To ciekawe

Arystoteles uważał, że przedmioty lekkie spadają wolniej. Jego poglądy zostały jednak obalone przez Galileusza. To właśnie on zauważył w 1602 roku, że w przypadku braku oporów ruchu ciała spadają na Ziemi z takim samym przyspieszeniem, niezależnym od masy, jaka je cechuje. A jak to jest na przykład na Księżycu bądź na Marsie? Od czego zależy przyspieszanie spadającego ciała? I wreszcie – co to jest przyspieszenie grawitacyjne? O tym w niniejszym materiale.

Warto przeczytać

Weź do ręki monetę i kartkę, a następnie je upuść. Co spadnie szybciej? Oczywiście moneta. Następnie zgnieć papier, połóż go na monecie i ponownie upuść. Ciała spadają tak samo. Dlaczego tak się dzieje?

Gdybyśmy spytali małe dziecko, co spadnie później – piórko czy kamień – odpowiedziałoby nam, że piórko. Na pytanie, dlaczego, pewnie odparłoby, że kamień jest cięższy. Podobnie twierdził Arystoteles i inni uczeni przed Galileuszem. Dopiero Galileusz na początku XVII wieku zauważył, że w przypadku swobodnego spadania ciał, masa nie gra roli. Dlaczego, więc piórko spada wolniej? Pierwsza odpowiedź, jaka przychodzi tutaj na myśl, to opory ruchu. I jest ona trafna. Jednak, jak wygląda to dokładnie? Jakim ruchem poruszają się upuszczone przedmioty? Oczywiście, jest to ruch jednostajnie przyspieszony. Możemy go opisać, wykorzystując drugą zasadę dynamiki:

Siłą niezrównoważoną, powodującą ruch jest tutaj siła grawitacji wyrażająca się wzorem:

gdzie:

$G$ – uniwersalna stała grawitacyjna $\left[6,67\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2}\right]$,

$M$ – masa planety [kg],

$r$ – odległość ciała od środka planety [m].

Po podstawieniu wyrażenia (2) do (1) otrzymujemy:

W ustalonym polu grawitacyjnym masa bezwładnaMasa bezwładnamasa bezwładna (czyli cecha ciała ujawniająca się wówczas, gdy działa na nie niezrównoważona siła, odpowiadająca za wartość przyspieszenia) i masa grawitacyjnaMasa grawitacyjnamasa grawitacyjna (czyli cecha ciała ujawniająca się wówczas, gdy oddziałuje grawitacyjnie z innym ciałem, odpowiadająca za wartość siły ich wzajemnego oddziaływania) są sobie równe co do wartości, zatem możemy zapisać, że:

Otrzymane przyspieszenie nosi nazwę przyspieszenia grawitacyjnegoPrzyspieszenie grawitacyjneprzyspieszenia grawitacyjnego. Jest ono zależne od masy i promienia planety, na której znajduje się ciało (na powierzchni Ziemi przyjęło się zwyczajowo oznaczać je literą $g$). Można więc wysnuć wniosek, że na Księżycu, Marsie czy jakimkolwiek innym ciele niebieskim wszystkie upuszczone przedmioty będą spadały z przyspieszeniem, którego wartość będzie zależała od tego, gdzie się znajdują.

Na powierzchni Ziemi przyspieszenie grawitacyjne $g$ wynosi:

A jak będzie wyglądała sytuacja w momencie oddalania się od planety? Przyspieszenie jest zależne od kwadratu odległości – zatem – im dalej będziemy odsuwali się od powierzchni Ziemi, tym jego wartość będzie odpowiednio malała.

R1MbswW7Fas7Z

Rys. 1. Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych XY. W układ ten wrysowano niebieską malejącą hiperbolę stanowiącą wykres zależności wartości przyspieszenia grawitacyjnego od odległości od środka planety dla obiektów znajdujących się na lub ponad jej powierzchnią. Na rysunku napisano, że wartości tego przyspieszenia są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości.

Czy wewnątrz planety także jest przyspieszenie grawitacyjne? Skoro zależy ono od masy i odległości, musi więc być. Tylko jakie? Przyjrzyjmy się temu uważnie. Do wzoru (3) w przypadku wnętrza planety, należy wstawić jedynie masę, która znajduje się poniżej odległości $r$, zatem:

gdzie $\rho$ jest gęstością kuli (dla uproszczenia zakładamy, iż planety są jednorodne). Zatem:

Czynnik $\frac{4}{3}G\pi \rho$ jest wielkością stałą, otrzymujemy zatem zależność liniową dla zmiennej $r$. Uzupełnijmy więc nasz wykres (Rys. 2.).

R5LEO0qFfP4vs

Rys. 2. Rysunek przedstawia prostokątny układ współrzędnych XY. W układ ten wrysowano niebieską malejącą hiperbolę stanowiącą wykres zależności wartości przyspieszenia grawitacyjnego od odległości od środka planety dla obiektów znajdujących się na lub ponad jej powierzchnią. Na rysunku napisano, że wartości tego przyspieszenia są odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości. Dodatkowo w układ ten wrysowano czerwoną rosnącą funkcję liniową stanowiącą wykres zależności wartości przyspieszenia grawitacyjnego od odległości od środka planety dla obiektów znajdujących się pod jej powierzchnią. Na rysunku napisano, że wartości tego przyspieszenia są wprost proporcjonalne do odległości. Oba te wykresy osiągają wartość maksymalną i przecinają się w punkcie, dla którego odległość jest równa promieniowi planety. Cała funkcja razem najpierw rośnie liniowo od zera a potem spada hiperbolą po przekroczeniu wartości promienia planety.

Słowniczek