To ciekawe

Jednym z najbardziej znanych i wzbudzających emocje eksperymentów myślowych jest eksperyment z tzw. kotem Schrödingera. Eksperyment przedstawia problem zastosowania tez mechaniki kwantowej do obiektów makroskopowych. Według pomysłu Schrödingera kot miał znajdować się w zamkniętym pudełku zawierającym urządzenie uwalniające truciznę. Mechanizm wypuszczania trucizny miał się włączać w momencie detekcji rozpadu nietrwałego jądra atomowego. Jako że rozpad promieniotwórczy jest procesem losowym, stan kota, czy był on żywy, czy martwy, nie był znany, gdy pudełko było zamknięte. Według ówczesnych interpretacji mechaniki kwantowej kot znajdował się więc w dwóch stanach jednocześnie, jako żywy i martwy. Dopiero otwarcie pudełka redukuje stan kota do jednego.

ROSFtaLkYKFIf

Rys. 1. przedstawia pomieszczenie o białych ścianach. W centrum jest widoczny czarny obrys z szarym wnętrzem kota stojącego na podłodze i kota leżącego na podłodze. Na prawej ścianie znajduje się pudełko o niebieskich i czarnej ściance z symbolem promieniowania (żółty wiatrak). Z pudełka wychodzi przerywana czerwona linia kończąca się na żółtym pudełku z wystającymi dwoma wajchami o białej barwie, do których przyczepione są czarne linki połączone z młotkami. Jeden młotek leży, drugi jest pod kątem ostrym do poziomu. Pod młotkiem lezącym widać całą zlewkę z zielonym płynem oraz rozbitą zlewkę i rozlanym wokół niej zielonym płynem.

Ten nieco makabryczny eksperyment myślowy bazował na tym, że rozpady promieniotwórcze są procesami losowymi. W oparciu o to proste założenie można wiele wywnioskować o naturze rozpadów promieniotwórczych i to za chwilę zrobimy.

Warto przeczytać

Rozpad promieniotwórczy jest jednym z niewielu procesów, które są określane jako czysto losowe. Oznacza to, że obserwując zbiór jąder promieniotwórczych nie można przewidzieć, które z nich i kiedy ulegnie przemianie promieniotwórczej. Jedyną informacją, jaką posiadamy jest prawdopodobieństwo rozpadu jąder w pewnym przedziale czasowym.

Zgodnie z definicją, prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zjawiska może być wyznaczone jako stosunek liczby zdarzeń tzw. sprzyjających, czyli takich, które spełniają definicję danego zjawiska, do wszystkich możliwych zdarzeń. W naszym przypadku prawdopodobieństwem $p$ rozpadu jednego jądra w jakimś czasie $\Delta t$ będzie stosunek liczby jąder, które uległy rozpadowi $N'$ do wszystkich jąder w próbce $N$:

Liczbę jąder, które uległy rozpadowi $N'$ można wyrazić przez zmianę liczby jąder rozważanego izotopu w próbce, czyli końcowa liczba jąder minus liczba początkowa $\Delta N=N_{k}-N_{p}=N-N'-N=-N'$, skąd

Z drugiej strony ważną cechą jąder atomowych jest to, że prawdopodobieństwo ich rozpadu w jednostce czasu jest stałe. Inaczej mówiąc, im dłużej obserwujemy jakieś nietrwałe jądro atomowe, tym prawdopodobieństwo, że ulegnie ono rozpadowi w trakcie tej obserwacji rośnie, w dodatku rośnie liniowo.

Literką lambda zaznaczono tzw. stałą rozpadu promieniotwórczego, będącą prawdopodobieństwem rozpadu jądra w jednostce czasu, która charakteryzuje dane jądro atomowe. Jednostką stałej rozpadu jest sIndeks górny -1^-1.

Łącząc te dwa wzory otrzymujemy:

Zmiana liczby jąder promieniotwórczych jest ujemna, czyli ich liczba maleje w czasie, i jest proporcjonalna do początkowej liczby jąder, stałej rozpadu oraz czasu, który upłynął. Zauważ, że podana we wzorze wielkość $N$ nie jest stała, po każdym kroku czasowym jej wartość maleje o liczbę rozpadów w tym kroku. Wzór jest więc pewnym uproszczeniem, aby był dokładny powinniśmy przejść do bardzo małego kroku czasowego, dla którego wartość $N$ byłaby niemalże stała. Taki krok oznacza się symbolem $\textrm{d}t$, podobnie zmiana liczby jąder $\Delta N$ w takim małym kroku czasowym jest zapisywana jako $\textrm{d}N$:

Rozwiązaniem takiego równania jest wyrażenie na $N(t)$, czyli liczbę promieniotwórczych jąder w czasie:

gdzie $N_{0}$ jest liczbą jąder w czasie $t=0$, a literą $e$ oznaczono stałą Euleraliczba Eulerastałą Eulera.

Graficzna postać funkcji $N(t)$, zwanej krzywą zaniku promieniotwórczego, została zaprezentowana na Rys. 1.

RDW2JKncBRKiG

Rys 1. przedstawia krzywą zaniku promieniotwórczego. Na białym tle widać czarne boki kwadratu, z których lewy i dolny stanowią osie liczbowe. Oś pozioma jest podpisana: " Czas, początek nawiasu kwadratowego, litera mała j, kropka, litera mała u, kropka, koniec nawiasu kwadratowego". Na osi poziomej umieszczono liczby 20, 40, 60, 80, 100, 120. Oś pionowa jest podpisana: "Liczba zderzeń". Na osi poziomej umieszczono liczby: 2000, 4000, 5000 (kolor czerwony), 6000, 8000 i 10000. Na białym tle ograniczonym osiami widać czarną linię w kształcie hiperboli oraz odcinek czerwony pionowy i odcinek czerwony poziomy. Odcinek poziomy łączy się z wartością 5000 na osi pionowej, a odcinek pionowy łączy się z punktem oznaczonym wielką literą T, indeks dolny, początek ułamka, jeden, mianownik dwa, koniec ułamka, na osi poziomej.

Na rysunku zaznaczono punkt, w którym liczba jąder w próbce zmalała o połowę. Wyznacza on czas połowicznego rozpadu nietrwałego izotopu.

Wyznaczmy zależność łączącą czas połowicznego rozpadu $T_{1/2}$ ze stałą rozpadu $\lambda$.

Z definicji czas połowicznego rozpadu jest to czas, po którym liczba jąder nietrwałych jest równa połowie początkowej liczby jąder:

Skorzystajmy z definicji logarytmu.

Jeżeli $a^{b}=c$ to $b=\textrm{log}_{a}c$. W naszym przypadku

Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy literami ln

Stała rozpadu jest odwrotnie proporcjonalna do czasu połowicznego rozpadu, czyli im krótszy jest czas połowiczego rozpadu, tym stała rozpadu jest większa. ln2, czyli logarytm naturalny z 2 jest równy w przybliżeniu 0,69, jest to konkretna liczba.

Krzywą zaniku promieniotwórczego można zapisać wykorzystując czas połowicznego rozpadu w następującej postaci:

Jest to matematyczna postać prawa rozpadu promieniotwórczegoprawo rozpadu promieniotwórczegoprawa rozpadu promieniotwórczego.

Słowniczek