To ciekawe

Jak zmienia się wartość prędkości w ruchu jednostajnie opóźnionym? Co jest potrzebne, by móc jednoznacznie określić wartość prędkości ciała w dowolnej chwili? Na te pytania odpowiada zależność wartości prędkości od czasu.

Warto przeczytać

Ruch jednostajnie opóźnionyRuch jednostajnie opóźniony (ang. uniformly decelerated motion)Ruch jednostajnie opóźniony to ruch, w którym wartość prędkościPrędkość (ang. velocity)prędkości maleje w sposób jednostajny - czyli w tych samych odstępach czasu wartość prędkości zmniejsza się o tę samą wartość. Oznacza to, że zależność wartości prędkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym jest zależnością liniową.

Funkcja liniowa ma ogólną postać $y=ax+b$, gdzie $x$ jest zmienną niezależną, $y$ – zależną, $a$ – współczynnikiem kierunkowym prostej, a $b$ – wyrazem wolnym.

W przypadku zależności wartości prędkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym zmienną niezależną jest czas, a zmienną zależną jest wartość prędkości. Współczynnik kierunkowy jest ujemny, bo wartość prędkości maleje wraz z upływem czasu, i ma postać $-a$, gdzie $a$ jest wartością przyspieszenia. Wyraz wolny natomiast jest równy wartości prędkości początkowej $v_0$.

Zatem zależność wartości prędkości od czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym wygląda następująco:

Wykresem tej zależności jest linia prosta, której nachylenie zależy od wartości przyspieszenia i która przecina oś prędkości w punkcie $v_0$ (Rys. 1.). Współczynnik kierunkowy tej prostej jest ujemny, a więc jest to zależność malejąca.

R6I9cASlhf5iw

Rys. 1. Na rysunku jest układ współrzędnych. Na poziomej osi odłożono czas, t, na osi pionowej prędkość, v. Wykres ma postać odcinka, skierowanego ukośnie w dół i w prawo. Odcinek zaczyna się w punkcie na osi pionowej o współrzędnej oznaczonej literą v z indeksem dolnym 0. Koniec odcinka jest w punkcie znajdującym się na osi poziomej.

Zatem, aby jednoznacznie określić zależność prędkości od czasu dla ciała poruszającego się ruchem jednostajnie opóźnionym, potrzebujemy dwóch informacji. Na przykład wartości przyspieszenia i prędkości początkowej lub wartości prędkości tego ciała w dwóch różnych chwilach czasu.

Rozpatrzmy następujący przykład:

Pociąg zaczął hamować przed stacją. Po dziesięciu sekundach od rozpoczęcia hamowania wartość jego prędkości wynosiła 12 m/s, po 70 s od rozpoczęcia hamowania pociąg zatrzymał się. Chcemy wyznaczyć zależność wartości jego prędkości od czasu, przy założeniu, że ruch podczas hamowania był jednostajnie opóźniony.

Zaczniemy od wyznaczenia przyspieszeniaPrzyspieszenie (ang. acceleration)przyspieszenia. W ciągu ostatnich 60 sekund prędkość pociągu spadła od 12 m/s do 0. Ponieważ interesuje nas wartość przyspieszenia, a nie jego współrzędna, obliczymy przyspieszenie, dzieląc 12 m/s przez 60 sekund:

Następnie wyznaczymy prędkość początkową pamiętając o tym, że cały proces hamowania trwał 70 s. Przekształcając zależność wartości prędkości od czasu otrzymujemy:

Wiemy, że dla $t$ = 70 s mamy $v\left(t\right)$ = 0, zatem

Zatem zależność wartości prędkości od czasu wygląda następująco:

Słownik