość. Oznacza to, że zależność wartości prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym jest zależnością liniową.

Funkcja liniowa ma ogólną postać $y=ax+b$, gdzie $x$ jest zmienną niezależną, $y$ – zależną, $a$ – współczynnikiem kierunkowym prostej, a $b$ – wyrazem wolnym.

W przypadku zależności wartości prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym zmienną niezależną jest czas, a zmienną zależną jest wartość prędkości. Współczynnik kierunkowy jest dodatni, bo wartość prędkości rośnie wraz z upływem czasu, i jest równy wartości przyspieszenia. Wyraz wolny natomiast jest równy wartości prędkości początkowej $v_0$.

Zatem zależność wartości prędkości od czasu w ruchu jednostajnie przyspieszonym wygląda następująco:

Wykresem tej zależności jest linia prosta, której nachylenie zależy od wartości przyspieszenia i która przecina oś prędkości w punkcie $v_0$ (Rys. 1.). Współczynnik kierunkowy tej zależności jest dodatni, a więc jest to zależność rosnąca.

R1WRleFLG7qCy

Rys. 1. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na osi poziomej odłożono czas, t, na osi pionowej prędkość, v. Wykres jest linią prostą, która zaczyna się w punkcie na osi pionowej, leżącym nad osią poziomą i oznaczonym literą v z indeksem dolnym 0. Linia skierowana jest ukośnie w górę i w prawo.

Aby jednoznacznie określić zależność prędkości od czasu dla ciała poruszającego się ruchem jednostajnie przyspieszonym, potrzebujemy dwóch informacji. Na przykład wartości przyspieszeniaPrzyspieszenie (ang. acceleration)przyspieszenia i prędkości początkowej lub wartości prędkości tego ciała w dwóch różnych chwilach czasu.

Rozpatrzmy następujący przykład:

Kierowca wjechał na autostradę i zaczął przyspieszać. Po czterech sekundach jego prędkość wynosiła 31 m/s, a po kolejnych trzech 35,5 m/s. Chcemy znaleźć zależność prędkości od czasu dla tego kierowcy, zakładając, że ruch samochodu był ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Potrzebne jest nam przyspieszenie samochodu i jego prędkość początkowa – ta, którą miał w momencie, gdy zaczął przyspieszać.

Aby wyznaczyć przyspieszenie, obliczymy najpierw różnicę prędkości, jaką miał samochód pomiędzy czwartą a siódmą sekundą: 35,5 m/s – 31 m/s = 4,5 m/s.

Ta zmiana prędkości dokonała się w ciągu trzech sekund, a zatem przyspieszenie samochodu wynosiło:

Możemy zatem wyznaczyć prędkość początkową.

Gdy odpowiednio przekształcimy zależność prędkości od czasu, otrzymamy:

Gdy podstawimy do tego wzoru prędkość, jaką miał samochód po czterech sekundach ruchu, i czas wynoszący 4 s, dostaniemy:

Zatem zależność wartości prędkości od czasu wygląda następująco:

Słownik