To ciekawe

Z ruchem po okręgu spotykasz się na co dzień. Po okręgu poruszają się końce wskazówek zegara, samochód na rondzie, ale także dowolny punkt leżący na krawędzi obrotowego talerza kuchenki mikrofalowej. Każdy z tych ruchów można opisać w podobny sposób, definiując pewne wielkości, takie jak prędkość liniowa, okres i częstotliwość.

R1SYcAwJRD1vA

Rys. A. Zdjęcie przedstawia tarczę zegarka ręcznego. Prezentowany analogowy zegarek ma czarną tarczę, na środku której znajduje się mocowanie trzech głównych wskazówek sekundowej, minutowej i godzinowej. Wszystkie wskazówki są koloru metalicznego. Na obwodzie tarczy znajdują się cyfry od jeden do dwanaście, rozmieszczone równolegle. Wokół punktu mocowania wskazówek umieszczone są jeszcze trzy okrągłe pola (mini tarcze) z oddzielnymi mniejszymi wskazówkami. Ich zadaniem jest wskazywanie dodatkowych informacji poza godziną, takich jak sekundy, data, dzień miesiąca. Istotne jest, że dowolny punkt znajdujący się na wskazówce porusza się po okręgu ruchem jednostajnym, ze stałą prędkością zarówno liniową, jak i kątową.

Po okręgu poruszają się końce wskazówki godzinowej i minutowej zegarka analogowego.

Warto przeczytać

Ruch jednostajny po okręgu to szczególny przypadek płaskiego ruchu krzywoliniowego.

Podczas ruchu punktu materialnegoPunkt materialnypunktu materialnego po okręgu toremTor ruchutorem jest oczywiście okrąg. Jeśli dodatkowo w jednakowych odstępach czasu punkt będzie przebywał taką samą drogę (zakreślał łuk o tej samej długości), to wartość prędkościPrędkość chwilowaprędkości będzie stała, $|\overrightarrow{v}|=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$ i będziemy mieli do czynienia z ruchem jednostajnym po okręgu. W ruchu po okręgu, a także w ruchu obrotowym, do określenia wielkości fizycznej, jaką jest prędkość, dodaje się często przymiotnik „liniowa”, aby podkreślić różnicę między tą wielkością a prędkością kątową, również podawaną przy opisie tego ruchu.

Prędkość $\overrightarrow{v}$ jest wektorem stycznym do okręgu, po którym porusza się punkt materialny P. Zwrot wektora prędkości jest zgodny z kierunkiem ruchu punktu P (Rys. 1.).

R1B9GCcf4CAdu

Rys. 1. Rysunek przedstawia schematycznie punkt poruszający się po okręgu. Okrąg narysowano niebieską linią. Na jego obwodzie, w górnej części i nieco z lewej od środka zaznaczono kolorem czerwonym punkt, opisany wielką literą P. Od środka okręgu do punktu P poprowadzono promień okręgu, w postaci odcinka w kolorze zielonym, który opisano małą literą r. Do czerwonego punktu przyłożono wektor jego prędkości liniowej opisany małą literą v, narysowany w postaci czerwonej strzałki. Wektor prędkości punktu P jest styczny do obwodu okręgu i skierowany w lewo i nieco w górę. Punkt P porusza się po okręgu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Kąt pomiędzy promieniem okręgu a wektorem prędkości jest równy dziewięćdziesięciu stopniom.

W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, pomimo tego że wartość prędkości pozostaje stała, jej kierunek zmienia się w sposób ciągły (Rys. 2.).

RFese06jTrO0j

Rys. 2. Rysunek przedstawia schematycznie ruch punktu materialnego po okręgu. Okrąg narysowano niebieską linią. Na jego obwodzie zaznaczono kolorem czerwonym dwa punkty. Punkty poruszają się po okręgu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Do punktów przyłożono wektory ich prędkości liniowych w postaci czerwonych strzałek, stycznych do obwodu okręgu. Ze środka okręgu poprowadzono promienie w postaci odcinków w kolorze zielonym, które ze środka okręgu biegną do punktów w kolorze czerwonym. Jeden z punktów opisano wielką literą A i zaznaczono w lewej górnej części okręgu. Wektor jego prędkości liniowej opisany małą literą v z indeksem dolnym wielka litera A, skierowany jest w lewo i w dół. Drugi punkt opisano wielką literą B i zaznaczono w dolnej lewej części obwodu okręgu. Wektor jego prędkości mała litera v z indeksem dolnym wielka litera B, skierowany jest w prawo i w dół. Wektory prędkości liniowych przyłożone do czerwonych punktów są prostopadłe do promieni okręgu poprowadzonych do obu punktów. Wektory prędkości przyłożone do punktów A i B są tej samej długości, co oznacza, że punkt porusza się po okręgu ruchem jednostajnym.

Dla ruchu jednostajnego po okręgu możemy zdefiniować okres ruchu.

Okres $T$ to czas jednego obiegu. Punkt, wyruszywszy z punktu K, wróci do niego po upływie jednego okresu (Rys. 3.).

Ru5l87wniCrmK

Rys. 3. Rysunek przedstawia schematycznie ruch punktu materialnego po okręgu. Okrąg narysowano niebieską linią. Symbolizuje tor, po którym porusza się punkt materialny. Na wysokości środka okręgu, po prawej stronie na obwodzie narysowano czerwonym kolorem punkt opisany wielką literą K. Do punktu K przyłożono wektor jego prędkości liniowej opisany małą literą v, w postaci czerwonej strzałki stycznej do obwodu okręgu, skierowany pionowo w górę. Do obwodu okręgu przyłożono jeszcze trzy wektory prędkości narysowane w postaci strzałek i opisane małymi literami v ze strzałkami oznaczającymi wektor. Wszystkie wektory prędkości są równej długości, ale ich kierunek jest zmienny. Jeden z punktów przyłożono w punkcie znajdującym się bezpośrednio nad środkiem okręgu. W tym miejscu wektor prędkości skierowany jest poziomo w lewo. Kolejny punkt, do którego przyłożono wektor prędkości znajduje się dokładnie po lewej stronie od środka okręgu. Wektor prędkości jest w tym miejscu skierowany pionowo w dół. Ostatni punkt, do którego przyłożono wektor prędkości znajduje się bezpośrednio pod środkiem okręgu. W tym miejscu wektor prędkości skierowany jest poziomo w prawo.

Jednostką okresu jest sekunda,

Kolejną wielkością charakteryzującą ruch jednostajny po okręgu jest częstotliwość $f$, czyli liczba obiegów wykonanych w jednostce czasu. Z definicji jest to odwrotność okresu:

Jednostką częstotliwości jest odwrotność sekundy, czyli herc:

Znając definicje okresu i częstotliwości, możemy zapisać związek między nimi a wartością prędkości liniowej. Wartość prędkości liniowej w ruchu jednostajnym po okręgu definiujemy jako stosunek długości $\Delta s$ zakreślonego przez punkt łuku AB do czasu $\Delta t$, w którym to nastąpiło (Rys. 4.):

RZaEte60XKJya

Rys. 4. Rysunek przedstawia schematycznie drogę punktu materialnego przebytą podczas ruchu po okręgu. Okrąg narysowano zieloną linią. Symbolizuje tor punktu materialnego. Na obwodzie okręgu zaznaczono dwa punkty kolorem czerwonym, do których poprowadzono promienie ze środka okręgu. Promienie, zaznaczono kolorem niebieskim w postaci odcinków łączących środek okręgu z czerwonymi punktami na jego obwodzie. Jeden z punktów narysowano w prawej części obwodu i nieco poniżej środka okręgu. Opisano go wielką literą A. Drugi z punktów opisano wielką literą B i narysowano w prawej górnej części obwodu. Łuk pomiędzy punktami A i B na obwodzie okręgu, zaznaczono pogrubioną, niebieską linią i opisano wielką grecką literą delta i małą literą s. Łuk ten symbolizuje drogę przebytą przez punkt materialny po okręgu pomiędzy tymi punktami.

W szczególnym przypadku, gdy punkt zakreśla pełny okrąg, wartość prędkości możemy znaleźć, biorąc pod uwagę drogę, jaką punkt przebędzie w ciągu jednego okresu $T$. Wówczas $\Delta s=2\pi r$ i $\Delta t=T$.

Otrzymujemy wzór, pozwalający obliczyć wartość prędkości, gdy znamy okres ruchu:

Korzystając ze związku między okresem i częstotliwością, możemy napisać, że

Słownik